Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это условие, согласно (2.9), можно записать з энде (2.11) тогда из уравнения фазовых траекторий (2.8) получим для точек А и В соответственно условие (2А() в виде й1с 1 — — — — уа = Ьгс(гогг УА ОС й1с 1 — — — ув = — Йгсйос Ув "о. Следовательно, отрезок скользящего больше, чем больше коэффициенты цепи и обратной связи. 2.3. Система с логическим управлением. Учет временнбго запаздывания Рассмотрим автоматическую систему угловой стабилизации объекта в среде без сопротивления (стабилизация аппарата в космосе).
Структурная схема системы изобва- жена на рис. 2.10. Уравнение динамики объекта, т. е. уравнение вращения объекта вокруг своей оси, имеет вид (2.12) где у — момент инерции, ю — угловая скорость, М вЂ” вращающий момент со стороны системы управления. Будем считать, что вследствие некоторых внешних возмущений объект начал И»гзела вращаться (например, в результате неидеальпостн процесса отделения от носителя при запуске), и рассмотрим его стабилизацию с поИлмраюаж мощью системь» управления приотл сутствин внешних возмущений. Система управления (рис 2.10)' состоят из двух измерителей: измеуар астм рителя угла р и измерителя уг- »»» лозой скорости ю, с которых сигнаИр „„ц~ля лы и~ и из снимаюгсн в Релейной устнвглм» форме, показанной на рис.
2.11 Эти сигналы поступают в логическое устройство, вырабатывающее нелиРяс. 2ЛО. нейный закон управления в виде некоторой логической функции Ф(<р, ю), которая служит управляющим воздействием на включение и выключение газовых сопел, создазощих вращательный момент Л1. Логическая управляющая функция Ф(у, гз) может быть сформирована в различных видах. В простейшем случае можно сформировать ее, как показало на рис. 212, использовав для переключений скачки сигналов и» и из (рис. 2.11) при <р= ~Ь| и ю = -+.Ьв Прн этом Ф= 1 соответствует созданию управляющего момента в положительном направлении (против часовой стрелки), Ф = = — 1 — в отрицательном направлении и Ф = 0 — отсутствию момента (все сопла выключены) Указанный выбор логической функции Ф диктуется следующими соображениями. В нулевой зоне — Ь| «р ( ( Ь» (рис, 2.11 и 2.12) сигнала от датчика угла устанавливаем Ф = О, так как объект находится вблизи требуемого положения ~р = О, и регулирующее воздействие не требуется.
В 1 квадранте (рис. 2.12) имеем ~р) О и се = с(гр(с(1 ) О. Следовательно, угол ~р увеличивается во времени — объект уходит от требуемого положения, Здесь устанавливаем Ф = — 1 (направление вращающего момента противоположно направлению угловой скорости ю). Рис.
2.11. Аналогично в 111 квадранте, где знаки ~р и ю отрицательные, включается Ф = +1. Что касается 1Ч квадранта (рис. 2.12), то там ~р ~ О, но ю = Ифс(1 < О, т. е. объект сам возвращается к требуемому положению гр = = О. Здесь можно обойтись без управляющего момента. Устанавливаем Ф = О.
Границей между областью Ф = — 1 (в 1 квадранте) и областью Ф = О (в 1У квадранте) назначаем величину гс = = — Ьз (рнс. 2.12), когда сигнал с датчика угловой скорости имеет перескок с нуля к отрицательному значению (рис. 2.11). Аналогично поступаем и во Рвс. 2.12. 11 квадранте (рис. 212). В соответствии с атой схемой строится логическое устройство (рис. 2ЛО) .
Его функционирование можно описать таблицей выходного сигнала Ф в зависимости от входных: Здесь приведен пример простейшей логики формирования закона управления. Можно выбирать и другие, более сложные, в зависимости от требований, предъявляемых к системе по экономичности, точности, быстродействию и т. п.. Рассмотрим идеальную работу системы управления (без запаздывания сигналов по всей цепи звеньев).
В этом случае уравнение системы управления запишется в виде М = М,Ф(гр, го)', (2ЛЗ) где М,=сопзь — величина управляющего момента, ко торый создается включаемыми на постоянную тягу газовыми соплами; Ф (гр, го) — логический закон управления, определяемый в данном случае приведенной выше таблицей или согласно графику рис. 2Л2. Общее уравнение системы, согласно '(2.12)' и '(2ЛЗ)', можно записать в виде — ю, — = сФ (~р, го), с = — '. (2Л4) Физический смысл величины с — постоянное угловое ускорение вращения объекта под действием момента М,„ Дифференциальное уравнение фазовых траекторий: — = — Ф (гр, го).
