Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Полярная система координат задается точкойО , называемой nол.1рСОМ, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором ё того же направления, что и луч Ор.Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положениеточки М определяется двумя числами: ее расстояниемrот полюса Ои углом <р, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет угловведется в направлении , противоположном движению часовой стрелки)(см. рис .24).у~A1(T; ~)хрОерРи с.ЧислаrРис .2425и <р называются nолярн'Ы.м.и JCoopdUHamaMtL точки М,пишут М(т; <р), при этомr называют nолярни.м. радиусо.м., <р -nолярн'ЫМ угл.ом.Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол<р ограничить промежутком (-п; п] (или О ~ <ррадиус-[О;00).<2п), а полярныйВ этом случае каждой точке плоскости (кроме О)соответствует единственная пара чиселrи <р, и обратно.Установим связь между прямоугольными и полярными координатами .
Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху,а полярную ось-с положительной полуосью Ох. Пусть х и умоугольные координаты точки М, аИз рисунка25rи <р--пряее полярные координаты.видно , что прямоугольные координаты точки Мвыражаются через полярные координаты точки следующим образом:{Х =т ·c.os<p,у=r·sш<р .Полярные же координ аты точки М выражаются через ее декарто-вы координаты (тот же рисунок) такими формулами :{Jx2 + у2,Т=tg <р = 11...хОпределяя величину <р, следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -п59< <р~ п.Прu.мер 9.1.
Дана точка М(-l; -vз). Найти полярные координаты точки М.а Решение: Находимr и <р:r = JЗ+Т = 2,-Vзгn=- = vЗ.-1tg<p= J + 7Гn, n Е z. Но так как точка М лежит в З-йчетверти,= -1 и <р = J - 7г = - 2;. Итак, полярные координаты точки МОтсюда <рто nесть r•= 2, <р = -2;, т. е. М(2; -~7Г).9.2. Основные приложения метода координатна плоскостиРасстояние межАУ АВУМЯ точкамиТребуется найти расстояние d между точкамиA(Xl; Yl)и В(Х2; У2)плоскости Оху.а Решение:ИскомоерасстояниеравноdдлиневектораАВ== (Х2 - Xl;Y2 - Yl), т. е.IABId== J(X2 -Xl)2+ (У2 -•Yl)2.Деление отрезка В Аанном отношенииТребуется разделить отрезок АВ, соединяющий точкиA(Xl;Yl)данном отношении луи В(Х2;У2) в за> О, т. е.А~Bнайти координаты точки М(х; У) отрезка АВ такой, что1/1з = л (см.
рис.26).а Решение: Введем в рассмотрение векторы АМ и М В. Точка М делит отрезок АВОв отношении л, еслиРис .АМ=Л·МВ.Но АМх= (X-Хl;У-Уl),26(9.1)=т.е. АМ(X-Хl)Z+(У-Уl)J и МВ =(Х2 - X)Z + (У2 - y)J. Уравнение (9.1)= (Х2 - х; У2 - У), т. е. М В=принимает вид(Х - Xl)Z + (У - Yl)J= Л(Х2 -X)Z + Л(У2 - y)J.Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаемХ-Xl= ЛХ2 -ЛХ,т. е.60Х= Xl + ЛХ2l+л(9.2)иФормулы(9.2)= ЛУ2 -иназываются Формуламu деле'Ния отреЗ1Са в да'Н(9.3)ЛУ,т. е.'Нам от'Ноше'Нuu. В частности, при лпримут вид Х= У11++ ЛУ2л .У - Yl=Х1! Х2, У= 1, т.
е.Yl! У2=У(9.3)еc.hи АМ= М В, то ониВ этом случае точка М(Х; у)является cepeauHoi1. отрезх:а АВ.3аме'Ча'Нuе: Если лдают, если л<•= О, то это означает, что точки А и М совпаО, то точка М лежит вне отрезка АВточка М делит отрезок АВ внешним образом (л =1-случае ~Лfз·говорят, что--1, т. к. в противном= -1, т. е. АМ + МВ = О, т. е. АВ = О).ПлощаАЬ треугольникаТребуется найти площадь треугольника АВС с вершинамиA(X1iY1),В(Х2;У2),С(ХЗiУз)·О Решение: Опустим из вершин А, В, Сперпендикуляры АА 1 , ВВ 1 , СС 1 на ось ОХ(см . рис.27).Очевидно, чтох8АВС = 8AAtBtB+ 8BtBCCt- 8A tA CC t ·Поэтому8АВС= ~+~2= ~(X2Y1 -XIYl. (Х2 - Xl)+ Х2У2~+~+2 - .
(Хз- ХIУ2+ ХЗУ2~+~- Х2) - - 2 - . (Хз - Xl)- Х2У2- Х2УЗ - ХЗУ1= ~(ХЗ(У2 -+ ХзУз-+ XIY1 -Yl) - Xl(Y2 - Yl) - Х2(УЗ - Уl)= -21 ((У2 - Уl)(ХЗ - Х1) - (УЗ - Уl)(Х2 т. е.8/:;Xl))ХзУз+ Хl(УЗ+ ХIУЗ)- Yl))Уз-=== -21 1 Хз- Х1Уз - У1= ~ . I Хз - Хl2=Уl•3а.м.е'Ч,а'Нuе: Если при вычислении площади треугольника получим8 =О, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, еслиже получим отрицательное число, то следует взять его модуль.9.3. Преобраэование системы координатПереход от одной системы координат в какую-либо другую называется nреобразова'Нuем системы х:оорди'Нат.61Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую.
Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости В разныхсистемах координат.Параллельный перенос осей КООРАинатПусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху.Под nараллел'Ь'НЪtМ nере'Носом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе01 Х1 Yl,при котором меняетсяположение начала координат, а направление осей и масштаб остаютсянеизменными.умII///IУ:,,-,'1\,оl--- ----------- ---ххРис.28Пусть начало новой системы координат точканаты (хо; Уо) в старой системе координат Оху, т. е.01 имеет01 (ХО; . Уо).коордиОбозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через(х; у), а в новой системе 01Х1У1 через (х/; у/) (см.
рис.28).Рассмотрим векторы= х:[ + yJ, O~ = хо:[ + YoJ, 01 М = х/:[ + у/ТОМ = O~ + 01М' то х:[ + у} = хо:[ + Уо} + х/:[ + y/J, т. е.ОМТак какх . :[ + у .J=(хо+ х') . :[ + (Уо + у') . J.Следовательно,{Х= хо + х',у = Уо + у'.Полученные формулы позволяют находить старые координаты хи у по известным новым х' и у' и наоборот.Поворот осей КООРАинатПод поворотом ocei1 х:оорди'Но.т понимают такое преобразованиекоординат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол,а начало координат и масштаб остаются неизменными.62Пусть новая система 01 Х1 У1 получена поворотом системы Оху наугол а (см. рис.Пусть М-29).произвольная точка плоскости, (х; у)в старой системе и (х'; у')--ее координатыв новой системе.Введем две полярные системы координат с общим полюсом О иполярными осями ОХ и ОХ1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r вобеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны аи <р, где <р-+ <рполярный угол в новой полярной системе.По формулам перехода от полярных координат к прямоугольнымимеем{НоХ = r .
cos(a + <р),ут. е.= r . sin(a +<р),r cos <р =х' иr sin <р ={~{Х= r cos <р . c.os а -у= r cos <р . sш а + r sш <р . cos а.r s.in <р . sin а,у'. ПоэтомуХ = х' cosa - у' sina,у= х' sin а+ у' cos а.Полученные формулы называются формулам/и поворота ocefL.Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольнойточки М через новые координаты (х'; у') этой же точки М, и наоборот.ууАХ!хОРис.ХРис.' 3029Если новая система координат 01 Xl Yl получена из старой Оху путем параллельного пере носа осей координат и последующим поворотомосей на угол а (см. рис.мыOlXY30),то путем введения вспомогательной систелегко получить формулых{ у= х' . cos а - у' . sin а + хо,= х' .
sin а + у' . cos а + Уо,выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ееновые координаты х' и у'.63§ 10.10.1 ..ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИОсновные понятияЛиния на плоскости часто задается как м:н.ожество тО'{е1С, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством .Например, окружность радиусасти, удаленных на расстояниеRRесть множество всех точек плоскоот некоторой' фиксированной точки О(центра окружности).Введение на плоскости системы координат позволяет определятьположение точкиплоскостизаданием двух-чиселее координат,аположение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е.равенства, связывающего координаты точек линии).Уравнением Л'l.mии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение Р(х; у)= о с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии..Переменные х и у в уравнении линии называются те1Сущu.ми?CQ-ординатами точек линии.Уравнение линии позволяет изучение геометрическИ?' свойств линии заменить исследованием его уравнения .Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(хо; Уо) на даннойлинии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линиив выбранной системе координат.Прu.мер2х +у<)+3=10.1.Лежат ли точки К(-2;1)иL(1; 1) на линииО?Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К,получим2 .
(- 2) + 1 + 3 =L не лежитлинии. ТочкаО. Следовательно, точка К лежит на даннойна данной линии, т. к.2 . 1 + 1 + 3 i-О.•Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданныхуравнениями Р1 (х;у)= О И Р2 (х;у) = О, сводится котысканию точек,координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.64Уравнение F(r; <р)= О называется уравнением aaHHoi1.
линии в nо.л..яРНQi1. системе координат, если координаты любой точки, лежащейна этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.Линию'на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:{где х и уХ= x(t),у= y(t),(10.1)координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на дан-ной линии, апеременная, называемая параметром; параметрt -tопределяет положение точки (х; у) на плоскости.Например, если х = t + 1, у = t 2 , то значению параметра t = 2соответствует на плоскости точка (3; 4), т.
к. х = 2 + 1 = 3, у = 22 = 4.Если параметрtизменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называетсяnараметри'Чес'Х:uм, а уравнения(10.1) -nараметри'Чесr;;ими уравнениями линии.Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению= О, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений {х = t; путем подстановвидаF(x; у)у= t ,ки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х 2 ; илиу - х 2 = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
