Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988) (1095388), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В этом случае при положительном Ла амплитуда уменьшается, а при отрицательном Ла — увеличивается, стремясь к значению а, Чтобы на атом основании вывести критерий устойчивости, используем символическую запись выражений (4.37) и (4.41); соответственно имеем х = ае'™, а = (а + Ла) ед га"+ухи. Первое решение определялось уравнением Х(а, в)+уу(а, в) = О. По аналогии с этим для нахождения второго решения запишем уравнение Х(а+ Ла, в+Лв+ук) +уу(а+ Ла, в+ Лв+у$) = О.
Разлоящв это выраягение в ряд Тейлора и использовав предыдущее выражение, получим ~ЯЛ +®*(Л +а+1( — з')*й + узусов + 1~ — ) (Ьв ~- ус) = О, где звездочка означает подставку значений а и в, соответствующих исследуемому периодическому решению. Если в агом выражении выделить вещественную и мнимую части, а нз полученных в результате двух уравнений исключить величину Лв, то найдем Для устойчивости периодического решения, как уже говорилось, требуется одинаковость знаков $ и Ла. Следовательно, требуется, чтобы (4.43) В дополнение к атому нужно потребовать, чтобы в характеристическом уразнсппв гармонически линеаризованной системы (4.39) все остальные корни (кроме использованной нами пары чисто мнимых) имели отрицатель- ные вещественные части, т. е. чтобы многочлен О <х)+ д <и (ч+ — 'х) (4.43) удовлетворял критерию Гурвица (алп Михайлова). В случае систем третьего и четвертого порядка для этого достаточно потребовать лишь положительности коэффициентов уравнения (4.39).
Рис. 4ЛЗ. Итак, критерием устойчивости периодического решения является неравенство (4.42) с добавлением (4.43), если исследуется система выше четвертого порядка. Приведем примеры определения автоколебаний наложенным методом. Пример 1. Следящая система (рис. 4.13) описывается уравнениями е=сг — р, и=в(е), (Тр+1)1=Я,и, (Тр+1)рр йД где р(е) — нелинейная характеристика усилителя с насыщением.
Уравнение линейной части при а 0 будет (Т|р+ 1) (Тгр+ 1) ре = -к„и, к„= к1кг. Гармоническая линеарнзацня нелинейностя, согласно (4.28), дает й при а(Ь, Д= ЗЬ( . Ь Ь .Г Ьз'1 — ~агса!и — — — ~ ° 1 — — ) прн а~Ь. я~ а а ~/ а) а характеристическое уравнение— ТЪТРР+(Тъ + Тз)Хз,+ а+ йдд(а) = О. Рнс„4.14. После подстановки й=!и получаем два уравнения Х(а, и) = О, йод(а) — (Тг+ То) оР = О, У (а, ш) = Оз са — Т,Т,оР = О. (4.45) Здесь подтверждается свойство (4.40а).
Из второго уравнения определяем частоту периодического решения 1 ОЭ= у т,т, (4.46) а из первого прн атом получаем ь (т+т)' (4.47) Используя готовый грабя о(а) (рис. 4.8, б), находим амплитуду периодического решения а, как показано на рнс. 414, Гармонически линеарнаованное уранпенне замкнутой системы имеет вид [(Т~Р+1) (Тгр+1)Р+йпч(а) !е = О, (444) Для определения устойчивости решения, согласно критерию (4.42), надо найти производные выражений (4.45): ~ — ) = йз~ —,з) <О, ~ — ) = — 2(Т, + Т,)со*<0; Ф = е= — ° ° '*=- в ) = О, ~ — ) = (1 — ЪТ,ТЯ* = — 2 < О. Критерий (4.42) удовлетворяется.
Следовательно, имеют место автоколебапия. Гзс. 4.15. Если учесть, что о(а)< й (рис. 4.14), из уравнения 14.47) вытекают условия существования азтоколебаний или 7 +Т ° 1. (4.48) 71 = к,з — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи данной системы в линейном плане. Легко видеть, что (4.48) представляет собой условие неустойчивости этой системы как линейной согласно критерию Гурвица.
Граница устойчивости $ $ К,р — — — +— т, т, является в то же время границей области автоколебаний. Эта граница нанесена на плоскости параметров (К, Т!) (рис. 4.15). Левее этой границы имеет место область устойчивости равновесно- а го состояния системы, а 1 (! правее — область автоко- 7 лебанпй, где изображены, ! согласно (4.46) и (4.47), линии равных значений Ь аи ге. ! ! Зависимость амплиту- ! ды автоколебаний от ко- !7 эффициента К паображе- бт на на рис.
4.16. Если веРис. 4Л6. личину а трактовать ши- ре — как амплитуду колебаний в переходном процессе, то стрелками (рис. 4.16) можно покааать направление изменения амплитуды в равных областях значений К. В линейной системе (без насыщения) при К( К было бы аатухание,а при К) ʄ— неограниченно расходящиеся колебания. В нелинейной системе (с насыщением) колебания при К ) ~ К„, расходятся не до бесконечности, а до определенной амплитуды. При больших же начальных отклонениях они даже затухают (рис.
