Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Квадратную матрицу размераn х n называют матрицейn-го nоряiJtcа.Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементовглавной диагонали, равны нулю, называется iJuагональноfi..Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется еiJuнu'Чноfi.. Обозначается буквой Е.Прu,м,ер-1.1.~X3~ О ~ Оединичная матрица 3-го порядка.Еnхn ~ (~' ~-единичная матрица n-го порядка.16)~Квадратная матрица называется mреугольн.о11., если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равнынулю.~Матрица, все элементы которой равны нулю, называется н.улево11..Обозначается буквой о. Имеет видO~( : .
: .....: )в матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел О и1в арифметике.~Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называетсяве'/Сторо,м, (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:A~ (~JМатрица размера1ется с этим числом, т. е.~1, состоящая(5)lXl есть 5.хиз одного числа, отождествляМатрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей тран.сnон.ирован.н.о11.
к данной. Обозначается А Т .Так, если А= С ~), то АТ = (~Транспонированная(АТ)Т1.2.матрица:),если А= (~), то А Т =(1 О).обладаетследующимсвойством:= А.Действия над матрицамиСложениеОперация сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.Суммой двух .матриц А тхnматрица Ст х nПрu,м,ер(~= (Cij)такая, что=Cij= (b ij ) называется= 1, т, j = г,n).(aij) и В тхn= aij + bij(i1.2.-353-23-5Аналогично определяется разность .матриц.17ОО-110).Умножение на число=Произведением матрицъ! А тхn(aij) на 'Число k называется ма= (b;j) такая, 'JTO bij = k· aij (i = 1,т, j = 1,n).трица В тхnПрu.меР 1.3.~А_(О -1-Матрица -А34) , k = 2,А· k =~(1~ ).-28= (-1) .
А называется nротивОnОЛOJlCноi1 матрице А.Разность матрицА-В можно определить так: А-В= А + (-В).Операции сложения матриц и умножения матрицы на 'Jисло обладают следующими свойствами:1. А+В = В+А;2. А+ (В + С) = (А + В) + С;3.А+О= А;4.АА=где А, В, С--А6. 0:.(А7.О;(о:8. 0:.матрицы, о: и {З-= А;5. 1·+ В)+ (з)((ЗА)+ о:В;.
А = о:А + {ЗА;== о:А(0:{З). А,'Jисла.Элементарные преобразования матрицЭлементарными nреобразованu.ями ·матриц являются:•перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;•умножение всех элементов ряда матрицы на 'Jисло, ОТЛИ'Jное отнуля;•прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующихэлементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же 'JИсло.Е§]Две матрицы А и В называются Э1Свuвa.ttе'Нm'Н'bt.Мu, если одна изних ПОЛУ'Jается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается АrvВ.При помощи элементарных преобразований любую матрицу можнопривести к матрице, у которой в на'Jале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю.
Такуюматрицу называют '1инони'Чесr.оi1, например(~ ~ 1~)18Прu.мер1.4.Привести к каноническому виду матрицуA~ (Н ~1:)Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаемQ('1 ;) ~-2:)~~H--------C~l2 -12)3 22 О 1О 4 1о4О5~(~О2-6:5:2~ООJ) ~ ~(~О5-15IО5-15О11-3 -3:3ОООоО ОО)О.О•l=.!.L1Произведение матриц~О-9-о~ ~ ~)~ (~ ~ОI22-6Операция умножения двух матриц вводится только для случая,когда "чuсло столб'Цов nервоfJ. ,матри'Ц"Ь! рав"Но "Чuслу стро"/С второfJ.,матри'Цы .Проuзведе"Нuе,м ,матри'Цы А тхnназывается матрица СтхрCik=ai] . b 1k+ ai2.
b 2kт. е . элемент i-й строки и= (aij)"На .маm,рu'Цу В n х р= (b jk )(Cik) такая, что=+ ... + ainbnk,k-roгдеi = 1, т, k= г,р,столбца матрицы произведения С равенсумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементыk-roстолбца матрицы В.ПО/1учение эл емента Cik схематично изображается так:l~-:~:-:;: : :)Если матрицы А и В квадратные . одного размера, то произведенияАВ и ВА всегда существуют.