(2ЛЗ) Фазовую плоскость ограничим по оси абсцисс впаченияыи — и ( гр ~+и (рис. 2ЛЗ), причем для вращающегося тела точки гр = ~п совпадают.*) Этим охватывается полный оборот объекта. *) Поскольку по оси абсцисс откладываются зпачепия — и ~ < гр (+я, т. е. зпачепия угла поворота тела вокруг оси, то иы фактически получаем цилиндрическую Грозовую поверхность, ко торая здесь развернута па плоскость.
В области, где Ф= — 1 (рис. 2ЛЗ)', уравнения '(2.15)' принимают внд в Ив = — сйр, вследствие чего фазовые траектории являются параболами: в' = — 2счр + С,. '(2Л6)' В области, где Ф =+1, имеем фазовые траектории в' = 2с~р+ С,. (2Л7)' Наконец, в области, где Ф = О, получаем прямые линии в См (2.18) Все указанные траектории приведены на рис. 2.13.
Рассмотрим ход процесса. Пусть начальные условия определяются точкой Жо (рис. 2.13). Процесс пойдет согласно фазовой траектории У,— 1 — 2. Точка 2 (<р= +и) при вращении совпадает о точкой 2' (<р — л). Поэтому дальше процесс пойдет в соответствии с фазовой траекторией 2 — 8 — 4 — 5. Как видно из рис. 2,13, точка |у|, в которой угол |р равен начальному (в точке |у»), означает, что объект совершил один полный оборот. Затем (траектория |У! — Л вЂ” 4 — 5) он начал колебательное движение около своей оси. Начиная с точки 5, получаем замкнутую фазовую траекторию 5 — 6 — У вЂ” 8 — 5. Следовательно, объект входит в установившийся автоколебательный режим с амплитудой ь' а=Ь + —.
» 2с' (2.19) Своеобразие атого предельного цикла состоит, во-первых, в том, что снаружи фазовые траектории приближаются к нему не асимптотически, как было ранее в других задачах, а за конечное число колебаний (и за конечное время).
В описанном выше процессе это было за один оборот плюс один размах колебания. Своеобразие этого предельного цикла заключается также в том, что фаэовые траектории внутри него тоже замкнутые и окружают отрезок равновесия ь»Е. Поэтому при малых начальных отклонениях, лежащих внутри предельного цикла, получаются периодические колебания, определяемые начальными условиями. В частности, состояние равновесия, возможное только при е|о = О и — Ь! ( |ро ( Ь!, не является устойчивым. Особый отрезок ВЕ имеет здесь свойства, аналогичные особой точке типа «центр» (рис.
1.17). Итак, установившимся режимом в данной системе являютсн автоколебания с амплитудой (219). Введем теперь в рассмотрение времеяябе запаздывание в системе уиравлеяия. Пусть т| — величина запаздывания при включении газовых сопел, а т» — при их выключении (т») т|). Поскольку к линии включения сопел |р = Ь| (рис. 2.13) объект подходит с постоянной скоростью (горизонтальные фазовые траектории), то за счет запаздывания включения сопел т! он перейдет за эту линию на величину Ь|р= «эт!. Это значит, что линия включения займет теперь в координатах (|р, «э) наклонное положение (рис.
214). Лналогично и в 1П квадранте. К линии же выключения сопел е| = — Ь» объект подходит с постоянным ускорением — с (параболическая фа- новая траектория). Позтому за счет запаздывания выключения сопел тз он перейдет за зту линию на величипу Асс = — стм Следовательно, линии выключении сопел с» = — Ьс сместится вниз (рис. 2Л4). Аналогично в левой полуплоскости линия выключения ю = Ьз сместится вверх на величину Аю = стм Рис.
2Л4. В соответствии с зтим на рис. 2Л4 нанесены фазовые траектории. Видно, что предельный цикл аа счет запаздываний увеличился в раамерах. Амплитуда его А=-Ь, (-(Ь +от,)т,-)- ' ' (2.20) (Ь, + ст ) вместо прескней (2Л9). Изменится картина фазовых траекторий н внутри предельного цикла. Там включение сопел будет происходить на линиях Г6 и Р~6ь Выключение же — на линиях ЕН и Р1Нь которые получаются от перехода парабол за линии ср= Л-Ь, па Асс =.+сте соответственно, причем отрезок А (рис. 2Л4) определяется по формуле (Ьс+ стс) е Д= ' ' =Ь„,+ 2с 2с 2 В результате внутри предельного цикла получаются расходящиеся спиралевидные фазовые траектории, Это соот- ветствует расходящимся колебаниям системы, переходящим в предельный цика.
Здесь, как и в предыдущем случае, система попадает в автоколебательный режим извне не асимптотически, а за конечное число колебаний. Рассмотренный подход к учету на фазовой плоскости временнбго запаздывания в системе зквивалентен в какой-то степени исследованию некоторых свойств системы выше второго порядка. Примерно таким же образом может влиять на поведение системы учет постоянных времени в системе управления. Аналогичным способом могкно производить учет временнбго запаздывания и в релейных системах автоматического управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
