Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Общее уравнение линии второго порядкаУравнения кривых второго ПОРЯАка с осями симметрии,параллельными КООРАинатным осямНайдем сначала уравнение эллипса с центром в точке01 (хо; уо),оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу иполуоси соответственно равны а и Ь.
Поместим в центре эллипса01начало новой системы координатпа01 х' у',оси которой01 х'И01 у'раллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис.63).В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид,2,2ХУ~+b2Так как х'с.62),=х -хо, у'=х -= 1.уо (формулы параллельного переноса, см.то в старой системе координат уравнение эллипса запишется ввиде(х-хо)2а2+(у-уо)2Ь2= 1.Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центромв точке01 (хо; уо)и полуосями а и Ь (см. рис.64):(х - хо)2 _ (у - уо)2 = 1а2Ь2.И, наконец, параболы, изображенные на рисункествующие уравнения.8665,имеют соответууу'х'yar-----~~~~------хооХаРис.уРис.63уу'х'64у'Х'yar-----------~~--уаХохХа(у _уо)2о= 2р(х -хо)(уХа- уо)2= -2р(х -хо)ух'ХХ'хо(хХа- хо)2= 2р(у -уо)(хРис.Уравнение Ах2= -2р(у -- хо)2уо)65+ Су 2 + 2Dx + 2Еу + F = ОУравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружно- хо)2 (у - уо)2 R 2 после преобразований (раскрыть скобки,сти (х=+перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать спомощью единого уравнения видаАх 2+ С у 2 + 2Dx +2Еу+F= О,(11.14)где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно .Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида(11 .14)определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.87Теорема 11.2.
Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность(при АА·С= С).< О).либо эллипс (при Алибо параболу (при А·С.С>вырождения: для эллипса (окружности) -липс (окружность). для гиперболы для параболы -ПрtJ..Мерв точку или мнимый элв пару пересекающихся прямых.в пару параллельных прямых.11.1.уравнением 4х 2О). либо гиперболу (при= О). При этом возможны случаиУстановить вид кривой второго порядка, заданной+ 5у2 + 20х -ЗОу+ 10 =о.а Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А·С> О). Действительно,4 (х 2 += 4·5>проделаем следующие преобразования:5х + 21) + 5(у2 - 6у + 9) - 25 - 45 + 10 = О,(х + ~) 2 (у _ з)224(Х+Ю +5(у-з)2=60,+1512=1.Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в 01 ( - ~; з) иJI5 и ь = V12.полуосями а =Прu.мерУстановить вид кривой второго порядка, заданной11.2.уравнением х 2•+ 10х -2у+ 11 =о.а Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С= О).
Действительно,х210х++ 25 (х + 5)2 = 2у + 14,2у+ 11 - 25 = О,(х + 5)2 ::;: 2(у + 7).Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке01(-5; -7) ир = 1.Прu.мер11.3.уравнением 4х 2- у2•Установить вид кривой второго порядка, заданной+ 8х -8у- 12 = О (А· С = -4 < О).а Решение: Преобразуем уравнение:4(х 2+ 2х + 1) 4(х(2(х+ 1) +(2х(у(у2+ 8у + 16) - 4 + 16 -12+ 1)2 -(у+ 4)2= О,+ 4)) . (2(х + 1) -+ У + 6) (2х 88у= О,- 2)(у+ 4)) = О,= о.Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х+ у +6 =Ои 2х' - у - 2 = О.•Общее уравнение второго ПОРЯАкаРассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Еу + FОно отличается от уравнения(11.14)= О.(11.15)наличием члена с произведениемкоординат (В =Р О).
Можно, путем поворота координатных осей на угола, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведениемкоординат отсутствовал.Используя формулы поворота осей (с.х = х'cos а - у' sin а,у = х'63)sin а + у' cos а,выразим старые координаты через новые:А(х' cos а - у' sin а)2 + 2В(х' cos а - у' sin а)(х' sin а+ С(х' sina ++ у' cos а)+у' cosa)2 + 2D(x' cosa - у' sina)++ 2Е(х' sina + у' cosa) + F = О ..Выберем угол а так, чтобы коэффициент при х'. у'обратился внуль, т. е. чтобы выполнялось равенство-2А cos а sin а + 2B(cos 2 а - sin 2 а) + 2С sin а cosaт. е.-А) sin2а+ 2Bcos2a =2Вcos 2а =(А(Ст. е.Отсюда-С)О,= О,(11.16)sin 2а.2В(11.17)tg2a = А-С'Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющийусловию(11.17),уравнение(11.15)сводится к уравнениюВЫВОД: общее уравнение второго порядка(11.15)(11.14).определяет наплоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.За.ме'Ч-а'Н.uе: Если АслучаеА=cos2a =О (см.= С, то уравнение (11.17) теряет смысл.
