Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 9
Текст из файла (страница 9)
рис. 15) .=Из физики известно , что работа силы Р при перемещенииS равнаA=F·S·cos<p Т.е .А=Р·В.Таким образом, работа постоянной силыпри прямолинейном перемещении ее точ·В5Аки приложения равна скалярному произРис.15ведению вектора силы на вектор перемещения .Прu,м,ер 6.3. Вычислить работу, произведенную силой Р=(3; 2; 4),если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положенияА(2;4; 6)в положение В(4;2; 7).Под каким углом к АВ направленасила Р?Q Решение : НаходимА = Р·S=АВ =(2, -2 , 1) .
Стало быть,S = 3·2 +2 · (-2) + 4 · 1 = 6(ед. работы) .Р·ВУгол <р между F и S находим по формуле cos<p = /_ , т. е .F/·/S/6 6 2cos<p= J9+4+16.J4+4+1= J2§ · з = J2§'50<р2= arccos у29.мr;•§ 7.веКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВИ· ЕГО СВОЙСТВА7.1. Определение векторного проиэведенияТри некомпланарных вектора а,6и ё, взятые в указанном порядке,образуют правую mpo1J.x;y, если с конца третьего вектора ё кратчайшийповорот от первого вектора а ко второму вектору6 виденсовершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см.
рис.16).правая тройка, у левая тройкааРис.§16Be1CтOpHЪL.М nроuзведенuе.м вектора а на вектор6 называетсяве'Кmор ё, который:1) перпендикулярен векторам а и Б, т. е . ё..l а и ё.i 6;2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма,строенного на векторах а и 6 как на сторонах (см. рис. 17), т. е .lёl =3) векторы а,6иlal . 161 sin <р,гдепо<р = (а, Б)jё образуют правую тройку.zёуjхРис.Рис.17Векторное произведение обозначается а х6 или18[а,6] .Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами2 х J = k,Докажем , например,2, J и kJ х k = 2, k х i = J.что i х J = k.(см .
рис . 18):о 1)k -L i,I2)-LJ;но li х JIIk/ = 1,З) векторы= lil·IJI· sin90° = 1;i, J и k образуютправую тройку (см. рис.16).•7.2. Свойства векторного произведения1.Привекторноеах Бперестановкепроизведение= -(Б х а)сомножителейменяетзнак,ахЬт. е ..;:::ПblПЦ~ЛПЩУ(см. рис. 19).;.:.:.:-:.:.:.:-:-:.:-:.:.;.:-:-;.;.;.:.;.;.:.".1:.:-:-:.;.:-:-:-:.;.;.:.:.:-:-:-:-:-:.:-:-» ;О Векторы а х Б и Б х а коллинеарны , име.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.:-;.;.;.;.:.;.:./.;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:::::;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.:.;.;.;.;.;.:.;.;.,ют одинаковые модули (площадь параллеОлогра.мма остается неизменной), но проти.;;;:-;;:::;:::::;:::.;:::::: .. :.:.:.:.:::::авоположно направлены (тройки а, Б, а х Би а, Б, Б х а противоположной ориентации) .Стало быть, а х Б-(Б ха) .•=2.Векторноесочетательнымпроизведениесвойствомскалярного множителя,(ла) х Б а х (лБ).==обладаетотносительноЬха=т.
е. л(а х Б)Рис.19о Пусть л > О . Вектор л(ах Б) перпендикулярен векторам а и Б. Вектор(ла) х Б также перпендикулярен векторам а и Б (векторы а, ла лежатв одной плоскости). Значит, векторы л(а х Б) и (ла) х Б коллинеарны.Очевидно, что и направления их совпадают.
Имеют одинаковую длину :-/л(а х Б) 1 = лlа х Б/ = лlа/ . IБI . sin(a, Б)и= Лlаl·IБlsiп(а,Б).= ла х Б. Аналогично доказывается при л < О.I(ла) х Б/ = Iлаl'IБI ' sin(ла,Б)Поэтому л(а х Б)•З. Два ненулевых вектора а и Б коллинеарны тогда и только тогда,а11Бкогда{=:}ихв екторноепроизведениеравнонулевомувектору,т. е.а х Б = О.о Если а 11 Б, 2..0 угол между ними равен 00 или 1800. Но тогдаla х БI== lal · IБI . sin(a, Б) = О. Значит, а х Б = О.Если же а х Бт. е . а 11 Б.= О, то lа/·/БI sin <р = О. Но тогда <р = 00 или <р = 1800,~i х i = J х J = k х k = О.В частности,4.вом:•Векторное произведение обладает распределительным свойст-(а + Б) х ё= а х ё + Б х ё.Примем без доказательства.527.3.
