Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 6
Текст из файла (страница 6)
и 2.4. Системы с переменной структурой Переменная структура системы дает дополнительные возможности получения различных желаемых процессов автоматического управления и регулирования. Допустим, Рис. 2.15. в системе предусмотрены две разные структуры, различающиеся звеньями 1 и 2 (рис. 2.15) . Имеется логическое переключающее устройство, которое в зависимости от размеров и знака входной величины х (или пары входных величин) подключает либо звено 1, либо звено 2. Рассмотрим переходный процесс (без внешнего воздействия).
Пусть измерительное и исполнительное устройства идеальные и вместе с регулируемым объектом описываются передаточной функцией ь И'(г) = —,. Звенья же 1 и 2 харэктериауются коэффициентами усиления й~ и 1гэ соответственно. Тогда уравнение динамики замкнутой системы при включении звена 1 аапипгется в виде — *+ 1с,йх = О„ и' (2.21) а при включении звена 2: — + азйх = О. аР (2.22) а) Рэс. 266. Обозначим Нх1гя' = у. Введем следующий закон переключений. Пусть звено 1 включается при ху > О, а звено 2 — при ху ( О, т.
е. имеем уравнения — +1сйх=О при ху) О, Иэ а~э — + йз1сх = О при ху < О. Ы'ж ~И В атом случае в 1 квадранте фазовой плоскости (х, у)' берется дуга эллипса из рпс. 2Л6, а; в 1Ъ' квадранте— нз рис. 2Л6, б; в 111 — снова из рис. 2Л6, а н т. д. Как Каждое из этих уравнений является уравнением неустойчивой системы. Картины фааовых траекторий в соответствии с з 1.3 показаны на рис.
2Л6, а и б соответственно. видно по рис. 2.17, получается затухающий колебательный процесс, т. е. за счет переменности структуры система становптся устойчивой. Такой колебательный процесс не всегда приемлем. Поэтому чаще всего в системах с переменной структурой стремятся ограниаовать скользящий апериодический процесс. Рассмотрим это на конкретном примере. Пусть в той же системе (рпс.
215) звено 1 имеет коэффициент усиления йн а звехр 0 во 2 — коэффициент усиления — йд (усиление с переменной знака сигнала). Пусть при этом в переключающем устройстве формируется величина х1 — — у + сх. (2.23) Переключения в системе установим так, чтобы хл 2 Их — з+йдйх=О при хдх) О, (2.24) Ла — — адах = О при хдх < О. Рис.
237. ад~ (2.25) Тогда линиями переключения будут: ось р и прямая (2.26)' р = — сх, обозначенная на рис. 2.18 волнистой линией. Согласно (2.24) в областях, где ххд ) О (т. е. а правой полуплоскости — над линией переключения, в левой — под ней), фазовые траектории будут эллипсами. В остальных областях, где хх1 < Π— гиперболами (см. з 1.3). Овн и показаны на рнс. 2.18.
На рисунке видно, что все фазовые траектории встречаются на линии переключения р = — сх. Зто и означает наличие скользящего процесса (аналогичпо примеру в $2.2). Но, в отличие от случая, описанного в з 2.2, адесь линия скользящего процесса не ограничена. Поэтому при любых начальных условиях система входит в реяовм скользлщего процесса без предварительных колебаний. Зтот процесс, согласно (2.26), описывается уравнением Ых — и — +ох=О, в=хзе и где значения г = О и л = хе определяются моментом попадания изображающей точки на линию скользящего процесса. Заметим, что форма скользящего процесса зависит от параметра с управляющего устройства и не зависит от Рис.
218, параметров и и й| основной части системы. Это весьма важное свойство скользящего режима обусловило то, что при построении систем с переменной структурой стремятся сформировать управление таким образом, чтобы обеспечивался именно скользящий процесс. Ниже, в главе 7, будут рассмотрены системы с переменной структурой высокого порядка. Данная глава была посвящена изобралгениго переходных процессов в нелинейных системах на фазовой плоскости. Вместе с том на примерах были изучены различные типы нелинейных систем и характерные особенности их поведения в переходных процессах, которые коренным образом отличают их от поведения линейных систем. ГЛАВА 3 МЕТОДЫ ПРИПАСОВЫВАНИЯ И ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ й ЗЛ. Метод припасовывания Часто нелинейные системы представляются как кусочно-линейные, т. е.
их динамические свойства описываются линейными дифференциальными уравнениями, разными для равных участков процесса управления. Таковыми, например, были все нелинейные системы, рассмотренные в предыдущей главе. Метод припасовывания состоит в том, что линейные дифференциальные уравнения решаются в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке в полученных решениях произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состыковывались друг с другом. Это делается следующим образом: по заданным начальным условиям процесса определяются произвольные постоянные в общем решении для первого участка. Значения фазовых координат з конце первого участка служат начальными условиями для второго участка и т.
д. Вообще говоря, описанная схема метода припасовывания может быть применена и тогда, когда какой-либо участок описывается нелинейнььи дифференциальным уравнением при условии, что известно его общее решение. Проиллюстрируем на простом примере использование метода припасовывания для определения переходного процесса и для определения периодического решения (автоколебаний). Дала система, схема которой изображена на рис.
3.1, а, нелинейная характеристика Г(х) регулятора представлена на рис. 3.1, б. Уравнение объекта: (Т,р+ 1)х = — й хп уравнение регулятора: рх1 — — г" (х) . Общее уравнение замкнутой системы имеет вид (ЗЛ) Определение переходного процесса. Представим себе примерно возможный качественный вид процесса Рис. ЗЛ. (рис. 3.2)'. Он раабивается на участки АВ, ВВ и т. д., внутри которых в соответствии с нелинейной характери- Ф(6 с Рис.
