Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 8
Текст из файла (страница 8)
направленная прямая.1 называется основание М1 перпендиПусть в пространстве задана осьПрое'/С'Цuей то'Ч,'/Сu М на оськуляра М M j,опущенного из точки на ось.Точка М ! есть точка пересечения оси1сплоскостью, проходящейчерез точку М перпендикулярно оси (см. рис.7) .мАРис.Рис.7Если точка М лежит на оси[,8то проекция точки М на ось совпадает сМ.Пусть АВf:. О).произвольный вектор (АВ-и В 1 проекции на осьи рассмотрим векторl соответственноA1B1.Прое'/С'ЦuеЙ. ве'/Стора АВ на осьОбозначим через А 1начала А и конца В вектора АВназывается положительное числоlIA1B11, если вектор A1B1 и ОСЬ 1 одинаково направлены и отрицательное число -IA1B11, если вектор A1B1 и ось 1 противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки А 1 И В ! совпадают (A1B 1 = 0), то проекциявектора АВ равна О.Проекция вектора АВ на осьАВобозначается так: ПРl АВ.
Еслиl= О или АВ .ll, то ПРl АВ = О.Угол'Р -междуBe'/'l,mopoMрами) изображен на рисункеа и осью9.~'=-кJ-,,,,,а,'р,1 (илиОчевидно, ОРис .429угол между двумя векта:::;'р :::; ?т.Рассмотрим некоторые ocHoeHbte ceQucmea npoe~'ЦuЙ.Свойство 1. Проекция вектора о; на ось1 равнапроизведению модуля вектора о; на косинус угла ер между вектором и осью, т. е.
пр/ о;= 10;1 . cosep.Q Если ер=(a,L) <I'то пр/ о; =Если ер>Iер)II= 10;1· cosep(см. рис. 10).Если I / ) -..,..- 2I2' то пр/ 0;=0= lal cosep .•СледствиеаII(ер :::; 7Г), то пр/ о;= -10;11 = -10;1 · соs(7Г --~~= +10;11 = 10;1 . cos ер.=Рис..110Проекция вектора на ось ПОЛОжительна (отрицатель5.1.на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю,если этот уголСледствие-5.2.прямой .Проекции равных векторов на одну и ту же ось равнымежду собой.Свойство2.Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось.Q Пусть, например, d = о;+Ь+с.
Имеем пр/ d = +ld11 = +10;11+Ib11-IСll,т. е . пр/(О; + Ь + с) = ПРt о; + ПРt Ь + ПРt с (см. рис. 11)..•Свойство3.При умножении вектора О; на число л его проекция наось также умножается на это число, т. е .пр/(л . 0;)о При л> о имеем ПР/(Л·О;)= л . li.il . cos ер = л . пр/О;.При Л=< О:= л · ПРt 0;.= lлаl · cosep =(свойство1)IПР/(Л·О;) = IЛо;l·соs(7Г-ер) =-л· 10;1 . (- cosep)л 0;.
cos ерл пр/О;.= .,= .Свойство справедливо, очевидно, и при л==0.•(11::b1I:=~~~=::;+:---!Рис... 111Таким образом , линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.МОДУЛЬ вектора. Направляющие косинусыРассмотрим в пространстве прямоугольную систему координатOxyz.Выделим на координатных осях Ох, Оу иторы (орты), обозначаемыеl, }, k соответственноOzединичные век(см. рис.
12).zуMlr - - - - - - - - - "х12Рис.Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а= О М.Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем черезконец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно черезMl ,М2 и мз . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор О М. Тогда прх а= IOMll,пруа= IOM 2 1,прzаскольких векторов находим аА так какMlN =ОМ2 ,а= IОМзl.=По определению суммы не= О М 1 + М! N + N М.NM =ОМз , то= ОМ! + ОМ2 + ОМз .(5.1)НоОМ! = IOMll·I,ОМ2 = IOM2 1·},Обозначим проекции вектора ано через ах, ау и a z , т.
е.равенств(5.1)и(5.2)IOMllОМз = IОМз l·k.(5.2)= ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответствен= ах, IOM2 = ау, IОМз l = a z . Тогда из1получаемIа= ах . l + ау . } + a z . k·1(5.3)Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разлл;нсе'Н,uем ве7Стора по ортам 7Соордин.ат'Н,их ocef1..44Числа ах, ау,a z называются 1Соордината.м:u ве1Стора 0:, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатныеоси.Векторное равенство(5.3)часто записывают в символическом виде: о:= (ах; ау; zz).РавеНСТВО,Б = (Ьх ; Ь у ; bz ) означает, что БЗная проекции вектора=Ь х ·l + Ьу .
