Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Кроме того, будут проиллюстрированы и многие другие особые свойства нелинейных систем, как, например, отрезни равновесия, скользящие процессы, а танисе особенности, связанные с вынужденными колебаниями н с процессами управления, в котоРых, в отличие от линейных систем, не соблюдается принцип суперпоа»щии. ГЛАВА 2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ФАЗОВОИ ПЛОСКОСТИ й 2 1. Переходные процессы и автоколебания релейной системы В данной главе исследование переходных процессов па фазовой плоскости иллюстрируется на примерах общего характера, выявляющих основные отличительные особснности процессов в нелинейных автоматических системах.
Рассмотрим систему с релейной характеристикой общего вида. Уравнение динамики объекта (рис. 2.1, а) имеет вид (2.1) (Т~р+ 1)х = — йьвн а уравнение регулятора рх~ — — р(х), (2.2) где Р(х) — релейная характеристика (рис. 21,6). Общео уравнение динамики системы найдем, если продифференцируом уравнение (2.1) и затем подставим в ного (2.2). В результате получим выражение да ат Т,— + — = — й г (х) ,из д которое можно представить в виде л* гд в — = у, — = — — — — Р(х). ед лд т т (2.3) Отсюда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий еу 1 ад Г(е) (2.4 е* т, т, д Как видно из ааданной характеристики (рнс.
2.1, б), нелинейную функцию Р(х) модддддо описать следующим образом: осли у = дх/д(д) О, то — с при х< — Ь„ Р(х)= О при — Ьд<х<Ь„ +с при х~Ь; осли у = ддх/дЮ < О, то + с при х> Ьд, Р(х) — О пРи — Ьд<х<Ьд, — е при х< — Ь. В связи с этим на фазовой плоскости (х, у) можно выделить три области: (1) Р(х) = — с; (2) Р(х) = О; (8) Р(х) = +с. Эти три области разделены прямыми (на рис.
2.2 они показаны штриховой линией), которые называются линиями переключения. Такую фазовую плоскость называют мнозолиетной На каждом листе (1, 2, 8) получится свой вид фазовых траекторий. По линиям псреклдочепия эти листы «сшивадотсяз. Фазовые траектории непрерывно переходят с одного листа на другой (за исключением некоторых особых случаев, где они встречаются). В области 1 (Р(х) = — с) уравнение (2.4) принимает вид ев Ф аде д и т, т,д Проинтегрировав его, получим уравнение фазовых траекторий в области 1: и = — йдстд 1и ~ у — у~с ~ — Тду + Сд. (2 5) Фазовые траектории имеют асимптоту у = В~с, к которой онн стремится прн неограниченном увеличении х. Такие фазовые трасктории изобран~ены в области 1 на рис.
2.2. Направление их определяется в соответствии с рассмотренным выше правилом (стр. 15, 16, рис. 1.9). Рве. 2.2 В области 2 (г"(х)= О) уравнение (2.4) примет вид лв — — — у = — —,х+ Сз. лх т ' 2'д Фазовыс траектории — прямолинейные отрезки (см.
область 8 па рис. 2.2). Наконец, в области 8 (г" (х)=+с) уравнспие (2.4) примет вид ЛЛ 1 Лг ,ь = тг тр' откуда, аналогично (2.5), уравнение фазовых траекто-' рий будет х= кгсТг1п)у+йгс) — Тгу+Сз. (26) Фазовые траектории в области 8 стремятся к асимптото у = — йгс при уменьшении х (на рнс. 2.2). В целом фааовые траектории принимают спиралевидную форму. Это соответствует затухающим колебательным процессам. Однако колебательный процесс загухает не до нуля, а до некоторого произвольно— — — — — — го значения (рис. 2.2, у 2.3) в интервале — Ьг ( (х(Ьн и=О, т.
е. внутри зоны нечувствительности реле (рис. 2.1, Рлс. 2.3. б). Таким образом, вместо особой точки здесь получается особый отреаок равновесных состояний, показанный утолщенной линией на рис. 2.2. По какой из фазовых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определяется начальными условиями х(тс), у(Гс) .
л) Рос. 2.4. Рассмотрим теперь частные случаи. В случае релейной характеристики с зоной нечувствительности без нетель (рис. 2 4, а) картина фазовых траекторий будет аналогична изображенной на рис. 2.2, с той разницей, что теперь Ьг = Ьз = Ь, т. е. линии переключения будут прямыми боа излома на оси х. В случае чисто иетлеаой гистерезисной релейной характеристики (рис, 2,4,б) будет отсутствовать область Я (рис.
2.2). В этом случае имеем ' — с при х(Ь,, 1+с при х>Ь„ когда у = Их/й > О; +с при х> — Ь, Р(х) = — с при х( — Ьг когда у = НхИ ( О. Этим определяются линии переключения (штриховые линии на рис. 2.5). Слова от них строим фазовые траектории по уравнению (2.5), а справа — по уравнению (2.6). Это и показано на рис.
