Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Рис. 4.36 Таким образом, при однозначной нелинейности частота со неспмметрпчпых автоколебанпй остается такой нсе, как н при симметричных, независимо от величины смещения хо. Амплитуда же несимметричных колебаний а, определяемая уравнением (4.68), зависит от смещения то и выражается через амплитуду симметричных автоколебапий а,.
Здесь не требуется решать уравпевие (4.65). Пример. В след//и/ей системе (рис. 4.31, а) ааданы Р(х) в виде ркс. 4.31, б и иередаточпые фупкцкв /с /с И", (г) = — ', И/о(г) = т,с+1 о (/'гс + 1) Гармоническая лппеарпаапия нелинейности (см. $4.2) при симметричных колебаниях дает 4с Р(х)=/с(ас)* Чс= —,. ° (4.70) а при неспмметрвчных— Г(х) = Ро(хо, а) + д (а, хо) х*, где, согласно (4.33), 2с эо 4с Г /ео~г Р' = — агсз1п —, // = — )/ 1 — ~ — 1.
(4,71) я а' яс а~ Ураянение замкнутой системы относительно переменной х (рис. 4.31) ил/еет вид (Г/р+ 1) (Гор+ 1) Рх + /г//ггР(х) = /г/(Тгр+ 1) ре(/). (4.72) При сигияетричных автоколебапиях (й = О) имеем характеристическое уравнение ,р; г+(т,+ т, ° + +,„4с Подставив Х = /ю,получим 4с Х = )с,/с — — (т„+ т,) ы = 0, асс У = ы — т,т,гя' = 0, откуда т 4с/ЗегТ~Тг (4.73) Рассмотрим несимметричные автоколебания при задающем воздействии д = а~0 В соответствии с (4.64), (4.71) и (4.72) получаем уравнение длв постоянных составляющих 2с )сгйз — агсьйл — = (с бс, опсуда находим ял хс = а з(п —.
2са (4.74) Подстановка (4.74) в выражение для д (4.71) дает 4с Ял~ д = — соз —. на 2са ' Теперь для определения амплнтуды а несимметричных автоколебаний нслользуем уравнение (4.69), а именно 4с '%1 4с — соз— яа 2сьа лис' откуда ЯЯ п = а,соз —, 2са г (4.75) где а, определяется соотношением (4.73). Тогда, согласно (4.74), постоянная составляющая (смещение) определяется в виде хс = — е1н— сс . исГ 2 сл (4.76) ( Т1 р + 1) (Тгр + 1) рх + (с ~7сзг' (х) = )с1дн р(х) рс(хо и) ( 7(и с) э причем Частота же ю несимметричных автоколебаний будет прежней — (4.73) . Результаты (4.75) и (4.76) представлены грасрически на рнс. 4.32.
В качестве второго примера исследуем ту же систему (рис. 4.31, а), но с несимметричной нелинейностью г(х) вида рис. 4.33, а при задающем воздействии р = 612. Уравнение системы (4.72): где аналогично примеру 1О 3 4.2 имеем Г' = (( — + 1) [~ — + 1) + — 1 — 1~„(4.77) Д=6 ь 14ь'+(ь+~)1' (4.78) Рас. 4.32, Рис. 4.33. Уравнение для постоянных составляющих '(4.64)', с учетом того, что здесь г)(0) = О, запишется в виде /сзР'(хс, а) = ян откуда, согласно (4.77), имеем (4.79) Характеристическое уравнение для периодических составляющих в соответствии с (4.65) аапишется в виде ТгТаЛа+ (Т1+ Та)Л'+ Л+ й,Ярд(а, хс) = О. После подстановки Л = уы получаем Х = )г,йцд (а, хо) — (Т1 + Тт) гот = О, У ы Т,Т з откуда 1 т,+т, = д(о х')=ватт' ~'т,т, гв г й Последнее уравнение с подстановкой (4.78)' и (4.79) приобретает вид ь(л +ь а) е а ~ь(т +т~ Отсюда определяется величина смещения хл, после чего вычисляется амплитуда а по формуле (4.79).
