Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Первый из них показывает изменение крутизны наклона осредняющей прямой д(а) х с ивменением а (см. рис. 4.5, а). Естественно, что д(а)-ьО при а-ьоо, так как сигнал на выходе остается постоянным (Р(х)=с) при любом неограниченном увеличении входного сигнала л, Из физических соображений ясно также, почему д' ( О. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистереэнсная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что д' ( О. Абсолют-' ное значение д уменьшается с увеличением амплитуды а, так как ясно, что петля будет занимать тем меньшую часть «рабочега участка» характеристики Р(х), чем больше амплитуда колебаний переменной х.
Амплитудно-фазовая характеристика такой нелинейности (рнс. 4.5, а), согласно (4.13), представляется в виде гУ„(а) = о(а) + 1д'(а), причем амплитуда и фаза первой гармоники на выходе нелинейности имеют соответственно вид А = ~И'„(а)) =)~д'(а)+ [д'(а))э, ~р= — агс1и У— ч (а) ' где д в д' определены выше (ряс, 4.5, в).
Следовательно, гармоническая липеаризация переводит пелияейное координатное запаздывание (гвстерезнсную петлю) в эквивалентное запаздывание по фазе, характерное для линейных систем, но с существенным отличием — эависи- мрстью фазового сдвига от амплитуды входных колебанйй, чего нет в линейных системах.
П р н м е р 3. Исследуем однозначные релейные характеристики (рнс. 4.6, а, в). Аналогично предыдущему получаем соответственно 4е 4в - / Ьз 7 = †,„, Ч = †., ~~ 1 — †, (ц' = 6), (4."4) что изображено на рис. 4.6, б, в.
а) а з М в~ Рис. 4.6. Пример 4. Исследуем характеристику с зопой иечувствительности, линейным участком н насыщением (рис. 4.7, а). Здесь д' = О, а козффнциент д(а) имеет два варианта аначенвй в соответствии с рис. 4.7, б, где для них построена Ь'(ав|п$): 1) при Ь| ( а < Ьр, согласно (4.19), имеем я/2 о = — 1 й(а а1п~р — Ьг) в1пз) дф 4 Фз что с учетом соотношения а а)п ~, = Ь, дает о = Ь вЂ” — ( агсе1п — '+ — ' 1г' 1 — — '); (4.25) Й Фгу в) а) в) Рвс. 4.7.
2] приа>Ье что с учетом соотношения а в!пфз = Ьз дает гЬ/ . Ь, Ь д = — ~ а геяп — а — а гсяп — ' + и а а .~-~ 'Г' 1 — — , '— —.' 1/~ — — ",). (2.26) Графически результат представлен ка рис. 4.7, в. и) в) Рис. 4.8. П р и м е р 5. Иак частные случаи, соответствующие козффицпенты д(а) для двух характеристик (рис. 4.8, а, в) равны 2й/ . Ь Ь Ьа '1 д = 7с — — ~агсяп — + — 1 — —,~, а) Ь, (4.27) а 2Ъ( Ъ Ъ Ъ ,Г со д = — а гсв1п — — — ~/ 1 — — !, а ) Ь, я а а р' ао/' (4.28) что изображено графически на рис. 4.8, б, г.
Прн атом для характеристики с насыщением (рис. 4.8, а) имеем д = )с при 0 ( а ( Ь. Покажем теперь примеры вычисления коэффициентов гармонической линеаризацип для несв сметричных колебаний нри тех же нелннейностях. П р и м е р 6. Для случая кубической нелинейности Р(х) = )схо по формуле (4.16) имеем Г~ = — ~ к (ха + а в1п ~Р)о сйр = й [(хо)о + — хоп'~, (4.29) 2я,> о а по формулам (4.17) д = — ) й (хо + а в1п 1р) ' в1 и $ сир = Зк ((х )' + — ~, о д' = О. (4.30) П р и и е р 7. Для петлеаой релейной характеристики (рис. 4.5, а) по тем же формулам имеем до с ( . Ъ+а~ Ъ вЂ” ао 1 ~агсв1п — — агсып — / я а а (4.31) 4сЪ яа (4.32) что иаображено на рис.
4.10, а и б. Пример 8. Для характеристики с ионой нечувствительности (рнс. 4.9) будут иметь место те же выраясения Ро и д. графики ях представлены на рис. 4.9, а, б. При этом д'= О. Для пдеальной же релейной характеристики (рис. 4.10) получаем о 2с . аа 4с с /соао Ео = — агсв1п — д = — у 1 — ~ — /, д' = О, (4.33) .Я а' яа ~и/ РЕс ю ю л л а о а ф Рис. 4.9.
Пример 9. Для характеристики с линейным участком и насыщением (рнс. 4.11, а) прн а > Ь+ (хо( имеем а ~ ~ ~/ ~~ + ~~ Г ( — )'] Ь+х о ь— о1 + (Ь+ х') агсып — — (Ъ вЂ” хо) агсып ), (4.34) о а+о д = — ~агстйп — '+ агсып — + и о о Ь вЂ” оо ~/ ~Ь „о~о Ь+ о / (Ь+ о~о~ (4г.35) с г -о 7 Е т а ф Рвс. 4ЛО. Эти зависимости представлены в виде графиков на рпс. 4.11, б, в.
