Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Векторве-х:торо,м,zo)nерnенди-х:ул.ярно(А; В; С). Оно первой степени относительно текущихn= (А; В; С) называется нор,м,альны.мnлос-х:осmи.Придавая коэффициентам А, В и С уравнения(12.3)различныезначения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящейчерез точку Мо . Совокупность плоскостей, проходящих через даннуюточку, называется связ'Ко'it n.лос'Косmе'it, а уравнение(12.3) -уравнени­ем св,язкu n.лос'Косmеi1.Общее уравнение плоскостиРассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменнымих, у иz:Ах+ Ву + Cz + D =О.(12.4)Полагая,.

что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С неравен нулю, например Вf:.О, перепишем уравнение(12.4)в видеА(х - О) + В (У + ~) + C(z - О) = О.Сравнивая уравнениенения(12.4)и(12.5)(12.5)с уравнением(12.3),(12.5)видим, что урав­являются уравнением плоскости с нормальнымвектором n = (А; В; С), проходящей через точку M 1 (о; - ~; о).§Итак, уравнение(12.4)определяет в системе координаткоторую плоскость. Уравнениение,м,(12.4)Oxyzне­называется общи,м, уравне­nЛОС1Сосmи.Частные случаи общего уравнения плоскости:1.

Если D = О, то оно цринимает вид Ах + Ву + Cz = О. Этому0(0; О; О). Следовательно, в этом слу­уравнению удовлетворяет точкачае nлосх;ость проходит 'Через на'Ч.ало х;оординат.Если С2.векторn== О, то имеем уравнение Ах+ Ву + D = О.(А; В; О) перпендикулярен оси"ость параллельна осиOZiесли ВOz.НормальныйСледовательно, nлос­= 0- параллельнаоси Оу, А = 0-параллельна оси Ох.= D = О, то плоскость проходит через 0(0; О; О) парал­Oz, т. е. плоскость Ах + Ву = О проходит 'Через ось Oz.Аналогично, уравнениям Ву + Cz = О и Ах + С z = О отвечают плоско­3.Если Слельно осисти, проходящие соответственно через оси Ох и Оу .4.т.

е . zЕсли А= В = О, то уравнение (12.4)= - g.принимает видCz+ D = О,Плоскость параллельна nЛОСII:ости Оху. Аналогично,уравнениям Ах+DО и Ву+D= О отвечают плоскости, соответ­Oyz и Oxz.5. Если А = В = D = О, то уравнение (12.4) примет вид Cz = О, т. е.z = О. Это уравнение nлосх;ости Оху. Аналогично : у = О - уравнениеплоскости Oxz; х = О - уравнение плоскости Oyz.=ственно параллельные плоскостямУравнение плоскости, проходящей через три данные точкиТри точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяютединственную плоскость. Найдем уравнение плоскостиQ,проходящейчерез три данные точки M1(Xl;Yl;Zl), M 2(X2iY2;Z2) и МЗ(ХЗiУЗ;ZЗ), нележащие на одной прямой .Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; У;==z)и составимвекторы M1M(х - xl; У - Yl; z - Zl), M 1M2(Х2 - xli У2 -Yl; Z2 - Zl),М 1 Мз(хз - xl; уз - Yl; Zз - Zl)' Эти векторы лежат на плоскости Q,=следовательно, они компланарны.

Используем условие компланарно­сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем94у(12.6)УlZ -ZlХlУ2 - УlZ2 -Zl-ХlУзZз-ZlХзУравнение-Х2 --Уl= о.(12.6)есть уравнение плоскости, nроход.ящеU 'Через три дан-ные то'Чки.Уравнение плоскости в отрезкахПусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и О Z соответственноотрезки а, Ь и С, т. е. проходит через три точки А(а; о; о), В(О; Ь; о) ис(о; о; с) (см. рис.70).Подставляя координаты этих точек в уравнениеХуZ-аЬО-аОс-аРаскрыв определитель , имеем Ьсх+ abz = аЬс или-аЬсхуZаЬс(12.6),получаем= о.+ abz + асу = о,- + - + - = 1.т. е. Ьсх+ асу +(12.7)zсвухРис.УравнениеРис .70(12.7)71называется уравнен:uе,м, nлос?Сосmu в оmрез­?Сах на осях.

Им удобно пользоваться при построении плоскости.Нормальное уравнение плоскостиПоложение плоскостиQ вполнеопределяется заданием единично­го вектора е, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенногона плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра(см. рис .71) .95Пусть ОК= р,а а,углы, образованные единичным век­(3, "{ -тором ё с Осями Ох, Оу и О z. Тогда ё= (cos а; cos (3; cos "(). Возьмемна плоскости произвольную точку М(х; у;rкоординат. Образуем вектори соединим ее с началомz)= ОМ = (х; у; z).При любом положении точки М на плоскостивекторат· ё=rQ проекция радиус­r = р, т. е.на направление вектора ё всегда равно р: прёрилиIr.

