Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отсюда следует, что графикограниченной функции лежит между прямыми у-М и уМ (см.=рис.101).122=~4.Функция у =определенная на множествеf(x),D, называетсяnериоди'Чес-к;оf.t на этом множестве, если существует такое число> О,Тчто при каждом х ЕD значение (х+ Т)ЕD и f(x+ Т) = f(x).При этом число Т называется периодом функции.
Если Тпериод-функции, то ее периодами будут также числа т . Т, где т= ± 1; ±2, ...Так, для у...= sin хпериодами будут числа ±21Т; ±41Т; ±61Т,период (наименьший положительный)-это период ТОсновной= 21Т.Вообщеобычно за основной период берут наименьшее положительное число Т,удовлетворяющее равенствуf(x+ Т) = f(x).у_______________ • __у=-МРис.Рис .101102Обратная функция14.4.~х в :~€JПусть задана функция у= f(x)с областью определенияD и мно-жеством значений Е. Если каждому значению у Е Е соответствуетединственное значение х ЕD, то определена функция х = 'Р(у) с облаD (см.
рис. 102). Такаястью определения Е и множеством значенийфункция 'Р(у) называется обраmноf.t к функцииследующем виде: х= 'Р(У) = f-l(y).f(x)Про функции Уи записывается в= f(x)их= 'Р(У)говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функциюх= 'р(у), обратную к функции у = f(x), достаточно решить уравнениеf(x) =у относительно х (если это возможно).Прu.мер'Ы:1.Для функции у!У.Х -- 2·=2х обратной функцией является функция2. Для функции у = х 2 , Х Е (О; 1], обратной функцией являетсях = ..fij; заметим, что для функции у = х 2 , заданной на отрезке (-1; 1],обратной не существует, т.
к. одному значению у соответствует два зна-чения х (так, если у= i, то Хl = !' Х2 = -!).123~Из определения обратной функции вытекает, что функция у= f(x)имееТ обратную тогда и только тогда, когда функциязадаетвзаимно однозначное соответствие между множествамиDJ(x)и Е. Отсюдаследует, что любая строго .монотонная фУН"Ция и.меет обратНУЮ. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).Заметим, что функция уи обратная ей х= ср(у)у= J(x)изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначитьчерез х, а зависимую переменную че-рез у, то функция обратная функциих,-у= f(x) запишется в виде у = ср(х).,,~ Это означает, что точка М1 (хо; Уо)/кривой у = f(x) становится точ.кой м2 (уо; хо) кривой 11ср(х).
НоРис. 103точки М 1 и М2 симметричны относительно прямой у = х (см. рис . 103).Поэтому граФи"и взаи.мно обратн'Ых Фун"циil у = f(x) и у = ср(х)=си.м.метри'Чн'Ы относительно биссектрис'Ы первого и третьего "оординатн'Ых углов.14.5. Сложная функция§Пусть функция уи= f(u)определена на множествеD,а функция= ср(х) на множестве D 1 , причем для Vx Е D 1 соответствующее= ср(х) Е D. Тогда на множестве D 1 определена функция= f(rp(x)), которая называется СЛOOlCноil фун"циеil от х (или СУзначение ииnерnозициеil заданных функций, или фуюсциеil от фун"ции).Переменную и =ср(х) называют nромежуто'ч:н:ым аргументомсложной функции.Например, функция уу= sin ии и== sin 2хесть суперпозиция двух функций2х.
Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.14.6. Основные элементарные функции и их графикиОсновнымиэлементарнымифункцияминазываютследующиефункции.1)ПОlCазателъно.я функция у= аХ, а> О,а=f. 1.На рис.104показаны графики показательных функций, соответствующие различнымоснованиям степени.124уухРис.2)104= х"',Сmеnе'Н:н.а.я функция уа: ЕJR.При меры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени,предоставлены на рис.105.ууххуo~уххуу.. ---хРис.105125--- ---хЗ) Логарuф.мu-ч,ес1':ая функция у= loga х, а >О, а=j; 1;Графикилогарифмических функций, соответствующие различным основаниям,показаны на рис.106.уххРис.4)106Трuгон,о.метрu-ч,еС'ICuе функции у= sin х, у = cos х, у = tg х, у == ctg х;Графики тригонометрических функций имеют вид, показанныйна рис.107.уy=sinxхРис .5)Обратн,'ые= arccosx,у107трuгон,о.метрu-ч,еС'ICuе= arctgx,у=arcctgx.функцииНа рис.108у= arcsinx,у=показаны графикиобратных тригонометрических функций.~Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основныхэлементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется Злемеиmариоu фуюсцueu.
