Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 17
Текст из файла (страница 17)
6.9 представлена зависимость коэффициента й, от амплитуды симметричных вынужденных колебаний. О ис а с Рнс. 6.10. Рис. бхь Аналогично для релейной характеристики общего вида '(рис. 6.10) получаем йе= — '„-',, +~,,' „. (6.22) Для кусочно-линейной характеристики с зоной нечувствительности (рис. 6Л1) имеем 1сс = Й вЂ” — агсв!и — „ 2Ь . Ь (6.23) а для характеристики с насыщением (рис. 6.12)' йв — — — агсв(п — „(ас)Ь). 2Ь . Ь (6.24) е Итак, пользуясь значениями коэффициента усиления й„, мы монсем определять процесс управления в нелинейной системе по линейному уравнению (6Л9) на базе линейной теории.
Однако прп этом надо учитывать, что коэффициент й, имеет необычные свойства. В самом деле, как видно нз формул (6.20) — '(6.24), он зависит от амплитуды симметричных вынужденных колебаний а,. Рэс. 6.12. Рис 6.11. Эта амплитуда в свою очередь, согласно 2 6Л, аавнсит от структуры и параметров линейной части системы (Йэ Т,) и еще, что очень важно, от амплитуды В и частоты в внешнего вибрационного воздействия. Поэтому при синтезе системы (6.Щ, т. е. при выборе ее структуры и параметров надо знать зависимость й.(йэ тд, 16.25) а зная (или выбирая) внешнее вибрационное воздействие, надо учитывать также зависимость й,(В, 1з). '(6.26) Итак, процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях исследуется по линейному уравнению (6.19) без определения зависимости а(хэ).
Однако если все же необходимо определить величину амплитуды а(зо), то аналогично уравнению (6.5) решение уравнения (6.12) запишется в виде Я(а, ио) =Ве-", где э) 0 Ва) + Н (1е) (Ч (з, э ) + 1Э'(а, * )) ~,бм) Графическое решение получается, как показано на рис. 6.2, с той только разницей, что здесь строится серия кривых Я(а) для разных аначений хс. В результате на пересечениях этих кривых с окружностью радиуса В и определяется искомая зависимость а(хв).
Тогда можно, согласно (6.15), найти и нелинейную функцию Ф(хв), если необходимо учесть эту нелинейность в уравнении процесса управления (6.16). В связи с изложенным на практике часто возникают следующие две важные частные задачи. Задача 1. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризацня нелинейности при помощи вынужденных вибраций. Свойство плавности функции Ф(хв) (рнс.
6.8) как характеристики прохождения медленного сигнала в процессе управления хл(1) через нелинейное Рис. 6ЛЗ. звено при любом очертании нелинейности г (х), имеющей скачки и петли, нааывается вибрационнььн сглаживанием нелинейности для процесса управления при наличии вынужденных вибраций. Поскольку за счет этого возникает возможность обычной лннеарнзацни полученной сглаженной характеристики (рис. 6.8) в виде Ф= .= Й,хв, то говорят также о вибрационной линеаригации нелинейности. В технике внбрационное сглаживание применяют следующим образом. Непосредственно у входа нелинейного звена (например, релейного элемента), как показано на рис. 6.13, прикладывается внешнее внбрацяопное воздействие Дг) = Вз1п !ве с частотой выше полосы пропускания линейного звена 3.
Тогда вынужденные вибры<ии локализуются во внутренней части системы. Оигиал на входе нелинейности имеет вид х = аз+ хз = х~ — хз + Г (1), причем ж = ж$ — жз, у* = ~ (1) = Ваш юй Отсюда следует, что амплитуда а, и фаза ф симметричных вынужденных вибраций переменной я равны соответственно а, = В, <р = О. Таким образом можно ликвидировать гистерезисную петлю или зону нечувствительности реле (рис. 6.9) и получить для сигнала управления, согласно (6.21), линейную характеристику с коэффициентом н~/в' — ь' или же ликвидировать зону нечувствительности (рнс.
6.11), получив 2ь ь й.=й — — 1п ~, В>Ь. Аналогично можно преобразовать сухое трение в трение, пропорциональное скорости, и т. и. Величину й, можно регулировать амплитудой В внешнего воздействия, не выводя ее, конечно, за допустимые пределы. Кроме того, амплитуда В должна быть во всяком случае больше максимально возмон~ного значения сигнала зз, до которого хотят обеспечить линейность характеристики. Например, для петлевой релейной характеристики (рнс. 6.9), согласно (4.31), должно быть В ~ Ь+ ~хо~.
Задача 2. Вибрацяонная помехоустойчивость нелинейной системы управления. Пусть в уравнении нелинейной системы (6.8) У~ (Г) = В зш ы1 представляет внешнюю внбрацнонпую помеху (например, со стороны изгнбных вибраций корпуса летательного аппарата, воспринимаемых гироскопом вместе с полезным сигналом по углу тангажа). Характеристическое уравнение системы для полезного сигнала в процессе управления, согласно (6.19), имеет внд д (Л) + й„л (Л) = О, где козффициент й„зависит (см. (6.26) ) от амплитуды В и частоты ы внешней вибрационной помехи.
Следовательно, от зтих параметров помехи будет зависеть качество процесса управления и даже устойчивость системы. Таким образом, если устойчивость чисто линейной системы, как мы знаем, не зависит от внешнего воздействия, то в нелинейной системе устойчивость може~ Рас. 6Л4. от него зависеть. Предельное значение амплитуды вибрационной помехи В, до которой система остается еще устойчивой, называется границей внбрацнонной помехоустойчивости системы. В качестве примера определим вибрационную помехоустойчивость самолета с автопилотом. Схема системы изображена на рнс. 6.14,а, где 1 — измерители, 2, е— привод с обратной связью, 8 — корпус самолета.