е - р = 0·1Уравнение(12.8)(12.8)называется нормал.ьным уравнением nл.осt;;осmив ве.,.mорно11 форме. Зная координаты векторовrи ё, уравнение(12.8)перепишем в виде1xcosa + ycos(3 + zcos"{ - р = 0·1~Уравнение(12.9)(12.9)называется нормшtЬН'bl.М уравнением nJU)c-кости в KoopaUHamHo'it форме.Отметим, что общее уравнение плоскостинормальному уравнению(12.4)можно привести ктак, как это делалось для уравнения(12.9)прямой на плоскости.

А именно: умножить обе части уравненияна нормирующий множитель л(12.4)J 1, где знак берется± А2 + В2 +С2=противоположным знаку свободного членаобщего уравнения плос­Dкости.12.3.ПЛОСКОСТЬ. Основные задачиУгол меЖАУ АВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ. УСЛОВИЯ параллельностии перпеНАИКУЛЯРНОСТИ АВУХ плоскостейПусть заданы две плоскостиA1xА2 х~Q1иQ2:+ B1y + C1z + D 1 = о,+ в2 у + C2z + D 2 = о.Под углом ме-;нсду плоскостямиQ1иQ2пони мается один издвугранных углов, образованных этими плоскостями.Угол <р между нормальными векторами= (А 2 ; В2 ; С2 )плоскостейрис. 72). Поэтому cos <р =Qlи1 j2Q2In .Inl 1.

n2A1 A2nl = (A 1;B1;C1 )иn2=равен одному из этих углов (см.или+ В 1 В 2 + С1 С2v + B~ + C~ .cos <р = .Ai + Bi + Ci . А§JДЛЯ нахождения острого угла следует взять модуль правой части.ИQ2ковы же их нормали, т. е.Если плоскостиnlQlперпендикулярны (см. рис.73,.1 n2 (и наоборот). Но тогда96а), то та­nl . n2= о,баРис.т. е.72Рис .A 1A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2= о.Полученное равенство есть условие nер­nенди1!:у.л.яр1tосmи двух nЛОС1!:осmеi1Если плоскостиQ173Qlи Q2.И Q2 параллельны (см. рис.73, 6),то будутn1 и n2 (и наоборот). Но тогда, как известно,координаты векторов пропорциональны:== §;.

Это и естьпараллельны и их нормали%tусловие nарал.лел'Ьносmи двух nЛОС1!:осmеi1Q1и Q2.Расстояние от точки ДО плоскостиПусть задана точка Мо(хо; Уо;Ах+Ву+СZ+D= о.ZO)Расстояниеи плоскостьdQ своимуравнениемот точки МО дО плоскостиQнаходится по формулеd = IAxo+ Вуо + Czo + DI.JA2 +В2 +С2Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от+ Ву + С = О (см. с. 73) .d от точки МО ДО плоскости Q равно модулю проек­ции вектора M1Mo, где М 1 (X1; Y1; Zl) - произвольная точка плоскостиQ, на направление нормального вектора n = (А; В; С) (см. рис. 74).точки Мо(хо;уо) до прямой АхРасстояниеСледовательно,d=lп -М М 1=1~·nl=l(хо-Х1)А+(УО-У1)В+(ZО-Zl)СI=рn1ОJ А2+В2+С2Inl:=А так как точкаM1(Xl;Y1;Zl)IAxo+BYo+Czo-Ах1-ВУ1-СZ11JA2+B2+C2принадлежит плоскостиQ,ТО+ ВУ1 + CZ 1 + D = о, т.

е. D = -АХ1 - ВУ1 - Cz 1.IAxo.+ ВуоCzo + .DI Отметим, что если плоскость Qd =.+JАХ1Поэтому+++А2В2С2задана уравнением х cos аУ cos {J·1+ Z cos 'уКонспект лекций по высшей М&ТeM8ТJtKe. Полиыд курс97-р= о,то расстояние отточки Мо(хо; Уо;Zo)до плоскостиQ можетd = Ixo cos о: + Уо cos /3быть найдено по формуле+ Zo cos, - pl·LzzххРис.12.4.74Рис.75Уравнения прямой в пространствеВекторное уравнение прямой§Положение прямой в пространстве вполне определено, если задатькакую-либо точку Мо на прямой и вектор В, параллельный этойпрямой. ВекторS называетсяПусть прямаязадана ее точкой Мо(Хо; уо;ромLнаnравляющu.м ве7Сторо.м nря.моtt.zo)и направляющим векто­5 = (т; n;р).

