Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Построение параболы ясно иа рис. 5.26. Формулировка критерия следующая. Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика находится внутри сектора [Йс, /с ] и можно провести через точки — $/йс и — 1/к„такую параболу с вертикальной осью, чтобы мо- дифицированная частотная у характеристика линейной части лежала вне этой параболы.
Иллюстрация выполнения критерия дана на рпс. 5.27, откуда легко видеть, что этот критерий устойчивости дает более широкую область устойчивости, чем предыдущий. Видно, что на рлс. 5.27 нельзя провести прямую черен точку — 1//с так, чтобы она не пересекала модифицированную частотную характеристику Рис. 5.27. И'„(/ы). Следовательно, дан- ная система, абсолютно устойчивая при нелинейности, расположенной в секторе [ке, й ], не будет обладать абсолютной устойчивостью (в смысле достаточных условий), если сектор расположения нелинейности расширится до [О, Л ].
Это вполне естественный результат. ГЛАВА 6 ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ й 6.т. Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики Исследование вынужденных колебаний нелинейных систем представляет собой в общем сложную задачу в связи с отсутствием суперпозиции отдельных решений, а также существенным изменением поведения системы в ааввснмостн от размера амплитуды колебаний, с наличием не единственного установившегося режима и возможностью перескоков с одного режима на другой, с особенностями высших гармоник, субгармоник, комбинационных частот и с многими другими факторами.
В данном параграфе мы рассмотрим случай одноча- стотных вынужденных колебаний, т. е. колебаний нелинейной системы с частотой внешнего периодического воздействия, и найдем условия их существования. Рассмотрим нелинейную систему с внешним воздействием (рис, 6Л), заданным в виде 1(~) =- Вз1п се|. (6.1) Уравнение динамики системы имеет вид Рек 6.1.
Я(р)х+Н(р)Р(х) = о(р)~(1)'. (6.2) Решение для вынужденных колебаний будем искать приближенно в форме х = а е1п (ю~ + ~р)', '(6.3) где ю аадано, а неизвестными являются амплитуда а и фаза ~р. Произведем гармоническую линеаризацию нелинейности: г (х) = ~д (а) + — р1х, (6.4) где коэффициенты д(а) и (у'(а) вычисляются для симметричных (нечетных) нелинейностей по прежним формулам (4.И), если в них положить $ = в$+~р.
Для конкретных нелинейностей можно здесь использовать формулы, полученные в в 4.2. Подставим (6.1), (6.3) и (6.4)' в уравнение системы (6.2): (2 (р) + В (р) ~д (а) + ' р1) а в1п (ь| + гр) =* Я(р)Вв(пну. (6.5) Используем символический метод определения периодического решения, подставив сюда р = ув, а вместо вш в( У выражение е'"'. Тогда получим И(уы)+В(у )(Ч()+ +я(а)) сед и'Й о' (Уы) Ве)ааа или Я (а) = Ве-аи (6.6 где г(а) = (Э ((в) + у) ((м) [и (а) + уд' (а)) ~ Пм) (6.7) Рва 6.3. Уравнение (6.6) с двумя неизвестными а н ~р можно решить графически, как показано на рис.
6.2. Правая часть (6.6) изображается в виде окружности радиуса В, а левая часть Я(о) строится как кривая по точкам с переменным параметром а. Точки пересечения окружности с' кривой Я(а) дают решение, причем величина амплитуды вынужденных колебаний определяется в точке пересечена по отметкам на кривой Я, а фаза — по величине угла (рис. 6.2). На рис. 6.2 окруясности пересекают кривую только при радиусе, большем некоторого порогового значения В) Вс„. Следовательно, в этом случае одночастотные вынужденные колебания (6.3) возможны только при 2(а) или)иилмг ю Рис.
6.3. Рис. 6рь достаточно большой амплитуде В, а при меньшей амплитуде В внешнего воадействия будет иметь место сложное движение, включающее в себя и собственную частоту системы. Построив серию кривых Я(а) по формуле (6.7) для р~зных значений частоты внешнего воздействия ю (рис. 6.3), можем построить график зависимости порогового значения В от частоты в, например, в виде, изображенном на рис. 6.4, где в — частота автоколебаний данной системы. Тогда мы получим область значений В и а, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания.
Эта область называется областью захватывания. Явление захватывапия состоит в том, что при В > В„собственные колеба- А ния (автоколебания) срывают- ся и система переходит целиком 4 на одночастотные выпужденные колебания с частотой внешнего воздействии. Строго говоря, эти одночастотные вынужденные колебания будут несинусоид„„. В Ю Ф % части ($4.1) они для переменной х будут только близки к синусоидальным (6.3). Об определении высших гармоник этих колебаний см. (22). На основании рис. 6.3 можно построить зависимости а(в) и ф(в), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3).
