Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 7
Текст из файла (страница 7)
.... . ...... ..... . .. ... .......akkxkгде k ~ n, aii#О, i= Ц.+ .. . + aknXn = bk ,Коэффициенты аи называются главным,иэлементами системы.На втором этапе (обратныt! ход) идет последовательное определение неизвестных из этоt! ступенчатой системы .34Опишем метод Гаусса подробнее.Прямой ход.Будем считать, что элемент all -:р О (если al1= О,то первым всистеме запишем уравнение, в котором коэффициент при Хl отличенот нуля) .Преобразуем систему(4.3),исключив неизвестное Хl во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы).
Для этого умножим обе части первого уравнения на -Qll иallсложим почленно со вторым уравнением системы . Затем умножим обечасти первого уравнения на -~ и сложим с третьим уравнением сиallстемы . Продолжая этот процесс, получим эквивалентную системуЗдесь a~?, b~l) (i,j= 2,т) -новые значения коэффициентов и правыхчастей, которые получаются после первого шага.Аналогичным образом, считая главным элементом a~~) -:р О, исключим неизвестное Х2 из всех уравнений системы, кроме первого ивторого, и так далее.
Продолжаем этот процесс, пока это возможно.Если в процессе приведения системы(4.3)к ступенчатому виду появятся нулевые уравнеfjИЯ, т. е. равенства вида ОЕсли же появится уравнение вида О= bi ,= О, их отбрасывают.а Ь ; -:р О , то это свидетельствует о несовместности системы.Второй этап (обратны.Й ход) заключается в решении ступенчатой системы . Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеетбесчисленное множество решений. В последнем уравнении . этой системы выражаем первое неизвестноеXkчерез остальные неизвестные(Xk+l, . .. , ХН).
Затем подставляем значение Xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем Xk-l через (Xk+l, ... , Хn); затем находимXk-2, ... , Xl· Придавая свободным неизвестным (Xk+l, ..• , Х n ) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.3а.ме'Ч,анuя :ной, т. е.k1.Если ступенчатая система оказывается треуголь= n, то исходная система имеет единственное решение.Изпоследнего уравнения находим Х n , из предпоследнего уравнения Х n -l,далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные(Х n -2' . ..
'Хl).2.На практике удобнее работать не с системой(4 .3),а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над35ее строками. Удобно, чтобы коэффициентбыл равенall1(уравненияпереставить местами, либо разделить обе части уравнения на al1Прu.м.ер4.4.Решить систему методом Гаусса:{Qi- 1).2Х1Х2 +3Хз --Хl -Х2 -5хз3Хl - 2Х2 ' - 2хз7Хl -5Х4 = 1,5Х2 -9хз= 2,-5Х4= 3,10Х4= 8.Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы(~- (~-1-1-2-5-1112~) (~-53-5О-2 -5-9 -10.,...5О13 -513 -526 -10~з)-3-1-1-2-5(~-6О-53-2-9-5-5-10О-11-513ОООООО-5i) зi)исходная система свел ась к ступенчатой:{ Xl -Х2-5хзХ2+ 13хзПоэтому общее решение системы: Х2Если положить, например, Хзрешений этой системы ХlПрu.мер4.5.-5Х4= 2,= -3.= 5Х4 -13хз -3; Хl = 5Х4 -8хз -1.= О, Х4 = О, то найдем одно из частных•= -1, Х2 = -3, Хз = О, Х4 = о.Решить систему методом Гаусса:Хl2Хl3Хl{+Х2+Хз = 3,+ 3Х2 + 2хз = 7,+ Х2 + Хз = 5,5Хl -Х2 -Хз= 3.Q Решение: Произведем элементарные преобразования над строчкамирасширенной матрицы системы:31 )-4-1236(~:~~) (~~~:).01120000Полученная матрица соответствует системе{Хl+ Х2 + Хз = 3,Х2Хз= 1,= 1.Осуществляя; обратный ход, находим Хз= 1,Х2= 1,Хl•= 1.4.5.
Системы линеиных однородных уравненииПусть дана система линейных однородных уравненийallXl{+ a12X2 + ... + alnX n =a~, ~' .+ ~'~~. ~ •.+~~~X"о,:0,amlXl +а т 2 Х 2+··· +атnх n - о.=Очевидно, что однородная система всегда совместна (Т (А)r (А)),= Х2 = .. ; = Х n = о .она имеет нулевое (тривиальное) решение ХlПри каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?Теорема4.4.Для того, чтобы система однородных уравнений имеланенулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числаnнеизвестных, Т. е. r< n.о Необходимость.Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно ,r~n.Пустьr= n .
Тогда одиниз миноров размераnхnотличенот нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеетединственное решение: Xi=~.t: = о, ~i =о, ~f:-о. Значит, других, кра-ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение,тоr< n.Достаточность.Пустьr < n.Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенноЙ .
Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е . имеет и ненулевые решения.Пусть дана однородная системавестнымиn•линейных уравнений с=~." ~' ~~ "Х, .+ ~ ~'~.X~ О:{anlXl + аn2Х2 + ... + аnnхn 37о.nнеиз-Теореманений с4'.5.nДля того, чтобы однородная системаnлинейных уравнеизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель ~ был равен нулю, т. е. ~а Если система имеет ненулевые решения, то ~= О.= О.