Выражение векторного произведения.через координатыМы будем использовать таблицу векторного произведения векторовl, } и k:zijkkОjk-j-kоzJ-iОЧтобы не ошибиться сознаком,удобно пользоваться схемой:_0_k~jесли направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то прои з ведение равно третьему вектору, если не совпадает-третий вектор берется со знаком «минус».Пусть заданы два вектора а = axl + ау} + azk и ь= bxl + Ьу} + bzk.Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их какмногочлены (согласно свойств векторного произведения):ах Ь= (axl + ау) + azk)х (bxl+ Ь у ) + bzk)==~~~x~+~~~xn+~~~x~+~~ax~+~~axn++ ауьха х k) + azbx(k х l) + azby(k х J) + azbz(k х k) == 0+ axbyk - ахЬ х } - aybxk + О + aybzl + ахЬ х } - azbyl + О == (ауЬ х -azby)l - (ахЬ х - ахЬ,,;)} + (ахЬ у - aybx)k =-Ia~Ьyayl kЬуу'т.
е .- laах Ь = . Ь:(7.1)Полученную формулу можно записать еще короче:ахЬ=так как правая часть равенстваzjkахауахЬхЬуЬх(7.1),соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки . Равенстволегко запоминается.53(7.2)(7.2)Некоторые приложения векторного проиэведения7.4.Установление коллинеарности векторовЕсли а11Ь, то а х ЬахЬ== о (и наоборот), т. е.ijkа",ауazЬ",Ьуbz=0{:::::>а",ауЬ",= ЬуНахождение площади параллелограмма и треугольникаСогласно определению векторного произведения векторов а и ьla х bl = lal·lbl sin<p, т. е.
Впар = la х bl. И , значит, ВI:; = !Ia х bl·Определение момента силы относительно точки=Пусть в точке А приложена сила FАВ и пусть О - некоторая20).Из физики известно, что моментом силы F относительно точки Оточка пространства (см. рис.называется вектор М, который проходит через точку О и:1)2)перпендикулярен плоскости, проходя щей через точки О, А, В;численно равен ПРОИЗ'ведению силы на плечо--IMI = IFI· ON = IFI · lfl· sin<p = IFI·IOAI sin(F, ОА);3)образует правую тройку с векторами ОА и АВ.Стало быть, М = ОА х Р."1О """F~.л:/Вf,,',,~',,,/"А--оNРис.Рис .2021Нахождение линейной скорости вращенияv точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоw вокруг неподвижной оси, определяется формулой ЭйлераСкоростьростьюv=wх(см.
рис.Т, где f21).=ОМ, где О-некоторая н~подвижная точка оси§ 8.СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Е3ЕКТОРОВ8.1.Определение смешаl1НОГО произведения,'его геометрический смыслРассмотрим произведение векторов а, ь и ё, составленное следующим образом: (а х Ь) . ё. Здесь первые два вектора перемножаютсявекторно, а их результат скаляр но на третий вектор. Такое произведение называется ве?Сmорно-с?Са.л.ярны.м, илис.мешанны.м, произведениемтрех векторов. Смешанное произведение представляет собой некотороечисло.Выясним геометрический смысл вы-ражения (а х Ь) .ё.
Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторыа, ь, ё и векторIdld=dIIа х ь (см . рис . 22).=II=Имеем: (а х Ь) . ёа· ёIdl . ПРit ё,= la х 61 = S, где S - площадь паралIлелограмма, построенного на векторах а=и Ь, ПРit ёторов и ПРitёвысотаН для правой тройки век-Н ' для левой, где Н -=параллелепипеда.Получаем:(а х Ь) . ё = S· (±Н), т. е. (а х Ь) . ё == ± V,гдеV -объем параллелепипеда,Рис .22образованного векторами а, Ь и ё.Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком«минус», если они образуют левую тройку.Свойства смешанного произведения8.2.1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.
е. (а х Ь) . ё= (Ь х ё) . а = (ё х а) . Ь.Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.2.Смешанное произведение не меняется при пере мене местами зна= а· (Ь х ё).Действительно, (а х Ь)· ё = ±V и а· (Ь х ё) = (Ь х ё) · а = ±V. Знакков векторного и скалярного умножения, т. е. (а х 6) . ёв правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройкивекторов а, Ь, ё и Ь, ё, а-одной ориентации.55=Следовательно, (а х Ь)· ё а(Ь х ё). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х Ь)ё в виде аЬё без знаков векторного,скалярного умножения.3.Смешанное произведение меняет свой знак при перемене местлюбых двух векторов-сомножителей, т. е.