Уравнение углового движения самолета по тангажу (р'+ с,р'+ с,р+ с,)0 = — й,(Т,р+ $)б, где б — отклонение самолета по тангажу, б — отклонение руля. Уравнение измерителей х, =(1с, + 1с,Р)(б+ 7(г) — К(г)1 где ДС) = В з1п се8 — вибрационная помеха (например, измерение гироскопом изгибных вибраций корпуса самолета), а(8) — медленное управляющее воздействие. Уравнение привода руля (Тр+ Црб Г(х), х=х, — й б, (6.27) и для данной нелинейности (рис. 6. 14, б), согласно (6.24), получаем 2й ь й„= — агсзш в ~/ ь~ + взел 1 3 (6.28) Уравнение привода руля для процесса управления вместо (6.27) примет вид (Тр+ 1) рб = Й,(х~ — Й„б). Характеристическое уравнение всей системы для процесса управления будет иметь пятую степень; ао)Р + а А~ + аз)Р + аз)Р + а~Х + аз = О. Предпоследний определитель Гурвнца й4 (о!сз осле) (азиз лэаз) (о!о4 леоь) где г'(х) — нелинейное ограничение скорости привода (рис.
6.14, б). Если Т = 0,08 с, а частота вибраций в = 100 с ', амплитуда вынужденных вибрацнй на выходе привода руля будет ослаблена в 800 раз. Поэтому можно считать, что вибрации туда не проходят. Следовательно, амплитуду симметричных вынужденных колебаний на входе нелинейности х можно вычислить по формуле а, = В)/ й', + й,'ы', при некоторых числовых значениях параметров системы принимает вид Лз = й„— 14,21сй+ 6,5Ю„.
График зависимости 84(й,) изображен на рис. 6 15, а. Условие устойчивости Ь~ > 0 выполняется при й, » > 13,7. Легко проверить, что при этом положительны и остальные определители Гурвица: их положительность сводится к положительности всех коэффициентов уравнения и неравенству а~аз — асаз ~ О. Из формулы (6.28) находим максимально допустимую амплитуду внешней зибрационной помехи по условию устойчивости 7с, ) $3,7 в виде Ь Вшаа ~ ла Ьа+ /2 2 н ш1п зь 0,047, где Ь= 05, й, = 0,9, Уса = 0,4, сс = ЮО, я„„,. = 13,7, Ус = 80. Ясли при этом расчете системы надо выбрать, например, наилучший коэффициент обратной связи привода Й, то указанные вычисления надо провести для разных 7сас ссд Юсс сЬУ ДЯ й й У ~а ~У ус7сн а) Рвс. 6.15.
значений 7с, определяя каждьш раз граничную величину 7с,„„,. Результаты такого расчета приведены в виде графика на рис. 6Л5, б. Этот график дает границу помехоустойчивости системы по коэффициенту й„,которую по вышенаписанной формуле легко пересчитать на допустимую амплитуду В „внешней вибрационной помехи, и 6.3. Процессы управления в автоколебательных системах Ав токолебательные системы довольно часто встречаются среди систем автоматического управления и регулирования, в том числе системы с характеристиками релейного типа.
Будем считать, что частота автоколебаний в рассматриваемых системах лежит много выше спектра возможных частот процесса управления. По- этому эудем искать решение для переменнои х на входе нелинейности (рнс. 6.1) в виде х(й) = хе(й)+ х*(С), х*= аз1п~р, го = —, (6.29) где хэ(1) — медленная переменная по сравнению с хэ(й). Уравнение динамики системы (рис. 6.1) имеет вид 9(р)х+В(р)Р(х) = $(р)1Я, (6.30) где ~(й) — медленная функция времени (по сравнению с х*). Гармоническую лннеарнаацию нелинейности произведем в предположении, что хэ не успевает заметно измениться за период автоколебаний.
Тогда, согласно (4.15), Р Р(х)=Рэ(хэ а)+~у(а,хэ)+ т ~' р)х*. (6.31) Подставив (6.31) в уравнение системы '(6.30), разобьем последнее, как и прежде, на два. Уравнение для медленных составляющих (т. е. для процесса управления) получит вид д(р) хэ+ В(р)Рс(хс, а) = 8(р)((1)', (6 32) Уравнение для периодических составляющих запишется в виде ~~р( )-(- гг(, )~р(а, )+ ~ ( ' ) р]~ *= 0. (6.33) Три неиэвестнык функции хе(1), а и го в искомом решении (6.29) определяются совместным решением уравнений (6.32) и (6.33). Поскольку эти функции взаимосвязаны, причем х (процесс управления) меняется во времени, то амплитуда а и частота в автоколебаний тоже будут медленно меняться во времени в процессе управления. Будем рассуждать аналогично пашим рассуждениям в предыдущем параграфе.
Если путем решения уравнения (6.33) найти зависимость а(хл) н подставить еэ в выражение Рэ(хе,а), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию Ф(хэ) Рэ(х' о(хс) )' которая оказывается плавной кривой (рис. 6.8) для любыл нелинейностей. Применяя к этой функции всю прехснсосо процедуру обычной линеарпзацип (6.17), (6Л8), получим еро 1 Ф=7снх~ йн=( е ) дз~ (6.34) ~Яр) + И„В(р))х = Б(р)~Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