Результаты представлены на рис. 4.33, б. ГЛАВА 5 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ э 5 1. Устойчивость. Функция Ляпунова В учебном пособии по линейной теории автоматического управления и регулирования [23] уже давалось общее понятие устойчивости динамической системы по Ляпунову.
Напомним вкратце ход наших рассуждений. Запишем уравнения динамики системы и-го порядка при отсутствии возмущающих воздействий в общем нелинейном виде в нормальной форме Коши: — ' = Р; (уп у„..., у„), 1 = 1, 2,..., п. (5.1) Устойчивость рассматривается как свойство свободного движения системы после начального отклонения ее, выаванного любыми причннамн. Пусть у; (г) обозначает не-. который установившийся проиесе работы системы, илп, как говорят, невовмущенное движение. Отклонение возмущенного движения у<(О, определяемого уравнениямп (51) при определенных начальных условиях у;(8с), обозначим через х,(1), т.
е. хг(() = уг(1) — уг((), 1= 1, 2,..., и. (5.2) Тогда можно написать уравнения возмущенного двигеения в отклонениях в виде — г = Ф; (хы х,..., х„), 1= 1, 2,..., и; (5,3) прн атом певозмущенным движением будет х, = О. Переменные хь (1 = 1, 2, ..., и) являются координатами состояния системы, В общем случае конкретный вид уравнений (5.3) зависит от вида установившегося процесса у; (г), так как ати уравнения получаются на (5Л) подстановкой (5.2). Поэтому, исследуя эти уравнения необходимо, вообще говоря, оговаривать, об устойчивости какого установившегося режима или невоэмущенного движения у; (1) идет речь.
Геометрически невозмущенное (установившееся) двиясениеу~ (1) системы и-го порядка можно представить Рис. 5Л. Ряс. 5.2. условно в виде некоторой интегральной кривой в п-мерном пространстве с .добавленной осью времени (рис. 51). Возмущенное движение у;(г), вызванное начальным отклонением при 1 = 2с, изобразится другой интегральной кривой (рис. 5.1). В отклонениях х,(1), т.
е. в пространстве координат состояния системы, эта картина возмущенного движения будет выглядеть, как показано на рис. 5.2. При этом не- возмущенное движениех; =О изобразится прямой линией, совпадающей с осью й Невозмущенное движение системы х» = О называется устойчивызо если, задав втрубку» сколь угодно малого и-мерного сечения е (рис. 5.2), можно подобрать в начальный момент 1» такую область начальных условий 6, зависящую от е, что с увеличением 8 возмущенное движение х,(Г) не выйдет из заданной трубки е. Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову формулируется следующим образом.
Невозмущенное движение системы хг = О называется устойчивыМ если при заданном е ~ О сколь бы оно мало ни было, существует такое б ) О, зависящее от е, что при начальных условиях )х,(8з)~ <б,1=1, 2, ..., и, в дальнейшем движении (1» < 8 < оо) выполняется ус- ловие ~х~(8) ~ «= е, 1=1, 2, ..., и. (5.5) Замети»О что в этом аналитическом определении области е и б, в отличие от рис. 5.2, выглядят зпрямоугольными» (в и-мерном пространстве), что не имеет принципиального значения.
* Невозмущенное движение хг = О будет неустойчивым, если указанное условие не выполняется хотя бы дляодного из хь Если условия указанного выше определения выполнены и имеем х,(Г) — »О при 1-~со, то невоамущенное двпя»ение х; = О называется асимптотически устойчивым. Если же х;($) -эО при ~-~ос после любых начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом. Существует еще понятие абсолютной устойчивости, означающее асимптотическую устойчивость системы в целом прп любом характере нелинейности внутри определенного класса нелинейностей. В общем случае в нелинейных системах, в отличие от линейных, устойчивость состояния равновесия не означает, что будут устойчивы и все процессы в системе, так как свойства нелинейной системы меняются с изменением величин отклонений координат состояния.