3.2. стикой функция г" (х) принимает постоянные значения +с или — с. Иаобрааим отдельно участки АВ и ВВ (рио. 3.3), отсчитывая время с на каждом из них от нуля. На участке АВ, согласно (3.1), уравнение системы с'. ех Т,— + — = — йс 1 н2 имеет мерный интеграл в виде сЬ* их, — = Сге ' — йс Ю (3.2) а второй— х = — Т,С,е ' — йсг+ С. -ит, (3.3) р .
з.з. Начальные условия: г=О, х= о, Их/й=х~. По ним иэ (3.2) и (3,3) находим С, = ха+ йс, С, = 6+ Т,С,. (3.й) На участке ВВ, согласно (ЗЛ), имеем Е'х Их Т вЂ” + — = й с. геге й Первый интеграл этого уравнения — =Се ' +йс сх -дт, ст (3.5) а второй— х = — Т,Съе нг'+ йсг+ С,. (3.6) Начальные условия для участка ВВ (в точке В) определяются на основании решения относительно точки В уравнения для предыдущего участка АВ, Из (3.2) находим хв = С е е '+Ьс„ (3.7) где С, известно из (3.4), а величина Ь определяется из уравнения (3.3) при условии хз = — Ь, т. е. -св(т, — Ь = — Т,Сге — йс~ + С„ где Сз известно из (3.4)'. Отсюда определяем 1з и полученное значение подставляем в формулу (3.7).
Таким образом, начальные условия для участка ВР имеют вид лх э=О, х= — Ь, — = хв а и, согласно (3.5), (3.6), получаем Сз = хв — йс, Са = — Ь + Т,С,. На следующем за точкой Р участке снова, как и на АВ, будет решаться уравнение ох дх Т,— + — = — йр; и~' при етом произвольные постоянные определятся с учетом координат конца предыдущего участка ВР и т.
д. Определение периодического решения (автоколебаний). В атом случае расстояние АР по оси времени (рис. 3.2) является периодиом автоколебаний. Вся кривая АВР после точки Р должна повторяться в точности в том же виде. Вследствие нечетной симметрии характеристики (рис. ЗА, б) должна иметь место нечетная симметрия и полупериодов АВ и ВР Поэтому для определения нериодического решения (автоколебаний) достаточно рассмотреть один полупериод — участок АВ. Обозначим через Т полуиериод искомых автоколебаний.
В силу периодичности решения начало н конец участка АВ должны удовлетворять равенствам х,= — х, х„= х„= — Ь прн 8= Т. (3.8) Первое условие, согласно (3.2)', яриннмает вид Сге ттт' — йс = — (Сг — йс), откуда 2ас +,-тдт, (3.9) Второе условие (3.8), согласно (3.3)', запишется в виде — Ь= — ТСе д ' — ОТ+С, Сд — — Ь+Тс, или ТдСд (1 — е ~*') — йсТ = — 2Ь. Подставив сюда вырадкение для Сд из (3.9)', придем к уравнению т Т Ь 1)д — = — —— 27 2Т ЬсУ с одной неизвестной величиной — полупериодом Т. Трансцендентное уравнение (3.10) легко решается графически. Обозначим у ь — = у, — = Ь„з, = $)д у, зд = у — Ь .
2 та ест, Амплитуда автоколебаний определится как х „научастке АВ (рис. 3.2), т. е. из условия Нх~Ж = О. При этом из (3.2) Сде = йс, (3.11) где С1 определяется формулой (3.9), а 1 — время Ь в точке максимума пока неизвестно. Из (311) с учетом (3.9) находим Кривые гд и зз, согласно этим равенствам, изображены на рнс. 3.4. Решением уравнения (3.10) будет точка з, = зз, т.
е. точка пересечения кривых з~ и гз (рис. 3.4). Отсюда находим полупериод Т автоколебаний. Частота азтоколебаний 2к а 2Т Т' откуда 1„, = — Т,!л~ — (1+е ~~ ')~. Далее по формуле (3.3) определим амплитуду автоко- лебаний: а = хмел — — — Т,С,е '"~ ' — йс1„, + 5+ ТтСы где С1 иавестно нз (3.9). В результате формула а = йсТ ($Ь вЂ , + 1л ~ (1 + е-~У~ )~~ + 5 вт, позволяет вычислить и амплитуду автоколебаний. й 3.2. Метод точечного преобравования Изложенный выгле метод припасовывания свяван со сложностями увявывания начальных условий каждого участка с получаемыми данными в конце предыдущего участка. Метод точечного преобразования представляет собой усовершенствование метода припасовывания с привлечением геометрических представлений в фазовом пространстве.
Запишем в общем виде уравнения динамики нелинейной системы второго порядка без внешнего воздействия: л = Рг(х у),й = гз(х. у) (ЗЛ2) На фазовой плоскости (х, у) возьмем какой-нибудь отрезок линии АВ, который пересекается фазовыми траекториями в одном направлении (рис. 3.5). Обозначим через е координату произвольной точки у на отрезке АВ, отсчитываемую вдоль дуги АВ от начала А. Пусть решение уравнений (3.12) х = х(1), у = у(1) дает фазовую траекторию, проходящую через точку (1.
Допустим далее, что с увеличением Г эта фазовая траектория снова пересечет отрезок АВ в некоторой другой точке ~' (рпс. 3.5). Координату точки Р' по дуге АВ обозначим е'. Точна ()' (первого следующего пересечения отрезка АВ той же фазовой траекторией) называется последую- и)ей по отношению к исходной точке ч. Зависимость е'=У() (3.13) соответствующая ходу фааовой траектории в силу решения уравнений (3А2), называется функцией последования. Функция последования определяет закон точечного преобразования для данной нелинейной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