Ибо при ~система имеет только единственноС(, нулевое решение. Если же ~то рангr < n.ri=оО,основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых)решений.•Прu,м,ер4.6.Решить системуХl - 2Х2{ 2Xl - 3Х2+ 4хз = О,+ 5хз = О.а Решение:_(1 -2 4) .А-2Так как r-3<5 'т(А) = 2n= 3.n, то система имеет бесчисленное множество решений.Найдем ихXl - 2Х2 = -4хз,{ 2Xl - 3Х2 = -5хз.~l= I =:~: =~ I = 2хз, ~2 = 1; =:~: I = 3Хз, Стало быть, Хl~~= 7t= 2хз, Х2 = 7f= 3Хз - общее решение.Положив Хз = О, получаем одно частное решение: Хl = О, Х2. = О,Хз = О.
Положив Хз = 1, получаем второе частное решение: Xl = 2,Х2= 3, Хз = 1 и т. д.•ГлаВ.а 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙАЛГЕБРЫЛекции4-6§5.ВЕКТОРЫ5.1.Основные понятияВеличины, которые полностью определяются своим численнымзначением, называются сх:а.л.яр'Н:ымu. Примерами скалярных величинявляются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такиевеличины называют вех:тор'Н:ыми.
Векторная величина геометрическиизображается с помощью вектора.~Ве",торэто направленный прямолинейный отрезок, т. е. отре--зок, имеющий определенную длину и определенное направление.Если А-начало вектора, а Вего конец, то вектор обозначается-символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец вточке А) называется nротивоnолlr.НC'Н:Ы.м. вектору АВ . Вектор, противоположный вектору а, обозначается -а.ДЛU'НОiJ. ' или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначаетсяIABI.Вектор, длина которого равна нулю, называется 'Нулевым вех:тором и обозначается О. Нулевой вектор направления не имеет.Вектор, длина которого равна единице, называется едU'НU"L'НЫМ вектором и обозначается через ё.
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора аи обозначается~lfJ.Векторы а и Б называются ",оллинеарн'Ыми, если они лежа: наодной прямой или на параллельных прямых; записывают а 11 Ь.Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково илипротивоположно.Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.~Два вектора а и Б называются равн'Ыми (а= Б), если они колли-неарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.Из определения равенства вект.оров следует,чтовектор можно переносить параллельносамому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.На рисунке1векторыобразуют прямоугольник. Справедливо равенство Б = (1; но а =1=1- ё.
Векторы а и ё - противоположные, а = -ё.39Рис .1Равные векторы называют такжесвободн'Ы.мu.§Три вектора в пространстве называются fCОМn.ll.ан.арны.мu, еслиони лежат водной плоскости или в параллельных плоскостях.Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны .5.2.
Линейные операции над векторами~Под линейными операциями над векторами понимают операциисложения и вычитания векторов, а также умножение вектора начисло .Пусть а и Ь-два ПРОИ3ВОЛЬНЫХ вектора. Возьмем произвольную точку О И построим вектор ОА== а.От точки А отложим векторАБЬ. Вектор ОБ, соединяющий начало первого вектора с концомвторого, называется cYMMOiJ. векторов а и Ь: ОБа + ь (см .
рис. 2).=Рис.2Это правило сложения векторов называют nравuло.м треУZО.ll'Ьншса.Сумму ДВУХ векторов можно построить также по правилу nарал.llе.IIOгра.м.м.а (см . рис .3).y~о,,Рис.,,,,,3На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, ь и ё.Б'1~ ~Рис.40.Qо4Под разностью векторов а и Б ПОНИМается вектор ёчто Б + ё = а (СМ. рис. 5).ьоРис.=а -Б такой,~Ь5Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а иБ, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Б, адругая-разностью (см. рис.6).------'ьи:-:iiоРис.,,(НЬ/'а-Ьь6Можно вычитать векторы по правилу: а- Б = а + (-Б),т.
е. вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противоположным вектору Б.~Проuзведенuе.м вех:тора а на с?Ca.ItЯр ('Чuс.ltо) Л называетсяа (или а· л), который имеет длину Iлlколлинеаренвектор л·Ial,.вектору а, имеет направление вектора а, если).направление, если).< о.>о и противоположноеНапример, если дан вектор -Ё.-, то векторы3а и -2а будут иметь видЗа. и • -~aИз определения произведения вектора на число следуют свойстваэтого произведения:= ).
.1) если Ба, то Б 11 а. Наоборот, если Б 11 а, (а :::j:. 0), то принекотором ). верно равенство Б = ).а;2) !Jсегда а = lal . ffJ, т. е. каждый вектор равен произведению егомодуля на орт.Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:4. ().1 + ).2) . а = ).1 . а + ).25. ).. (а + Б) = ). . а +).. Б.1. а+ Б = Б+ а,2. (а + Б) + ё = а + (Б + ё),3. ).1 . ().2 . а) = ).1 . ).2 . а,. а,Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейныхоперациях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: сла-41гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить заскобки как скаЛярные, так и векторные общие множители.5.3.11роекция вектора на ось[, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
