Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 2
Текст из файла (страница 2)
6 1.2. Фазовое пространство и фазовая плоскость При составлении уравнений динамики нелинейной системы все звенья, поддающиеся линеаризации в пределах малых отклонений координат, описываются линейными уравнениями. Для одного или двух (реже — нескольких) существенно нелинейных звеньев этой системы составляются нелинейные уравнения (или используются нелинейные характеристики). В общем случае нелинейные дифференциальные уравнения динамики в нормальной форме имеют вид ~ ' — — Ф, (х„х„..., х„, П е (Е); У (е)), 1 = 1, 2, ..., и, где хю (Х = 1, 2, ..., и) — координаты состояния системы, е(С), у(1) — соответственно вадающие н возмущающие воздействия, или в векторной записи у = Ф(х.1 б. У).
Для рассмотрения пароходных процессов, вызванных какими-либо начальными отклонениями координат (прп отсутствии внешних воздействий) эти уравнения для систем с постоянными параметрамп (т. е. для х т стационарных спстсм) принимают вяд ее. — „,' = Ф; (х„хм..., х„), 1= 1, 2, ..., п, (1.1) а в векторной форме Рес. 1.6. — = Ф (х). (1.2) Для исследования кслипсйвых систем широко используется метод фаеоеоео пространства, который состоит в следующем. Представим сабо и-мерное пространство координат состояния системы (хь хм ..., х„) (рис.1.6)е), «) На рес.
П6 всордоеатлые осе еь ..., е„п-мерного прост. раестеа условно совмещены е одну ось. нааываемое фазовым пространством. Тогда начальное состояние системы х(уо) изобразится определенной точкой Мо с координатами х>(>о), хг(со), °, х„(>о), а процесс во времени, т. е. решение уравнений (1 1) х(1) = (х>(С), хг(у), ..., х (1)), получит изображение в виде некоторой крйвой (рис.
1.6), которая называется фавовой юу траекторией данной системы. Текущая точка М на ней, соответствующая состоянию систе>у>й>1 мы в проиавольный момент времени 8, называется изобража>ощей точкой. Отметим, что значения нелинейных функций "в> Ф> = —, стоящих в уравнениях (1 1) справа, определяют в каждый момент времени проекции Рис. й7. скорости и изображающей точ- ки М на оси координат х>.
Если в многомерном фазовом пространстве мы лишь мысленно можем представить себе геометрическую картину, то, например, для системы егорово порядка (и = 2) Рис. 1.8. можно реально изображать фазовые траектории на плоскости (рис. 1.7).
При атом можно яаобразнть и интезральную кривую для данной системы, добавив ось времени с (рис. 1.8). Уравнения (1.1) при п 2 принимают вид Их лх, — '= Ф,(х„х,), — „' = Ф,(хм х,). (1.3) ег Дифференциальное уравнение фазовой траектории получается путем исключения времени из системы уравнений (1.3): (1.4) Йа Ф (х, х )' Точки равновесного состояния системы определяются нулевыми значениями скорости ах,/ах=О, ггх,/аг О; следовательно, в этих точках Ф,(хн х,)= О, Ф,(х„х,) О, что создает неопределенность правой части уравнения (1.4). Поэтому точки равновесного состояния системы являются так называемыми особыми точками на фазовой плоскости.
Сопоставим изображение переходного процесса в виде фазовых траекторий на вх плоскости у (х) с обыч- х' ным его изображением в виде кривой х(1). Для удобства положим, что уравнения (1.3) имеют более простой вид: Их Ие — = у, †, = Ф (х, у), т. е, координата у, откладываемая по оси ординат фазовой плоскости, представляет собой скорость Рве. 1.9. изменения координаты х, откладываемой по оси абсцисс. В этом случае для изображающей точки спра„- ведливо следующее Правило для направления движения по фазовым траекториям: а) в верхней полуплоскости (рис.
1.9) — слева направо, т. е. в сторону увеличения х, тан нан там скорость у) О; б) в пожней полуплоскости, наоборот,— справа налево; в) ось х пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, так как таи скорость у = О, т. е. имеет место максимум или минимум величины х. Рвс. 1ЛО. Заметим, что это правило недействительно в общем случае уравнения (1.3). Рассмотрим сначала затухающий колебательный процесс х(1) (рис. 1Л0, а). Па цазовую плоскость (рис, 1Л0, б), где у = ох/сн, нанесем отмеченные на кривой переходного процесса точки А, В, С, ..., в которых х имеет либо максимум, либо нуль, либо минимум. В результате получим, что затухающий колебательный процесс изображается на фаговой плоскости в виде сходящейся спиралевидной кривой.
Аналогично расходящийся колебательный процесс (рис. 1Л1, а) изобразнтся на фазовой плоскости в виде расходящейся спиралевидной кривой (рнс. 1.11, б). Очевидно, что периодический процесс (рпс. 1.12, а) изобразится на фазовой плоскости в виде замкнутой кривой (рис.