Примерами элементарных функций могут служить функцииУ=. 1аrсsш- - 8х126tgxх2+ 3;ууy=arcsinxхy=arccosx-1хуу-----------~----------------------------~-----------2"х______________7r~1_________ _оРис.х108Примерами 'Неэле.ме'НmаР'Н'ЬLХ функций могут служить функцииУ= signx =х3{1,Х> О,О,х=-1,х< О;х5О,у={Х 2 + 1,если х ~ О,х,если хх7> О;х 2n + 1у = 1 - 3! .
3 + 5! ·5 - 7!. 7 + ... + (_1)n (2n + 1)! . (2n + 1) + ...§ 15.15.1.~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИЧисловая последовательностьПод 'ЧuсJtовоfL nосJtедоватеJtы-юстьюIх = f(n), Inнимается функциязаданная на множествеN(15.1)натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {х n } или х n ,nЕN_Число Xl называет-ся первым членом (элементом) последовательности, Х2 Хn -вторым, ___,общu,м или n-,м 'ЧJtено,м nОСАедоватешьности.Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена.
Формула(15.1) позволяет вычислить любой член последовательноn, по ней можно сразу вычислить любой член последости по номерувательности_ Так, равенстваZn = (_1)n. n,Уn1271=-,nn-1и n =--,nnENзадают соответственно последовательностиVN= {2, 5,10, . . . , n 2 + 1, . .. };znуп = {1,~,~,~, ... ,~, ... };~= {-1, 2, -3,4, ... , (_1)П. n, ... };и п = {o,~,~,~,~,~, ... ,n: 1, ...
}.Последовательность {х п } называется огранu'Ченноt1, если суще>ствует такое число МО, что для любогоnЕNвыполняетсянеравенствоВ противном случае последовательность называется неограниченноЙ.Легко видеть, что последовательности Уп И и п ограничены, а V N Иzn -неограничены.~Последовательность {х п } называется возрастающеt1 (неубывающеt1), если для любогоnвыполняется неравенство а п +l>ап(а п +1 ;;:: а п ). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая)последовательность.~Все эти последовательности называются MOHOmoHH'bl.Ми последовательностями .
Последовательности V n , Уп И и п монотонные, ане монотонная .Zn -Если все элементы последовательности {х п } равны одному и ТQMYже числу С, то ее . называют постоянной.Другой способ задания числовых последовательностейрентный сnособ.Внемзадается начальный элемент Хl-ре"ур(первыйчлен последовательности) и правило определения n-го элемента по(n -l)-му;Таким образом, Х2= J(Xl),ХПХз= !(Xn-l)·= ЛХ2)и т.
д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначалапосчитать все99предыдущих.15.2. Предел числовой последовательностиМожно заметить, что члены последовательности и п неограниченно1. В этом случае говорят, что последовательприближаются к числуность и п ,~nЕN стремитсяк пределу1.Число а называется пределом nоследовательностu {х п }, еслидля любого положительного числачислоN,что при всехn >Nt: найдется такое натуральноевыполняется неравенство(15.2)В этом случае пишутlimn-tooхп= lim х п = а илиХП-tа и говорят, чтопоследовательность {х п } (или переменная х п , пробегающая последовательность Xl, Х2, Хз, ... ) имеет предел , равный числу а (или Х П стремится к а). Говорят также, что последовательность {х п } сходuтся "а.128Коротко определение предела можно записать так:I (VE ;О 3N:Vn > N===}Ix n-al < Е){:::::::}nl~~ хn =a·1Прu.мер 15.1.
Доказать, что lim n - 1 = 1.n-+ооnQ Решение: По определению, число 1 будет пределом последовательности х n = n - 1, n Е N, если VE > О н.аi1деmс.я натуральное число N,nтакое, что для всех n > N выполняется неравенство 1n ~ 1 - 11 < Е,т. е. 1n < Е. ОНО справедливо для всех n >1, т. е. для всех n > N = [1],ЕЕгде [~] - целая часть числа ~ (целая часть числа х, обозначаемая [х],[3]= 3, [5,2] = 5).Если Е > 1, то в качестве N можно взять [~] + 1.Итак, VE > О указано соответствующее значение N.Это и доказы-есть наибольшее целое число, не превосходящее х; таквает, что Нm n - 1 = 1.n-+ооn•Заметим, что число N зависит от Е. Так, если Е ==[2з6] =[8~] =8;N =[ ~ ] =[100] =100.N=если Е= 0,01,236' тото[2~]Поэтому иногда записывают100= N (Е).NВыясним геометрический смысл определения предела последовательности.Неравенствоа-Е<ХN(15.2)< а + Е,равносильно неравенствам -Е< ХN -а<Еиликоторые показывают, что элемент х n находится вЕ-окрестности точки а..оХN(1 1111111 .