Легко показать, что А · ЕА-квадратная матрица, ЕПрu.мер-= Е · А = А, гдеединичная матрица того же размера.1.5. (a l l=а2]19Прu,м,ер1.6.А = (~ ~ ~), В=(~ ~). Тогда произведение 'А · В не определено, так как число столбцов матрицы Ает с числом строк матрицы В(2).(3)не совпадаПри этом определено произведениеВ х А, которое считают следующим образом:В·А= С ~). с211) = (11+6+9О2+32+21 + О) = (10 51+07 4Матрицы А и В называются nерестаново'Чн'Ыми, если АВ= ВА.Умножение матриц обладает следующими свойствами:1.2.= (А · В) . С;А· (В + С) = АВ + АС;А· (Весли ,. С)конечно,написанныесуммы+ В) .
С =3.(А4.а(АВ)иАС+ ВС;= (аА)В,произведенияматрицимеютсмысл.Для операции транспонирования верны свойства:ОПРЕДЕЛИТЕЛИ§ 2.2.1.Основные понятияКвадратной матрице А порядка(илиIAI, или1. nnможно сопоставить числоdet А~), называемое ее определителем, следующим образом:= 1. А = (аl); detA = аl.2. n = 2. А =3. n =З, А=( al1, а21СИа12а22а12а21а22аЗ1аЗ2) ; detа,,)а2ЗА = I all а121 =а21detA =;азза22all .а22allа12а1За21а22а2ЗаЗlаЗ2азз-а12.а21'=Определитель матрицы А также называют ее детерминантом.Правило вычисления детерминанта для матрицы порядкаNявляется довольно сложным для восприятия и применения . Однако известныметоды, позволяющие реализовать вычисление определителей высокихпорядков на основе определителей низших порядков. Один из методов20основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с.23,свойствоневыСОКИХ порядков7). При этом заметим, что определители(1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласноопределению.Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:1: :1Прu.мер2.1.=Найти определители матрициQI~I-I/.Icosa( -sinasina) .cosaРешение :р ~31 =I2·6 - 5 .
(-3) = 12 - (-15) = 27;cosa sin а-sina cosaI = cos 2 а + sш. 2а =•1.При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоватьсяnравuло-м треугольников (или Саррюса), которое символически можнозаписать так:1: : :I~I~II~I(основания(основанияравнобедренныхтреугольниковтреугольниковпараллельныпарCUlЛельныпобочнойглавнойдиагонали)днагонали)Прu.мер2.2.Вычислить определитель матрицы3-216О5А=Q1-4-3Решение:detA== 5 ·1· (-3)+ (-2) . (-4)·6 + 3· 0·1 - 6 ·1·1- 3· (-2) . (-3) -О·(-4) ·5== -15 + 48 - 6 - 18 = 48 - 39 = 9.21•2.2.
Свойства определителейСформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех ПОРЯДКОD. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.Своf1ство«<Равноправность строк и столбцов») . Определитель1не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.Иными словами,а121,I all=а22а12allа12а1За21а22а2ЗаЗ1аЗ2азз=allа21аЗ1а12а22аЗ2аlЗа2ЗаззВ дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами оnределите.л.я.Своf1ствоПри перестановке двух параллельных рядов опреде-2.литель меняет знак.,Ceof1cmeo 3.
Определитель, имеющий два одинаковых ряда , равеннулю.4.Своf1ствоОбщий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.Из свойстви34следует, что если все элемен,тЪL н,е1\,оторого рядаnроnорцион,альн,ы соответствующим элемен,там nараллельн,ого ряда,тоQma1\,of1 определитель равен, н,улю.Действительно,allk . allа12k·аЗ1а12а1Зk·аЗ2Своf1ствоа1З= k·аззallа12а1Зallа12а1ЗаЗ1аЗ2азз= k . О = О.•Если элементы какого-либо ряда определителя пред5.стаВ'ляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может бытьразложен на сумму двух ~оответствующих определителей.Например,аllа12а21а22аЗ1аЗ2Своf1ство+Ь+сазз + dа1За2З=allа12а1За21а22а2ЗаЗ1аЗ2азз«<Элементарные6+allа12Ьа21а22саЗ2dаЗ1преобразованияопределителя»).Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавитьсоответствующие элементыпараллельного ряда, умноженныебое число .Прu,м,ер2.3.~=Доказать , чтоа1lа12а1Зallа1 2а1За21а22а2 За2 1а22аЗ1аЗ2аз заЗ1аЗ 2а2Зазз22+ k .
