Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если же НР/дГ(0, угол между угад У и Ф(х) тупой, и фазовая траектория идет в сторону уменьшения значений У(х). $5.2. Теоремы Ляпунова Различают теоремы первого и второго методов Ляпунова. Теоремы первого метода Ляпунова использовалнсь при исследовании устойчивости лннеаризованных систем 1231. Здесь пойдет речь о теоремах второго, или, как иногда называют, прямого метода Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости.
Если для системы уравнений (5.6) существует знакоопределенная функция У (х), производная которой дУ(аХ -.-" РУ(х) является знакопостоянной противоположного хг знака, то решение системы х = с = 0 устойчиво. ог На рис. 5.5 представлена х, /ху вг геометрическая иллюстрация этой теоремы, базирующаяся Рэс.
5.5. на свойстве (5.0) при условии У (х) > 0 и УУ (х)(0. При Иг(х) ( 0 фазовая траектория пересекает поверхности У = С нзепе внутрь, а в случае И' = 0 — может остаться на такой поверхности. Поэтому в теореме говорится просто об устойчивости, но не об асимптотической устойчивости. Доказательство теоремы.
Зададим некоторое зиачсппе е ) 0 н область значений вектора х = (х„х„... ..., х,), ограпвченную вели шпой его нормы )(х) =- з. Пусть имеется положительно определенная фупкцпя У (х) > О. Обозначим точную нижнюю грань значений функции И(х) при 1х(1 = — е череа а ) О, т. е. 1п1 т' (х) = а > О. (5.10) ьч в Поскольку И(0) = О, то из непрерывности определенно положительной функции У(х) следует, что можно взять такое значение б ) О, чтобы (т (х) < а при1х~ < б. Пусть начальные условия лежат внутри области б, т.
е. 1х(1в)( < б и, следовательно, (т(х(1в)) < а. Тогда для решения х(1) при 1) гг функция р(х(1)) будет невозрастающей, так как по условию теоремы — = И' (х) ( О. (5.11) Итак, получаем т' (х(1)) ( У (х(1в)) < а. (5.12) При атом неизбежно 0(х(1)1<е, (5 13) так как, если бы бйло ()х(Х) Ц ) е, то получилось бы т' (х) ) 1п1 т'(х) = а, цвг=е что противоречит (5.12). Теорема доказана. Из формулировки и из доказательства теоремы видно, что теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости решения х=О нелинейной системы. Значит, если условия теоремы удовлетворяются, то система устойчива. Но вто не означает, что система не может быть устойчивой и за пределами зтих условий.
Насколько полно условия теоремы охватят действительную область устойчивости системы, аависит от выбора функции Ляпунова у. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы уравнений (5.6) сушествует внвкоопределенная функция И(х), производная которой дЪ'~М = И' (х) является тоже внокоопределенной, но противоположного знаке, то решение системы х = 0 будет устойчивым осимптотичееки.
Геометрическая иллюстрация теоремы может быть представлена тем же рис. 5.5, нотолькос той разницей, что прн И(х)) 0 имеем здесь И'(х) < О. Прн этом по свойству (5.9) фазовая траектория, пересекая поверхно- сти т' = сопзФ извне внутрь, не может остаться на пих, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где х = О я И(х) = О. Ход аналитического доказательства тоже остается прежним, но с изменением (5.11) на — = И' (х) < О, вследствие чего 1'(х(1)) будет монотонно убывающей функцией с нижним пределом т'(О) = О. Поэтому вместо (5.13) получаем ~)х(1))-ьО при 1-ь оо. Эта теорема, как и первая, тоже дает достаточные условия устойчивости, а полнота охвата действительной области устойчивости систе.
г мы зависит от выбора функ. ция Ляпунова У(х). Поскольку обе предыдуч щпе теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивости, вообще говоря, пе хг охватывающие всю область ~Ф р К(е)>Р устойчивости системы, то может представить интерес определение условий, где система становится наверняка неустойчивой. 4~'~Л Теорема Ляпунова о не- устойчивости. Если для сиРяс. 5.6. стелы уравнений (5.6) су- ществует какая-нибудь функция И (х), производная которой Л'/д1 = И'(х) является гнакоопределенной функиией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется областьч в которой знак т'(х) совпадает со знаком Ит(х), то решение системы х = О неустойчиво. Приведем геометрическую иллюстрацию теоремы для случая и = 2 на фазовой плоскости.
Пусть функция т'(х) знакопеременная с линиями И = сопз$, показанными на рис. 5.6, а ее производная Л'/Ж = Ит(х) положительно определенная. Видно, что пря произвольных начальных условиях фазовая траектория, направляясь в соответствии со свойством (5.9), попадает в область, где У(х) > О, и будет удаляться от начала координат. Если же И'(х) является отрицательно определенной, то фазовая траектория удаляется от начала координат в области, где У(х) < О.