В линейных системах частотные характеристики А (ы) и ф(ю)' не зависели от размера входной амплитуды и вычисля- лись для единичной амплитуды на входе. В нелинейной же системе характер частотных характеристик А(а) а(ы)/В и ф(ю) может существенно.аависеть от размера В. Поэтому для разных значений В получается серия частотных характеристик (рис. 6.5) замкнутой системы по первой гармонике. Пример. Пусть уравнение системы имеет вид '~Т,р+ 1)'(Т,р+ 1) рх+ ЬГ(х) -(Тр+ 1)(Тр+1)рЛ1)', при гпстерезисной нелинейности. (рис. 6.6) и Д1) ° Взшой Тогда в уравнении (6.6), согласно (6.7), будем иметь Я(а) а1 (~ )+~() (г + т ) в — да (1 — 7 т ь ) х Для заданной частоты са = 10 сек ' и заданных параметров системы й = 10, с = 10, Ь = 4, Т~ = 0,01, Тз = =0,02, кривая Я(а) изображена на рис.
6.6, где от- Рис. 6.6. мечены значения а. Проведя окружности разных радиусов В, по точкам пересечения определим аависимости а (В) и <р(В) (рис. 6.7) для вынужденных колебаний прп данной частоте. и 6.2. Процессы управления, сопровождающиеся вынужденными вибрациями Рассмотрим случай, когда в снстеме при наличии переменного внешнего воздействия протекает некоторый процесс управления, а кроме того к системе приложено внешнее периодическое воздействие.
Уравнение динамики системы (рнс. 6.1) в етом случае получит вид б)(р)х+В(р)Е(х) = Б(р)ЛЯ+Я,(р)~,(1), (68) где ~~(1) = Вгбп се1, а 1(1) — медленное по сравнению с ~~(С) воздействие, т. е. спектр возможных частот измене- ния Дт) много меньше в. Решение будем искать в виде х= хе(1) +хе(1), х*= аз(п (газ+ ар), (6.9) где хз(1) — тоже медленная по сравнению с х*(1) функция времени, определяющая процесс уиравления при наложенных на него вынужденных вибрациях х'". Полагая, что основной процесс управления хз(1) протекает настолько медленно, что за один период колебаний хе можно ириблиэительно считать величину хо неиаменной, используем прежние формулы гармонической линеаризацни (4Л5), а именно е) г (х) Р'(хэ,а)+~д(а,х0) + ч '* р~)х", (6ЛО) где г"э, д и д' вычисляются по формулам (4.16) н (4.17).
Для некоторых конкретных нелинейностей зги функции приведены в з 4.2 (примеры 6 — 10). Подставив (6ЛО) и (6.9) в уравнение (6.8), разобьем его на два. Для медленных составляющих (процесс управления) имеем д(Р)х ")" щр)го (хэ а) = я(р)7(с), '(6Л1) а для вибрационныл составляющих ( 0 (Р) + гг (р) ~Ч (о. х ) + РЯ х' = Ю, (р) В вп а1.
з' (а, *') 1) (6.12) Нетрудно видеть, что неизвестные хз и а могут быть определены только на основе совместного решения обоих уравнений. Если, решив уравнение (6.12), найти зависимость а(хо) и подставить ее в выражение г'э(ха, а), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию Ф(х') =Р'(х', а(')). (6ЛЗ) Тогда уравнение для процесса управления (6.11) примет вид Я(р) хо-~-В(р)Ф(хе) = Я(р)Д1) (6 14) Оказывается, что нелинейная функция Ф(хэ) обладает тем свойством, что она имеет вид плавной кривой (рис. 6.8) для любых нелпнейностей г"(х), в том чксле релейныл и гистерезисных. Поэтому эту функцию можно линеарнзовать обычным порядком, определив крутизну в начале координат (рис. 6.8): ср — Ь„ха й„~ всв 1 * 'с Ва )х'=с Но согласно (6.13) имеем ( ) = ( '„' + 'Р „" ) . ~а 16) а согласно '(4.
1 6 ) ( за ) = 2я ) ~ а ) — зш сг' с)сг = Ос (6Л7) о так как произведение четной функции на нечетную интегрируется эа период. В соответствии с этим вместо (6.15) получаем заленый ре- зультат: "а = —, . (6.18) Это значит, что для определения сс, не нужно находить аависимости а(хс) н строить новую нелинейнусо функцию Ф(хс), а достаточно взять частную производную по хс от имеющегося для каждой нелинейности выражения г"с(хс, а). С заменой (6Л5) уравнение Рзс 6.8. для процесса управления (6Л4) принимает вид линейного уравнения И(р) +~.В(р)) ' = Йр)1Я.
'.(618) где Ʉ— коэффициент усиления нелинейности в процессе управления, определяемый по формуле (6.18). Например, для идеальной релейной характеристики (см. $4.2) о 2с . х с (х) = св1двх, с =- — агсз1п —, я а' получим а.=(" ) (6.20) где а, — амплитуда симметричных еынуаеденных колебаний в данной системе, найденных согласно 9 6.1. Для репейных характеристик с зоной нечувствительности и с петлей, дифференцируя (4.31), находим На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