а12+ k· а22+ k . аЗ2на люРешение: Действительно, используя свойстваQallа12аlЗ+kа21а22а2ЗаЗ1аЗ2азз+ k . а22+ k . аЗ25, 4и3,получим. а12а22а2ЗаЗ2азз+ k·а21а22а22аЗ1аЗ2аЗ2=.6.+k .О =.6..•Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиям и минораи алгебраического дополнения.~Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определительn -1-гопорядка, полученный из исходногопутем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.Так, если~АЛ2ебраu-чес'/Сuм доnолненuем элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если суммаi+j-четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. ОбозначаетсяA ij : A ij = (-1)Н] . mij.A ll = +mll, А З2 = -mЗ2.Сво11сmво 7 «<Разложение определителяТак,по элементам некоторогоряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторогоряда на соответствующие им алгебраические дополнения.Проиллюстрируем и одновременно докажем свойствоопределителя 3-его порядка.
В этом случае свойство:-a-;i --a12 --0,1з1.6. = "о'21--а22---а2-З- = all . A llаЗlаЗ277 напримереозначает, что+ a12 . A 12 + аlЗ . А 1з ·аззо в самом деле, имеем=all·1 ~~~= аll(а22 а зз=all а22азз --~:: 1+ а12а2з а З2)-all а2заЗ2 -. (-1~~~ ~:: 1) + аlЗ ·1 ~~~ ~~~ 1=а12(а21 а зза12а21 азз+ аlз(а21аЗ2 + а12а2заЗl ++ аlза21аЗ2 - аlза22аЗl23-а2з а Зl)а22 а Зl) == .6..•Свойство7 содержитв себе способ вычисления определителей высоких порядков .Прu..мер2.4.Вычислите определитель матрицы5 7 8)7О1532-1Q.7 4Решение: для разложения определителя обычно выбирают тот ряд,где есть нулевые элементы, т.
к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.)---.: 3:I75:-1: 7: о: 5I8О132=t_~J -17 4701578578=3· 5 3 2 +1 · 5 3 2 +0· 7 О 1 -1·-1 7 4-1 7 4-1 7 4= 3· (7·3·4 + (-1) . О . 2 + 5 . 7 . 1 - (-1) ·3· 1 - 7·7·25787 О 15 3 2- 5 . О . 4)++ (5·3·4 + (-1) · 7 · 2 + 5·7 · 8 - (-1) ·3·8 - 5·7·4 - 5 · 7·2)- (5· 0·2 + 7·1 · 5 + 7·3 · 8 - 5 · 0·8 - 3·1·5 - 7·7 · 2) = 122.•Свойство8.Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.Так, например, allA 21§ 3.+ а12А22 + аlзА2З = о.НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ3.1.
Основные понятияПусть А-квадратная матрица n-го порядкаa llА = ( ~~~аnl~Квадратная матрица А называется HeвЪLpo:нcдeHHoи, если определитель ~случае (~= det Ане равен нулю : ~= det А "1= О) матрица А называется вЪLpo:нcдeHHoи.24о. В противном~. МатрицеЙ, СОЮ3НОU 7с .матрице А, называется матрицаА*гдеA ij=(AllА21A 1nА 2nAnl)~.l~ А 22~~~,А nnалгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А-(оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элементаопределителя) .~Матрица А -1 называется обратнои матрице А, если выполняетсяУ словиегде Е-А. А -1= А-1.А= Е,(3.1)единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А- 1 имеет те же размеры, что и матрица А.3.2.Обратная матрицаТеорема3.1.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.о Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка .
ПустьА = (~~~ ~~~аЗ1причемdet Аf:.о.аЗ2Составим союзную матрицуА* = (~~~АЗ1)А З2А ззА 1зт. е.Здесь мы использовали. А * = det А . Е.свойства 7 и 8 определителейА25(3.2)(см. п .2.2).Аналогично убеждаемся, чтоА·Равенства(3.2)и. А = det А . Е.(3.3)перепишем в виде(3.3)А·А· - - = Еde~AА·иdetA' А = Е.Сравнивая полученные результаты с определениемA- 1А·= detA'(3.1),АЗl)А- 1 = _1_.detAт. е.получаемА З2А зз.•Отметим ceoiJ.cтea обратной матрицы:= de~A;1. det(A- 1 )2.(А· В)-13. (A-l)ТВ-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