В этомтогда 2а = 90°, т. е. а = 45°. Итак, при(11.16)),С систему координат следует повернуть на45°.ГлаваIV.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯВ ПРОСТРАНСТВЕIЛекции 10-121УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ§ 12.В ПРОСТРАНСТВЕОсновные понятия12.1.Ilоверхность и ее уравнение~Човерхность в пространстве, как правило, можно рассматриватькак геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либоусловию. Например, сфера радиусаRс центром в точке01есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точкина расстоянии01R.Прямоугольная система координатв пространстве позволяOxyzет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у иz -их координатами. Свойство,общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связьшающего координаты всех точек поверхности.~Уравнение.мкоординатaaHHoii.
поверхности в прямоугольнойOxyz называется такое уравнение F(x,y,z) = Опеременными х, у иz,системес тремякоторому удовлетворяют координаты каждойточки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, н.е лежащих на этой поверхности. Переменные х, у иzв уравненииповерхности называются те7Сущи.ми 7Соордината.ми точек поверхности.Уравнениеповерхностипозволяетизучениегеометрическихсвойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, длятого, чтобы узнать, лежит ли точка М 1 (Х1; У1;Z1) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки М 1 в уравнение поверхностивместо переменных:нению,если этикоординаты удовлетворяют уравто точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют-нележит.Уравнение сферыНайдем уравнение сферы радиусаR с центромв точке01 (ха; уа; za).z) отСогласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у;центра 01 (ха; Уа; za) равно радиусу R, т.
е. 01М = R. Но 01М =где 01 М(х - ха; У - Уа; z - za). Следовательно,=J(x - Ха)2+ (У -Уа)290+ (z -za)2=R101MI,илиI (х - хо)2 + (у - уо)2 + (Z - ZO)2 = R 2 .1Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координатылюбой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих наданной сфере.Если центр сферысовпадает с началом координат, то уравнение01сферы принимает вид х 2.+ у2 + Z2 = R 2 .Если же дано уравнение вида Р(х; у;z)= О, то оно, вообще говоря,определяет в пространстве некоторую поверхность.Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаяхуравнение Р(х; у;z) =О может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят,«поверхность вырождается».Так, уравнению 2х 2 + у2 + z2 + 1 = О не удовлетворяют никакиедействительные значения х, у, z.
Уравнению о· х 2 + у2 + Z2 = О удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравненияследует: у= О,Z= О, ах -любое число).Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически ианалитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:1.Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.2.Дано уравнение Р(х; У;= о.z)Исследовать форму поверхности,определяемой этим уравнением.Уравнения линии в пространствеЛинию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис.66)или как геометрическое местоточек, общих двум поверхностям.ЕслиF1 (xjYjz)=оиF2 (x;y;z) = О - уравнения двух поверхноL, то координаты точек этой линии удостей, определяющих линиювлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:(12.1)~Уравнения системы(12.1)называются уравнениями линии впространстве.
Например,-,{ z=oУ- Оесть уравнения оси Ох.Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис.67).В этом случае ее задают вех:mорн:ы.м урав-нение.мr = r(t)91(12.2)zzjхРис.Рис .6667или nара.м;еmрu'Ч,ес,.;u,м,u урав'Н,ен:ия,м,и{проекций вектора(12.2)Х = x(t),У =zy(t),= z(t)на оси координат.Например, параметрические уравнениявид{=eunmoeoitлинuи имеютХ = Rcost,УZRsint,-lLt- 21r .Если точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр р'авномерно вращается вокруг оси, то точка Мописывает винтовую линию (см. рис.12.2.68) .Уравнения плоскости в пространствеПростейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространствеOxyzможно задать разными способами.
Каждому из нихсоответствует определенный вид ее уравнения.Уравнение ПЛОСКОСТИ, ПРОХОАящей через Аанную точкуперпеНАИКУЛЯРНО Аанному векторуПустьМо(Хо; уо;zo)впространствеи вектором fiкости (см. рис.69) .Oxyzплоскость= (А; В; С),Выведем уравнение плоскостипроизвольную точку М(х; у ;МоМz)и составим вектор= (х -хо;у92Qзаданаточкойперпендикулярным этой плос- YojZ - zo).Q.Возьмем на нейzhzуххРис .68Рис .При любом расположении точки М на плоскостиQ69векторыnиМоМ взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведениеравно нулю:n·МоМ=О, т. е.1А(х - хо) + В(у - Уо) + C(z - zo)Координаты любой точки плоскости(12.3),(12.3)Q удовлетворяют уравнениюQ, этому уравнекоординаты точек, не лежащих на плоскостинию не удовлетворяют (для них~= 0·1Уравнение(12.3)n· МоМ f:.О).называется уравнение,м, nлос-х:осmи, nрохо-д,ящеu 'Через данную mo'Ч-х:у Мо(Хо; уо;ве-х:торуn =координат х, у и z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