. 1111а-С;аРис.1)а+с;Х109Поэтому определение предела последовательности геометрическиможно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {х n }, если для любой Е-окрестности точки а найдется натуральное числоN,что все значения х n , для которыхЕ-окрестность точки а (см. рис.5 Конспект лекций109).по высшей математllке. Полный курс129n > N,попадут вЯсно, что чем меньше Е, тем больше числоN,но в любом случае внутри Е-окрестности точки а находится бесконечное число членовпоследовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.liIОтсюда следует, что сход,ящаяс,я nОСАедоватеАьность u.мeeттОАЫСО один nредеА. Последовательность, не имеющая предела,называется расход,ящеilс,я.
Таковой является, например, последовательность V N (см. с.128).Постоянная последовательность Х N = с, n Е N имеет предел, равный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, дЛЯ 'VEО при всех нату>ральных= оnвыполняется неравенство(15.2).ИмеемIx n-cl = Ic - cl =< Е.15.3. Предельный переход внеравенствахРассмотрим последовательности {х n }, {Уn} И {Zn}.Теорема15.1.Еслиlimn-400хn= а,limУnn-}-(Х)= Ь и, начиная снекоторогономера, выполняется неравенство х n .~ Уn, то а ~ Ь.о Допустим, что ачто для любого Евсехn > N(E)> Ь.>ОИз равенствlimn---+оохn= а и lim Уn = Ь следует,n-...?оонайдется такое натуральное числобудут выполняться неравенстваN (Е),что приIx n- al < Е И Iyn - bl < Е,т.
е. а - Е < Х N < а + Е И Ь - Е < Уn < Ь + Е. Возьмем Е = а 2 Ь. Тогда:х n > а - Е = а - а-Ьс - Ь + а-Ь2 --!!±Е.2 'т· е· х n >!!±Е.2 и У n < Ь + с-2 = а+Ь2'т. е. уn < at b . Отсюда следует, что х nх n ~ Уn. Следовательно, а ~ Ь.Теорема15.2.Еслиlimn---+оовенство х n ~хn= а,> Уn.limn---+ооЭто противоречит условию•Уn=аи справедливо нера-Zn ~ Уn (начиная с некоторого номера), то lim zn = а.n-+оо(Примем без доказательства.)15.4. Предел монотонной ограниченной,последовательности. Число е. НатуральныелогарифмыНе всякая последовательность имеет предел. Сформулируем бездоказательства признак существования предела последовательности.130Теорема15.3(Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.в качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность Х N= (1+ k) n,nЕ N.По формуле бинома Ньютона(а + ь)n = а n +n"1 .
аn-1 • Ь +n(n - 1) n 2 21 . 2 . а - • ь + ...2) ... (n - (n - 1)) . Ь N •1 · 2·3 .... · n'" + n(n - 1)(n Полагая а = 1, Ь = 1 , получимn(1+=.!.)n = 1 + :: . .!. + n(n n1 n1) . ~ + n(n ,- 1)(n - 2) . ~+ . . .1.2n21.2.3n31... + n(n - 1)(n - 2) ... (n - (n - 1)) ._=1· 2·3· ·· ·· nnn1+ 1 + _1(1 _ .!.) + _1_ (1 - .!.) (1 _ ~) + ...1·2n1·2·3nn1 .
(1)(2) (1 -n-1)... +1-- 1--1·2·3 .... ·nnn'"nили(1+ .!.)nn.!.) + _1_(1 - .!.)(1 _ ~) + ...1·2·3nn1 (1)(1 -n-1)... +1--(15 .3)1·2·3 .... ·nn'"n'=1+ 1+Из равенства(15.3)_1 (1 _1·2nследует, что с увеличениемnчисло положительныхслагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличенииn числоkубывает, поэтому величины (1- k), (1- ~), ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