Возьмем на прямой L произвольную точку М(х; У; z).Обозначим радиус-векторы точек Мо и М соответственно через ГО и г.Очевидно, что три вектора го, г и МоМ связаны соотношениемГ=Го+МоМ.(12.10)Вектор МоМ, лежащий на прямойму вектору5,L, параллелен направляюще­t5, где t - скалярный множитель,поэтому МоМ =называемый nара.меmро.м, может принимать различные значения в за­висимости от положения точки М на прямой (см . рис .Уравнение(12.10)75).можно записать в видеIг = го + ts·1§Полученноеур авнениеназывается(12.11)ве7Сторны.муравнение.мnря.моtt.Параметрические уравнения прямойЗамечая, что гние(12.11)= (х ; У; z ), го = (хо; Уо; zo), t5 = (tm; tn; tp), уравне­можно записать в видеxl + У] + zk= (хо + tm)l + (Уо + tn)] + (zo + tp)k.-98Отсюда следуют равенства:{= ха +mt,Х+ nt,+ pt.= уаz = Zoу(12.12)Они называются nара.м.еmрu'Чес7СUМU уравнен:иямu nр.я.моЙ в простран­стве.Канонические уравнения прямойПустьS=и Мо(Хо; Уо;(т;n;р) -направляющий вектор прямой Lточка, лежащая на этой прямой .

Вектор МоМ, соеди­zo) -няющий точку МО с произвольной точкой М(х; у; z) прямой L, паралле­лен вектору В. Поэтому координаты вектора МоМ =(х-хо; У-Уа; z-zo)и вектора S = (т;n;р) пропорциональны:§17=~=~· 1Уравнения(12.13)называются 7Санонuчес7СUЛtu уравненtl.ЯЛtu(12.13)nряЛtоil в пространстве.За.м.е'Чанuя:1)Уравнения(12.13)можно было бы получить сразуиз параметрических уравнений прямой(12.12),исключив параметрt.Из уравнений (12.12) находим--=--=-- =х-хо-у2)z - ZoУоnmрt.Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений(12.13)означает обращение в нуль соответствующего числителя.Например, уравнения Х"3 2 = у ~ 4 = z О 1 задают прямую, проходящую через точку Мо (2;вектораS-4; 1) перпендикулярно оси Oz (проекцияOz равна нулю).

Но это означает, что прямая лежитz = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z - 1 = о.на осьв плоскостиУравнение прямой в пространстве, ПРОХОАящейчерез Аве точкиПусть прямая L проходит через точки М1 (хl; Yl; ZI) и М2 (Х2; У2; Z2).В качестве направляющего вектора S можно взять вектор !vI1 М 2 == (Х2 - хl; У2 - Уl; Z2 - ZI), т. е. S Мэ М 2 (см. рис. 76). Следовательно,mХ2 - хl, nУ2 - Yl, РZ2 - zl· Поскольку прямая проходитчерез точку M J (Xl;Y1;ZI), то , согласно уравнениям (12.13),-уравнения=прямой=L==имеют видхХ2--ХlХl=УУ2-Уl99Уl(12.14)Уравнения(12.14)называются уравнениями nря.м.оii., nроходя­щеii. 'Через · аве данные mО'ЧJCи.zохРис .Рис.7677Общие уравнения прямойПрямую в пространстве можно задать как линию пересечения двухнепараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравненийAIX+BIY+CIZ+Dl =0,{ А 2 х + В 2 У + C2 Z + D 2 = о.(12.15)Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость.

Если плос­кости не параллельны (координаты векторов nl = (A 1 ; B 1 ; C 1 ) И n2 == (А 2 ; В2 ; С2 ) не пропорциональны), то система (12.15) определяет пря­муюLкак геометрическое место точек пространства, координаты ко­торых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис .Уравнения(12.15)77).называют общим/и уравнеН'ШIМи nр.я.моi1.От общих уравнений(12.15) можно перейти к каноническим урав­(12.13). Координаты точки МО на прямой L получаем из систе­уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значе­ненияммыние (например, Z=о).Так как прямаявляющий векторSLперпендикулярна векторам nl и n2, то за напра­прямой L можно принять векторное произведениеiS = nlХn2=kA1jВ1С1А2В2С2За.ме'Ч,ан.uе: Канонические уравнения прямой легко получить, взявдве какие-либо точки на ней и применив уравнения100(12.14).Прu.мер12.1.Написать канонические уравнения прямойL,за­данной уравнениями{ Х +- У2хQРешение: Положимточку M1 (-2;1;0)z-ZУ -= О и решим системуL,{Х+У=-l,2х-У= -5.НаходимЕ L.

Характеристики

Список файлов лекций