1Л2, б). За один период колебаний изображающая точка М пробегает весь замкнутый контур, а затем повторяет движение по нему. Монотонный затухающий процесс х(1) (рис. 1.13, а) наобразится на фазовой плоскости в виде кривой, монотонно приближающейся к положению равновесия (рис. 1.13, б), а монотонный расходящийся процесс (рис. 114, а) — в виде лонотонно удаляющейся кривой (рис.
1.14, б). Удобство представления процесса в виде фааовых траекторий па плоскости состоит в том, что вся совокуп- Р а) Рис. п14. ность возможных форм переходных процессов в системе при любых начальных условиях представляется в виде единою «фазового портрета». Недостатком же является то, что мы вынуждены при этом ограничиваться рассмотрением лишь систем второго порядка. Для исследования нелинейных систем более высокого порядка будут приме- невы другие методы. й 1.3. 'Хивы особых точек и фазовые портреты линейных систем ах —,'= а„х + а„х„ дх« —,=а„х, +а,„х„ (1.5) или в векторно-матричной форме ~=А, А-(" В качестве исходного материала, используемого в дальнейшем при иаученин нелинейных систем, рассмотрим особые точки линейных систем второго порядка.
Уравнения линейной системы имеют вид при условии, что матрица А невырожденная, т. е. де1 А чь О. Дифференциальное уравнение фазовых траекторий, согласно (1.5), имеет вид 2 211+ 22 2 (1.6) ах а х+а х Единственной особой точкой (точкой равновесного состоянил системы) является точка х1 = О, х2 = О. Пусть корни Л1 и Л, характеристического уравнения бе1[А — ЛЕ1 = О (здесь Š— единичная матрица) различны. Путем подстановки вида х= Ру, где Р— некоторая невырожденная матрица, матрицу А можно привести к диагональному виду. Уравнения (1.5) примут вид — ~~ = Р-'АРУ =' 61ай (Л„Л,) у, или »2У1»2уз ,»1 = Л1У1»»21 = Лзуз' Решением этих уравнений является 1,1 1,1 у, = Сге ', у, = С,е *. (1 7) рассмотрим фазовые траектории в атой условной системе координат (У1, у2), а затем отобразим фазовые траектории на плоскость исходных координат (х1, хз). Случай вещественных корней Л1 2.
Переходный процесс — алериодический. Пусть »Л2~ ) ) Л!!. (1.8) Исключив 1 иа решения (1.7), получим уравнение фазовых траекторий У,=-СУ,*' . (1.9) Еслв злаки корней Л1 2 одинаковы, то с учетом (1.8) имеем Л21Л1 ~ 1, и фазовые траектории представляются в виде парабол, как показано на ряс. 1А5. При этом на- правление движения изображающей точки М по любой фазовой траектории определяется уравнением (1.7), а именно: случаю Х~ <О, лз< О отвечает рис. 1.15,а, а) Рис. 1Л5. что соответствует затухающим переходным процессам; случай Х~ > О, Х» ) О (рис. 1Л5, б) соответствует расходящимся переходным процесса и. Если н«е знаки корней Хит различны, то в уравненни (1.9) имеем Хз/)'~< < — 1, и фазовые траектории имеют вид гипербол (рис. 1Л6).
В случае отрицательных вещественных коряей (рис. 1.15, а) особая точка О называется то ской типа еустойчиеый узел». В случае полол«ительных вещественных корней (рпс. 1Л5, б) осоРис. 1 16. бая точка О нааывается точкой типа енеустойчиеый узел». В случае же вещественных корней разных знаков '(рис. 1Л6) особая точка О называется точкой типа «седло», Седловая точка всегда неустойчива. Отобразим полученные фазовые портреты линейной системы на плоскость исходных координат (х1, хг).
Используем тот факт, что оси парабол и асимптоты гипербол (уь Уг) сами являются фазовыми траекториями и при линейном преобравовании останутся прямыми. Их отображение на плоскость (х1, хг) примет вид хг = йхь Подставив зто соотношение в (1.6), получим а +а й )г = 2 11 + 12 или а12)сг+(ап — ам))с — аг1 = О, откуда находим дна значения )21 и гсг. Это дает дне прямолинейные фазовые траектории (рис. 1.17) *), На Рис. 2.17. рис. 1.17 дано расположение также и остальных (криволинейпых) фазовых траекторий, Лналогичная картина е) Как и равее на рнсуньах ксэффвцпенты Ь евсзначают не углы, а крутизну пакляна ссстветству1сщнх прямых (т. е.
л равны тангенсам углов наклона). изображена и на рис. 1.18 для особой точки типа «седлом. По какой иэ фазовых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определяется начальными условиями х1(го), хз(Ь), которые дают нам координаты начальной точки Мз (рис. 1.17). Для уточнения такой качественной картины фазовых траекторий можно применить метод изоклин. Изоилиной Рис. 1Л8. называется линия, соединяющая точки фааовых траекторий с одинаковым наклоном касательной, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