4.16),таккакимеется устойчивый автоколебательный режим. Пример 2. Пусть теперь в той же следящей системе (рис. 4.13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рпс. 4.17, а). Уравнение аамкнутой системы имеет вид (4.44), где, в отличие от прежнего случая, / Ьз д= ~~ 1 . а ~Ь. яа ~/ аз* Решения (4.46) и (4.47) сохраняют свой вид. Меняется только график д(а). Подобно рис. 4.6, з он показан адесь на рис. 417, б.
Уравнение (4.47) имеет два решения а~ н аз (рнс. 4.17, 6), причем в точках а! и аз имеем соответственно од/оа ) О и од7йа ( О. С учетом втого знаки производных в критерии устойчивости периодического решения (4.42) окааыеаются такими, что в точке а1 критерий не выполняется (решение неустойчиво), а в точке аз — выполняется. В соответствии с этим решением (рнс. 4.17, б) на рис.
4.18 изображена вависимость амплитуды автоколебаний (аз) и амплитуды неустойчивого периодического решения (а~) в аависимости от ко- б+б ллрй Ряс. 4.17. эффицнента усиления линейной части системы й„. Стрелками обозначены направления изменения амплитуды колебаний в переходных процессах.
Величина й„(рнс. 4.18) соответствует точке максимума на рис. 4.17, б, т. е, Прн Й„( й„, равновесное состояние устойчиво прп любых начальных условиях. Если й„) Й„„, то равновесное состояние устойчиво лишь при малыхнзчальных отклонениях (ннже линии а1), а при больших начальных отклонениях (выше линии а~) устанавливаются автоколебания с амплитудой аз. Здесь имеет место пример присущей нелинейным системам существенной зависимости характера поведения системы от порядка величин начальных условий.
Линни а1 и аз (рис. 4.18) разделяют области притяжения различных установившихся режимов по начальным условиям, На рис. 4.10 показан результат ре1пения той же задачи при идеальном реле, а на рис. 4.20 — при петлевой характеристике реле. Последний случай отличается тем, а Ю Я„ к, р "л Р . 1Э. Рис. 4ЛВ.
что характеристическое уравнение вместо прежнего получает вид Т1Т212+ (Т1 + Т2) ).2+ ) + йс [у (а) + 2 )1~ = О, где, согласно (4.23), Ьс Ь , 42Ь вЂ” — ч' = — —. ла 22 ~ 2' После подстановки Ь. = (а получаем Х = Ус„о (а) — (Т, + Т,) о12 = 0„ У Ь ( о ) + с Т Т с 2 О ) (4.49) Исключив й, иа этих уравнений, с подстановкой выражения д'(а) получим (т,+г,)м 1 2 откуда определяется е1(а) при заданных Т, и Т2. После этого иа второго уравнения (4.49) имеем й,="4Ь"(1 — Т,Т, '). 42Ь Это поаволяет с учетом полученной выше ю(а) построить зависимости а(й,) и ю()г,), изображенные ва рис.
4.20. Это решение характеризуется величием взвисимости ю(й,) (рис. 4.20, б) в отличие от всех предыдущих примеров, где частота ю (4.46) не зависела от К и 1с,. Заметим, что в отличие от случаев, покаванных на рпс. 4.19 и 4.20, с мягкин возбуждением автоколебаний Рис. 4.20. при любых параметрах системы, ва рис. 4.18 для релейной системы с зоной нечувствительности имеем обласгь устойчивости равновесного состояния (О ( в ~ й„) и жесткое возбуждение автоколебаний при з' ) й,р (требующее заброса начального состояния системы за линию ан т.
е. ао о~). й 4.4. Частотный способ определения симметричных автоколебаний Базируясь иа свойстве фильтра линейной части системы (т 4.1), ищем периодпческоерешение нелинейной системы (рвс. 4.21) ва входе нелинейного элемента приближенно в виде х = а з1п ы1 (4.50) с неизвестными а и ю. Задана форма нелинейности р = )г(х) н передаточная функция линейной части И',(з) = —. Н(0 = Е(0 Проиаводнтся гармоническая линеаризация нелинейности В (х) = ~у(а) + — р1 х„ что приводит к передаточной функции И»в(а, е) =о(п)+ — е.
ч' (а) Амплитудно-фазовая частотная характеристика рааомкнутой цепи системы получает вид И'()ю) = И' ЖИ' (а) = ' И(п)+ )д'(а)). Периодическое решение лпнеаризованпой системы (4.50) получается при наличии в характеристическом уравнении аамкнутой системы пары чисто мнимых корней. А ато по критерию Найквиста соответствует прохождению Лонеаная И'(уы) через точку — 1. Следовательно, периодическое решение (4.50) определяется равенством Леяанеанае И»,(1ю) И'„(а) = — 1, еекеа нлп И', (ую) = — —, (4.51) 1 л — ».»," Рис. 4.21 где И',(а) = д(а)'+зд'(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