аБё= -ёЬа.Действительно,такаяперестановка= -осЬ, аЬё = -Ьаё, аЬё =равносильнаперестановкесомножителей в векторном произведении, меняющей у произведениязнак.4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, Ь и ё равно нулютогда и только тогда, когда они компланарны.О Если аЬё= о, то а, Ь, ё -компланарны.Допустим, что это не так.
Можно было бы построить параллелепипед с объемом Vf:.= ±V, то= о. .о. Но так как аЬёаЬё f:. о . Это противоречит условию: аЬёполучили бы, чтоОбратно, пусть векторы а, Ь, ё - компланарны. Тогда вектор d == ах Ь будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а,Ь, ё, и, следовательно, d 1.
ё. Поэтому d . ё = о, т. е. аЬё = о.•8.3. Выражение смешанного' проиэведениячерез координатыёПусть заданы векторы а = axz + ау] + azk, Ьbxz + Ь у ] + bzk,Найдем их смешанное произведение, используя вы= cxz + Су] + сJё.ражения в координатах для векторного и скалярного произведений:(а х Ь)ё == (I~:ijахауЬХЬуkaz .
(cxz + Су] + czk) =bz~: ~: 1] + 1~: ~: 1k) . (cxz + Су] + czk) =a_1 ау az 11ах bz 1· Су + 1~: ау 1 z· (8.1)уу bХazbz 1z-1Ь.zСх-ЬzЬ.CПолученную формулу можно записать короче:так как правая часть равенства(8.1)-представляет собой разложениеопределителя третьего порядка по элементам третьей строки .Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.568.4. Некоторые приложения смешанного произведенияОпределение взаимной ориентации векторов в пространствеОпределение взаимной ориентации векторов 0;, Ь и ё основано наследующих соображениях. Если О;Ьё > О, то 0;, Ь, ё - правая тройка;если О;Ьё < О, то 0;, Ь, ё - левая тройка.Установление компланарности векторовВекторы 0;, Ь и ё компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (о; f- О, Ь f- О, ё f- О):О;Ьё= О <==>ахауЬХЬуazbzсхсуCz= о <==>векторы 0;, Ь, ё компланарны.Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирам идыНетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного навекторах 0;, Ь и ё вычисляется как V=100Ьёl, а объем треугольнойпирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = ilО;Ьёl.Прu.мерВ(О;-1; 1),8.1.5; 2)С(2;Вершинами пирамиды служат точки А(l;иD(3; О; -2).2; 3),Найти объем пирамиды.а Решение: Находим векторы 0;, Ь, ё:о; = АВ = (-1; -3; -2),Ь = АС = (1; 3; -1),ё = AD = (2; -2; -5).Находим О;Ьё:О;Ьё=-112-33-2-2-1 = -1· (-17) + 3· (-3) - 2· (-8) = 17 - 9 + 16 = 24.-5Следовательно, V=i.24= 4.•Глава111.АНАЛИТИЧЕСКАЯ r;ЕОМЕТРИЯНА IlЛОСКОСТИЛекции7-9§ 9.
СИСТЕМА КООРДИНАТ9.1. Основные понятия~НА ПЛОСКОСТИПод систе,м,оu 7\:оординат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Однойиз таких систем является nря,м,оуго.ltЬНа.я (aer;;apmoBa) систе,м,а 7\:0ординат.Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярнымиупрямымиуданосями, на каждой из которыхединичный(масштабный)отрезок.Единицу масштаба обычно берут одинакоjо-выбрано положительное направление и захХiвой для обеих осей. Эти оси называют ося.м:и "оорди'Нат, точку их пересечения О-'На-чnло.м: "оорди'Нат. Одну из осей называРис.23ют осью абс'U,uсс (осью Ох), другую ~ осьюорди'Нат (осью Оу) (рис.23).На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат-вертикально и направленной снизу вверх.
Оси координат делят плоскость на четыре области--четвертu (или "вадра'Нт'Ы).Единичные векторы осей обозначают2 и J (121Систему координат обозначают Оху (или=02)),IJI=1,2 .L)).а плоскость, в которой расположена система координат, называют "оорди'Нат'Но11 n.лосr;;остью.Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор О Мназывается paauycom-веr;;mором точки М.~Координата,м,и тО-Ч7\:и М в системе координат Оху (Oi)) называются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ= (х; у), токоординаты точки М записывают так: М(х; у), число х называется а6сциссоu точки М, у -ординатои точки М.Эти два числа х и у полностью определяют положение точки наплоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.58Другой практически важной системой координат является полярная система ","оорди'Наm.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