J + bz . k.0:, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного222параллелепипеда можно написать=IОМз I 2 ,l 121IOMIIOM+ IOM+т. е.(5.4)Отсюда10:1~= Ja 2 +а 2 +а 2z'хут. е . .модуль ве1Стора равен 1Свадратно.му 1Сорню UЗ су.м.мы1Свадратов его nрое1Сцu{t на оси 1Соординат.Пусть углы вектора о: с осями Ох, Оу иа,/3,Ozсоответственно равны'У. По свойству проекции вектора на ось, имеемах =10:1· cosa,ау =10:1· cos/3,az =10:1· cos'Y.(5.5)Или, что то же самое,ахcosa =Числатораcos а, cos /3, COS'Y10:1'azауcos/3=10:1'cos'y =10:1'называются иаnрав.ляющ'U.М'U r;ос'Uиуса.мu век0:.Подставим выраженияСократив на(5.5)в равенство(5.4),получаем10:12 = 10:12 .
cos2а + 10:12 . cos 2/3 + 10:12 . cos 2'У.10:12 -:f. О, получим соотношениеI cos2 а + cos2 /3 + cos2 'У = 1, I~т. е. су.м.ма 1Свадратов наnравл..яющuх 1Сосинусов ненулево~Легко заметить, что координатами единичного вектора е являютсяго ве'lCffiора равна единице.числаcosa, cos/3, cos'Y, т. е. е = (cosa; cos/3; cos'Y).Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.5.5.Действия над векторами, заданными проекциямиПусть векторы о: = (ах; ау; a z ) и Б = (Ь х ; Ь у ; bz ) заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу,о: = ах .
lOz+ ау . J + a z . k,или, что то же самоеБ = Ьх . l45+ Ь у . J + bz . k.Линейные операции над векторамиТак как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можнозаписать:=1. а ± Б(ах ± bx)i + (ау ± Ь у )} + (a z ± bz)k, или кратко а ± Б == (ах ±Ь х ; ау ±Ьу ; a z ±bz ).
То есть при сложенuи (вы'Чuтанuи) ee1l:mopoeих oaHou.м.eHHbte1I:OOpaUHamuС1l:Ладываются (вы'Читаются).2. ла = лах ·I+Ла у '; +),.az·k или короче ла = (ла х ; ла у ; Ла z ). То естьпри умноженииee1l:mopaна С1l:аляр координатыee1l:mopaумножаютсяна этот С1l:аляр.Равенство векторовИз определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, чтодва ee1l:mopa а и Б равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: ах = Ь х , ау = Ь у , a z = bz , т. е.аЬ <===}={ах= Ьх ,ау=az= bz .Ьу ,Коллинеарность векторовВыясним условия коллинеарности векторов а и Б, заданных своимикоординатами.Так как а11Б, то можно записать а= л· Б, где л -некоторое число.То естьах .
i+ ау· J + az . k = Л(Ь Х i + Ь у . J + bz . k)•Отсюдат. е.ахахЬ~Х_-л= лЬ х ,ау,Ь_у -л,ау= лЬ у ,az _bz -лazили= ль х . I + лЬ у . J + ль z . k.= лЬ z ,ах = ауЬхЬуazbz'Таким образом, nрое1l:'ЦUU 1I:оллинеарных ee1l:тopoe nроnор'Ционал'ЬHbt.Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорцио-нальные координаты, коллинеарны.Координаты точкиПусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координатOxy.z.Для любой точки М координаты вектора О М называются 'lCоординатами то'Ч'lCU М. Вектор ОМ называется радиус-ве'ICторомточкиточки1'v1, обозначается т, т.
е. ОМ = Т. Следовательно,- это координаты ее радиус-векторат = (х; У; z ) или т = х . i + у . J + z . k.Координаты точки М записываются в виде М(х ; у;46z).координатыКООРАинаты вектора= АВ,Найдем координаты вектора iiесли известны координатыточек А(Хl; Уl; Zl) и В(Х2; У2; Z2) . Имеем (см, рис.АВ= ОВ -ОА= (Х2 . i + У2 . ] + Z2 . k) = (Х2 -(Хl .
i13):+ Уlxl)i + (У2 -+ ZlYl)] + (Z2.]. k)=- zl)k.Следовательно, 'lCоорди'Н.ат'Ы ве'ICтора рав'Н.'Ы раз'Н.остям соответствуЮЩ'UХ lCоорди'Н.ат его lCо'Н.'Ца 'U 'Н.а-ча.ла: АВ= (Х2 -Хl; У2 - Уl; Z2 - Zl).АzВLkоуj,х--_ ...ь~ПРБаРис .Рис.1314СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ§ 6.И ЕГО СВОЙСТВАОпределение скалярного произведения6.1.§С7Салярн:ы.м, nроизведе'Нием, двух ненулевых векторов ii и Ь называется -число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.Обозначается аЬ, а· Ь (или (а, Б)). Итак, по определению,(6.1)где t.p= (а,Ь).Формуле(6.1)можно придать иной вид.