Аналитически зто описывается следующим образом. Пусть производная ит'/ит = И' (х) знакоопределенная положительная. Зададим некоторое значение е ) О. По условиям теоремы, как бы мала ни была область начальных условий 6 ) О, всегда найдется часть этой области, где г (х) > О. Тогда функция т (х) с течением времени будет возрастать, т. е. Е(х(г)) > У(х(ге)) при 7) ~о. Повтому в некоторый момент времени 7~ значение функции Г (х (7,)) перейдет величину т'((х~ = е) и аа- Рис.
5.7. Ряс. 5.8. тем станет больше этой величины, а вместе с этим будет и ~ х (г) ( > е при Ю ) й и при любом заданном е ) ) О, что и говорит о неустойчивости системы. Перейдем теперь к излон1ению методики применения теорем Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных систем автоматического управления. Сделаем зто для одного (достаточно широкого) класса систем с одноц однозначной нелннейностью.
Пусть система описывается следующими уравнениями в матричной форме: — „, = Ах+Ьу„ (5Л4) — = — г" (о), о = — с х — гу, с1к т (5 А 5) где А — невырожденная матрица яХя коэффициентов, (бе1А ФО),х — вектор координат х=(х„х, ...,х„), у, о — скалярные координаты, Ь вЂ” матрица-столбец коэффициентов бь Ьн ..., Ь, г — коэффициент обратной связи, с' — транспонированная матрица-столбец (спет,... ..., с„), т.
е. матрица-строка, в соответствии с которой с'х = с,х, + стхт )- ... + с„х„. Нелинейная функция Р(о) может иметь произвольную нечетно-симметричную форму (рис. 5.7), удовлетворяющую условиям Р(О) = О, оР(о) ) О при о Ф О. (5.16) Применительно к реальным системам написанные уравнения можно расп|яфровать, например, следующим образом; уравнение (5 14) представляет собой уравнения динамики управляемого объекта (рис. 5.8), а выражения (5.15) относятся к регулятору — уравнение не; линейного исполнительного устройства (привода) и уравнение измерительно-усилительного устройства и обратной связи привода.
Общий порядок системы я+1. В реальных системах измеряются не все координаты хн хн ..., х„состояния объекта. Поэтому некоторые отдельные коэффициенты с, ао втором уравнении (5Л5) будут нулями. В реальнь1х системах нулями будет являться и часть элементов матрицы А и столбца Ь. Приведем заданную систему (5.14), (5.15) к каноническому виду путем замены переменных: х = Лх + Ьу, а = с'х — гу. Проделав зто, получим систему уравнений — — Ав + ЬР (а), —, = с'а — гР (о), (5.17) причем будем полагать, что матрица А приведена к диагональной форме. Должно соблюдаться условие невырожденноя общей матрицы системы !"-~ А ь! „~ чь О, т.
е. г + с'А 'Ь чь О. (5.18) Функцию Ляпунова в атом случае рекомендуется (151 брать в виде а И(х, а) = х'Вх+ ~ Е(п) дп, о (5А9) где  — некоторая положительно определенная квадратичная форма п координат х. Интеграл в этом выражении тоже является, как легко проверить, положительно определенной функцией (и+ 1)-й координаты и, Составим производную функции Ляпунова (5А9) е силу уравнений системы (5А7): — = — — Вх+х  — + Р(п) — = ~хт 1х до <и и Лс сп т( ~тВ + В ~) + Ь ( ) (ЬтВ + тВЬ) +В(, ) ~ чз( Матрица квадратичной формы В является симметричной, т.
е. В = В. Поэтому можно сделать следующее преобразование: ЬтВх + хтВЬ = (ЬВ)тх + (ВЬ) тх = 2 (ВЬ)тх Далее обозначим С = — (А"В+ ВА) и покажем, что матрица С симметричная. В самом деле, С' = — (А'В + ВА)' = — (В'А + А'В') = = — (ВА+А'В) = С. Итак, получаем —,= — х бг — гЕ (и) + 2Р(п)~ВЬ+ в с~ х. Л' т 3 / 1 1т Н1 Это выражение представляет собой квадратичную форму.
Согласно теоремам Ляпунова об устойчивости производная Й~/А должна быть либо зяакоопределенной, либо знакопостоянной отрицательной функцией. Обратимся к критершо Сильвестра для установления положительной определенности функции — д$"/Ю. Поскольку 6 является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то первые и неравенств кри- терия Сильвестра выполняются. Остается потребовать, чтобы с — (вь+ — ) (Вь+ — ', с)' Отсюда г> (86+ — с) 6 (ВЬ+ — с). (5.20) Следовательно, при выполнении условия (5.20) совместно с условием (5.18) система будет устойчива асимптотически. Зто является достаточным условием асимптотической устойчивости решения а = О, о = О. Видно, что в условия устойчивости (5.20) и (5 18) не вошли никакие параметры нелинейной характеристики Р(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