П р и м е р 10. Для несимметричной характеристики Г(х) = с(~ — + 1) — 1~ (рис. 4. 12, а) по формуле (4г.16) находим с~(*'+ 1) ~~ '+1)'+З"1 а по формулам (4.17) д' =- 0 и д =- 3 — ~ — + ~ — + 1! 1. Ь 4Ьо Ь 1 Результаты изображены графически на рис. 412, б и в. Полученные в этих примерах выражения и графини коэффициентов гармонической линеарпзации будут использованы ниже при решения задач по исследованию а) Рвс. 4.12. автоколебаний, вынужденных колебаний и процессов управления. 5 4.3.
Алгебраический способ определения симметричных автоколебаний и устойчивости Рассмотрим определение симметричных автоколебаний алгебраическим способом на основе гармонической линеаризации нелинейности. Пусть система (рис. 4.2) с одной нелинейностью Р(х) имеет передаточную функцию лпнейной части И'е (з) = — . Я (Я) 0Ф) ' обладающую свойством фильтра (см. 5 4.т). Уравнения линейной часты системы н нелинейного авена: Е(р) =-77()~, =Р(.), р= — „. д Уравнение замкнутой системы примет вид Яр) +В(р)Р( )=О. (4.36) Решение ищется приближенно в форме х = аз!пют (4.37) с двумя ненавестными а и ю. После гармонической линеа изации Р Е(х) = ~д(а) + — р| х уравнение (4.36) приобретает вид ~~',) (р) + Л (р) ~д (а) + х— () р) х = О.
(4.38) (3 (Л) + Н (Л) ~д (а) + ч Л1 = О. (4.39) Периодическое решение (4.37) уравнения (4.38) соответствует паре чисто мнимых корней Лье = 3Цю характеристического уравнения (4.39). Поэтому для отыскания атого решения подставим в него Л = )в. Получим О()ю)+ ЛИгз) [у(о)+)у'(о)1 =.О, Поскольку в искомом решении (4 37) а = сопвФ и ю=сопзь, то еармоничесяи линеаризоеанное уравнение замкнутой системы (4.38) можно рассматривать как обыкновенное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Специфика его состоит лишь в том, что имеются неизвестные постоянные коэффициенты, зависящие от искомого решения, что и поаволит нам получить решение со специфическими свойствами, присущими нелинейной системе.
Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы: Выделим в этом выражении вещественную и мнимуго части в виде Х(а, в)+1У(а, в) = О. В реаультате получим два алгебраических уравнения Х(а, в) = О, У(а, в) = О, (4АО) иа которых и определяются искомые амплитуда а и частота в периодического решения (4.37). Заметим, что решение задачи упрощается в случае однозначной нелипсйности г (х): вместо (4.39) вдесь имеем ЯЛ) + Л(Л) д(а) = О. При подстановке Л = Во выделим вещественные и мнимые части многочленоа Д н В в виде ()((в)= Хо(в)+(У,„(в), П((в)= Х„(в)+(Уо(в).
Тогда вместо (4.40) получим Х,(в)+ Х,(в)о(а) =О, У,(в)+ У~(в)д(а) =О, Эти два уравнения можно преобразовать к виду ХЕ (в) д(а) = —— Ха (в) ' (4.40а) Хо (в) Уя (в) — Уо (в) Хя (в) = О. Сначала из второго уравнения определяется час~эта в пернодического решения, а затем из первого уравнения определяется амплитуда а. Видно, что частота зависит от параметроа лвнейаой части и пе зависит от формы однозначной нелинейности.
В случае же яетлевой нелинейности это свойство нарушается в будет иметь место общий случай уравнений (4.40). Определив таким образом периодическое решение, надо исследовать его устойчввость. Если оно устойчиво, то это означает автоколебатсльный процесс. Неустойчивое периодическое решение имеет другой фиаический смысл (см. в т 1.4 о неустойчнзом предельном цикле). Классический подход в исслелованвю устончиаости периодического рсшеояя сосгоиг в следующем.
Рассмот- рим отклонение Лх от исследуемого периодического ре- шения: х=х*+,Лх, хе с авшгей С учетом этого уравнение динамики системы (4.36) примет вид (~(р) (хе + Лх)+ й (р) Р(хе + Лх) = О, или тч (Э (р) (х* + Лх) + В (р) [Р (х~) + ( — 1 Лх + ...] = О. Но согласно (4.36) Я(р) х + гг (р) г" (х*) = О, поэтому, отбросив слагаемые с производными высшего порядка, получаем уравнение в малых отклонениях ~)(р)Лх+ И(р)( — ) Лх = Ог устойчивость которого надо исследовать. Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.
В самом деле, если, например, Р(х) = Йх', то коэффициент — = (Зйх')* = 3йа' еш' ге~. (ак')' Йх/ Однако исследовать точными методами устойчивость уравнения высокого порядка с периодическими коэффициентами весьма сложно. Поэтому обратимся к приближенному способу. Дадим малые начальные отклонения Ла амплитуды и Лге частоты от их значений а и а в периодическом решении. Тогда х =(а+ Ла)е ' е1п(ге+ Ла)й (4.41) Этим выражением описывается колебательный переходный процесс вблиаи периодического (4.37). Для устойчивости найденного периодического процесса необходимо, очевидно, чтобы в выражении (4.41) величины Ла и $ имели одинаковые знаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