Так какliilcost.p= ПРБii,(см. рис. 14), а Ibl cos t.p = пра Ь, то получаем:IаЬ = lal . ПР а Ь = Ibl . ПРБ а, Iт. е.скалярноепроизведение двухвекторовравно(6 .2)модулюодногоизних, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.476.2. Свойства скалярного проиэведения1.
Скалярное произведение обладает переместительным свойством:аБ = Ба..-о аБ = lаl·IБI·соs(а, Б), а Ба = I§: lal·cos(~). и так как lаl·IБI = IБI·lаl,как произведение чисел и cos(a, Б) = соs(Б, а), то аБ = Ба~•2.Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (ла) . Б= л(аБ).•о (ла)Ь = Ibl . ПРБ ла = л . Ibl . ПРБ а = Л(аЬ).3. Скалярное произведениевом: а(Ь + ё) = аЬ + аё.обладает распределительным свойстО а(Ь + ё) = lal .
ПРа(Ь + ё) = lal . (ПРа Ь + пра ё) = lal пра Ь + lal . пра ё ==~+~•4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: а2В частности:~-2-2i = j-2= k = 1.•Если вектор а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль#= lal 2 .lal,т. е.= lal (# =1- а).Прu.м.ер 6.1. Найти длину вектора ё = 3а-4Ь, если lal = 2, IБI = 3,(а,Ь) =Qj.Решение:lёl = .;& = V(3a - 4Ь)2 = V9a2 - 24аЬ + 16ь2 == )9.4 - 24·2·3·~ + 16·9 =)108 =6vГз.
•5. Если векторы а 'и Ь (ненулевые) взаимно перпендикулярны, тоих скалярное произведение равно нулю, т. е. если а ..1 Ь, то аЬ = о.Справедливо и обратное утверждение: если аЬ = о и а =1- о =1- Б, то а ..1 Ь.О Так как <р = (а, Ь) =~, то cos<p = cos ~ = о. Следовательно,а· Б = lal . Ibl . .Q..= о. Если же а· Ь = о и lal =1- о, Ibl =1- о, то cos(a, Ь) = о.Отсюда <р= (а, Ь) = 900, т.
е. a..l Ь. в частности:z.J = J . k = k . z= о.48•6.3.Выражение скалярного произв.едениячерез координатыПусть заданы два вектораНайдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторовk:+ а у Ь",ll+ azb",kZI а·jki1ООjО1ОkОО1+ a",byz]+ ауЬу ]]+ azbyk]а",Ь",Пт. е.~+ a",bzzk ++ aybz]k ++ azbzkkz, ],=Ь = а",Ь", + ауЬ у + azbz·1Итак, С7'i:ал.яр'Ное nРОUЗfJеде'Нuе ве7'i:mоров рав'Но сумме nроuзведе'Нuй иход'Ноиме'Н'Ных ",оорди'Наm.Прu.мерногоD(3; -2; 2),Q6.2.Доказать, что диагонали четырехугольника, заданкоординатамивершинА( -4;-4; 4),В( -3;2; 2),С(2;5; 1),взаимно перпендикулярны.Решение: Составим вектора АС иного четырехугольника.
Имеем: АСBD, лежащие на диагоналях дан= (6; 9; -3) и BD(6; -4; О). Най=дем скалярное про изведение этих векторов:АС·Отсюда следует, что АСBD= 36 -..1 BD.36 -О= О.Диагонали четырехугольникавзаимно перпендикулярны.49ABCD•Некотррые приложения скалярного произведения6.4.Угол межАУ векторамиОпределение угла <р между ненулевыми векторами аи Б= (Ь Ж ; Ь у ; bz ):cOs<p=а·Б/а/./Б/'Т. е .cos<p== (аж; ау; a z ). /а 2х + а 2у + а z2 ..V/Ь 2ж + Ь 2у + Ь z2 .VОтсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов аи Б:Проекция вектора на заданное направлениеНахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором Б, может осуществляться по формулепрь аа·Б= ---т. е./Ь/Работа постоянной силыПусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы Р, образующейугол <р с перемещением АВS (см .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