На- глядным примером может служить наличие в системе второго порядка неустойчивого предельного цикла (5 1.4). В этом случае прп устойчивом состоянии равновесия система оказывается неустойчивой при больших начальных отклонениях (выходящих за границу предельного цикла), т. е. система устойчива «в малом» и неустойчива «в большом». При определении понятия устойчивости рассматривалпсь интегральпыекривые (рис.5Л и5.2). Если же представить себе не интегральную крив5чо, афа- хл- с х» зовую траекторию впмерном пространстве для системы уравнений (5.3), то в устойчивой системе, согласно опре- Уф/ делению, она будет иметь вид, изображен- а ный на рис.
5.3. х» В последующих параграфах нам придется иметь делос непрерывными функциями каор- хг динат состояния системы У(хи х», ..., х,.), Рис. 5.3. обладающими свойством К= О прн х1 —— х» =...— — х„= О. Такая функция т' называется знакоопределенной функцией, если во всей рассматриваемой области, содержащей начало координат, она сохраняет один и тот же знак и обращается в нуль только в начале координат. Например, прн п= 3 У = а«х', + Ь'х«+ с х». Знакоопределенная функция может быть полохеительно определенной нлп отрицательно определенной. Если же функция т' сохраняет один и тот же знак, но обращается в нуль не только в начале координат, то такая функция называется анакопостоянной (положительной или отрицательной). Например, прн п = 3 функпня (т = (х« + х») + ох» обращается в нуль на прямой х» — — — х1 и хз = О. Наконец, функция У называется зпапоперемениой если она в рассматриваемой области не сохраняет одного и того же знака.
Например, 'г' = х~ + хз + хз. Согласно известному критерьпо Сильвестра любая квадратичная форма и координат будет знакоопределенной (положительной) тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы ее коаффнциевтов будут положптельпымя. Например, квадратичная форма 'г' = 5хз + 2хз + 5хз + бх,хз — 4х,хз — 4х,хз будет положительно определенной, так как для матрицы ее козффициептов .4= 3 2 — 2 имеем Ь,=5>0, Ь --~ ! — 1>0 и, наконец, 5 3 — 2) д .— 3 2 — 2~=1>0. ) — 2 — 2 5 Описанные функции У от коордонат состояния системы, обращающиеся в нуль, в начале координат, играют важную роль в теоремах Ляпунова об устойчивости и неустойчиеостп нелинейных систем и называются функциями Ляпунова. Пусть имеется нелинейная система, описываемая уравнениями динамики дзз д ' — — Фз (х„х,..., хч), 1 = 1, 2,..., и. (5.6) Составим производную функции Ляпунова по времени: В дг дх, дг д'з дг «з„ вЂ” = — — '+ — — '+.
+ — —" дЗ дх ЫЗ дх (И ' ' дх„ дЗ ' Используя (5.6), в силу уравнений системы, можно записать гд — — д — Фг+ д Фз г... 1- д Ф~. (5.7) дг дР дР дР Очевидно, что в результате получается тоже некоторая функция координат состояния системы — = И' (хы х„..., х„). (5.8) Известно далее, что градиент функцяи У есть вектор, определяемый проекциями дг"/дх, на оси координат, т.
е. Гдк дУ дк 1 (дх ' ди ' ' ' '' дх ~' Моя<но ввести вектор Ф(х) с проекцпямн, отвечающими уравнениям (5.6), а именно: дж ди ф 1 ГР 2 дГ ' з дГ ' Вектор Ф(х) будет вектором скорости изображающей точки М з фазовом пространстве (рис. 5.4). Рис. 5.4. Согласно (5.7) получаем НР—, = И' (х) = втаб $' Ф (х)„ (5.9) где х — вектор координат состояния системы х = = (хн хз, ..., х„). Итак, производная функции Ляпунова по времени, составленная в силу уравнений системы, представляет собой скалярное произведение градиента этой функции на вектор фазовой скорости.
Вектор угад У(х) перпендикулярен к поверхности У = сопзь и направлен в сторону возрастания значения И (рис. 5.4). Если производная др/НГ ) О, то, согласно (5.9), вектор фазовой скорости Ф(х) составляет с вектором ягад У(х) острый угол, т. е. фазовая траектория пересекает поверхность р = совет в сторону увеличения значений И(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