2.5. Поскольку ясно видно, что снаружи фазовые траектории образуют сходящиеся спирали, а изнутри расходящиеся, то где-то среди нпх должен быть продольный цикл, к которому они все сходятсн. Он выделен утолщенной замкнутой линией (рис. 2.5) . Это устойчивый предельный цикл, отвечающий автоколебаниям. Лмплнтуда их определяется точкой пересечения предельного цикла с осью х. Физически такое решение оправдано, нбо в соответствии с нелинейной характеристикой (рис. 2.4, б) рслс не имеет равповеспого состояния. Автоколсбания происходят около петли реле с амплитудой, несколько превышающей половину ширины петли Ь. Ъ'становившийся режим работы такой системы автоматического регулирования является автоколебательным.
Так работают, например, вибрационпыс регуляторы на- пряжения сети постоянного тока. Параметры системы должны быть выбраны так, чтобы амплитуда и частота автоколебаний находились в допустимых пределах. 5 2.2. Система со скользящим процессом Проиллюстрируем понятие скользящего процесса на простом примере, Рис. 2.6. Пусть задана система автоматического регулирования '(рис. 2.6), уравнения динамики которой имеют вид р'х = й,хм х~ = г'(х,) = с вгяп х„ х, = — х — х„= -($ + 1с„р) х. Эти уравнения можно представить в виде Нх ви у= у, ф = — й,снап(х+ йэ,у).
(2.7) Дифференциальное уравнение фазовых траекторий: 1СдС вЂ” = — — з1 йп (х + й„у). (2.8) Линия переключения на фазовой плоскости (х, у), следовательно, описывается уравнением р = — — х. 1 (2.9) а Опа показана на рис. 2.7. Справа от этой линии х + й„у ~ О. Поэтому уравнснис фазовых траекторий (2,8) примет вид уду = — й~сдх, откуда ут = — 2й~сх + Сь Таким образом, фазовые траектории — зто параболы, ветви которых направлены в отрицательную сторону оси х. Положение вершины параболы определяется произвольной постоянной Сь т. е.
начальными условиями переводного процесса х(1о), р(1о) Эти параболы изображены у Ыг Рве. 27. на рис. 2.7 справа от линни переключения Направлении движения изображающей точки М по параболам определяется прежним правилом (стр. (5, (О, рис. 1.9). Слева от линии переключения х+ Й„у ( О, и уравнение фазовых траекторий (2.8) имеет влд уду = 1г,сдх, рт =- 21с~сх+ Сь Эти параболы такя<е изобраясепы на рчс. 2.'7 слева от линии переключения. Видно, что на отрезке линии переключения АВ фазовые траектории встречаются, упираясь в зтот отрезок. Это можно расшифровать следующим образом. Пусть процесс идет по фазовой траектории 1 (рис.
2.8), Как только фазовая траектория пересечет линию переключения ОА, вступит в свои права фазовая траектория Я, которая вернет процесс к отрезку ОА: Но тут встретится фазовая траектория 8 и т. д. В результате изображающая точка путем вибраций около линии переключения переместится к началу координат О. Такой ход процесса г У=-$- соответствует переключениям релейного элемента (рис.
2.6, б) с большой частотой. Теоретически частота перегглючения бесконечна, 7 а амплитуда вибраций, изобрал|енных на рпс. 2.8, стремится к пулю. Следовательно, х теоретически изоб ражающая точка скользит по линии переключения к началу коордииат— к равновесному состоянию. Процесс такого рода называется скользящим проч ессом. Найдем закон движения в скользящем процессе. На линии переключения, согласно (2.9), если учесть первое из уравнений (2,7), имеет место уравнение . тс+ — „х = О. ~Ь 1 (2ЛО) Решением этого уравнения является -1~" ос х = хэе где значения ~ = О и х = хо считаются в момент попадания изображающей точки па линию скользящего процесса. Итак, скользящий процесс происходит по эксцоненциальному закопу. Здесь важно отметить следующее. Нелинейная систома второго порядка (2.7) на участке скользящего процесса вырождается в линейную систему первого порядка (2АО), При этом закон движения в скользящем процессе не зависит от параметров прямой цепи системы и определяется только коэффициентом обратной связи.
Например,при начальном положении Ме (рис. 2.7) получим фазовую траекторию МоМ1МгМз, переходящую в сколыкение по линии МгО. Такой фазовой траектории соответствуетпроцесс во времени х(1), изображенный на рис. 2.9, где, как и ранее, отмечены характерные точки. Рис. 2.9. Найдем положение концов отрезка скользящего процесса А и В на фазовой плоскости (рис. 2,7). Очевидно, что в этих точках касательные к параболам совпадают с линией переключения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
