Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Положим У = О и решим систему {X-Z=-l,2x-3z=-5.Находим вторую точку М2 (2; О;прямой+ 1 = О,3z + 5 = о.3) прямой L. Записываем уравнениепроходящей через точки М 1 и М2 :х+24=у-1-1z•=312.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачиУгол межАУ прямыми. УСЛОВИЯ параллельностиИ перпеНАИКУЛЯРНОСТИ прямыхПусть прямыеL1иL2заданы уравнениямиРlиn2m2Р2Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющимивекторами SI= (m2; n2;Р2)= (ml;nl;Pl)(см. рис.и S2 =78). Поэтому,Рис . 78по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем_cos<p -В1· В2IS11 .
IS 21или(12.16)Для нахождения острого угла между прямымиL 1 и L 2 числитель пра(12.16) следует взять по модулю.Если nря.м:ые L j и L 2 nерnен.дш<;;ул.ярн:ы, то в этом и только в этомслучае имеем coscp = о . Следовательно, числитель дроби (12.16) равеннулю, т, е . m1m2 + nln2 + РIР2 = о.вой части формулы101Если nр.ямыеL1L2'unарал.лел'Ь'Н.ы, то параллельны их направляющие BeKTopbCS\ и $2. Следовательно, координаты этих векторов пропорционал,ьны, т. е. ~ = & = 'El..m2n2Р2Прu.мерQn212.2.Найти угол между прямымиХу-2z+22-13и2X+Y-Z-1=0,- у + 3Х + 5- = О.{2хРешение: Очевидно, $1 = (2; -1; 3), а $2 = n1 Хn2, где n1 = (2; 1; -1),= (2; -1; 3).
Отсюда следует, что $2 = (2; -8; -4). Так как $1 . $2 == 4 + 8 - 12 =О, то <р= 900.•Условие. при котором Аве прямые лежат в ОАНОЙ плоскостиПусть прямыеL1иL2заданы каноническими уравнениямиХz-Х1-Уm1иХ-n1УХ1m2ИхQI~---------------уУ2n2направляющие(см. рис.=Z - Z1Р1Z -:- Z2Р2векторысоответст79).Прямая79-=венно $1 = (m1; Щ;Р1) и $2 = (m2; n2;Р2)хРис.Уl-,--проходитL1М 1 (Хl; У1; Z1),черезрадиус-векторобозначим черезпрямая1'"1;L2точкукоторойпроходитчерез точку М2 (Х2; У2; Z2), радиус-вектор которой обозначим через1'"2.Тогда1'"2 - 1'"1 = М1 М2 = (Х2 - Х1;У2 - Y1;Z2 - Z1),Прямые L 1 и L 2 лежат в одной плоскости, если векторы $1' $2 иМ 1 М2= 1'"2 -1'"1 компланарны. Условием компланарности векторов явля= О,ется равенство нулю их смешанного произведения: (1'"2 - 1'"1)$1$2т. е.Х2-m1m2Х1У2- У1nln2Z2 - Z1При выполнении этого условия прямыеР2L1кости, то есть либо пересекаются, если $2если $111$2.102= О.РlиL2лежат в одной плос=f.
>..$1,либо параллельны,12.6. Прямая и плоскость в пространстве.Основные задачиУгол междУ прямой и плоскостью. Условия параллельностии перпеНАИКУЛЯРНОСТИ прямой и плоскостиПусть плоскостьQзадана уравнением Ахпрямая L уравнениями Х~-mХО= '!L.::::...JlJ!=zn+ Ву + Cz + D = О, .аZo •рУглом между прямой и плоскостью называется любой из двухсмежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через <р угол между плоскостьючерез В -угол между векторамирис.80).Тогдаsin<p= sin(~ -cosB =В)I~:n=(А;В;С) иQи прямойS =L,а(т;n;р) (см.&1' Найдем синус угла <р, считая <р ~ ~:= cosB.
И так как sin<p ~ О, получаемsin<p=IAm+ Вn + CplJ А2 + В2 + С2 . Jm 2 + n2 + r(12.17).Если прямая L nара.л.лел:ь'Н.а nлос",осmu Q, то векторыпендикулярны (см. рис. 81), а потому S . n = О, т. е.n и S перАт+Вn+Ср=О~является условuе.м nараллельносmu прямой и плоскости.•Li'ii'iРис ..Рис.80Если прямая81Рис.82L nерnе'Н.дu",уляр'Н.а nлос",осmu Q, то векторы82). Поэтому равенстваnи Sпараллельны (см. рис.Аm~В=n =Срявляются условuя.мu nерnенiJu'К:улярносmu прямой и плоскости.103Пересечение прямой С плоскостью. Условие принадлежностипрямой плоскостиПусть требуется найти точку пересечения прямойхс плоскостью- хоmАхУ-Уо=nZ-Zo+ ВУ + Cz + D(12.18)р= О.(12.19)(12.18) и (12.19). Проще всепрямой (12.18) в параметрическомДля этого надо решить систему уравненийго это сделать, записав уравнениявиде:{Х= хо +mt,У= уоz = Zo+ nt,+ pt.Подставляя эти выражения для х, У иполучаем уравнение А(хо+ mt) +zВ(Уов уравнение плоскости+ nt) + C(zo + pt) + Dt(Am + Вn + Ср) + (Ахо + ВУо + CZo + D)Если прямаяL=О.(12.19),= О или(12.20)не параллельна плоскости, т.
е. если Ат + Вn + Срто из равенства(12.20)i=о,находим значение t:Ахо + ВУо + С Zo + Dt - - -----,----=------,---Ат+Вn+Ср'-Подставляя найденное значениеtв параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.Рассмотрим теперь случай, когда Атi=+ Вn + Ср = О (L11Q):а) если F = Ахо + ВУо + CZo + DО, то прямая L параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения неt + F = О, где F i= О);+ CZo + D = О, то уравнение (12 .20)имеет, так как имеет вид О·б) если Ахоt .О +О+ВУоимеет вид= О; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямойявляется точкой пересечения прямой и плоскости.
Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнениеравенств/ {Ат + Вn + Ср = О,Ахо~12.7.~+ ВУо + С Zo + D=Оявляется условuем nрuнадлеЭfCностu nрямоil nлоскостu.Цилиндрические поверхностиПоверхность, образованная движением прямойL,которая перемещается в пространстве, сохраfj:ЯЯ постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется v,uлuндрu'Ческоilповерхностью или ЦUJI.uндром. При этом кривая К называется наnравл.яюiцеil цилиндра, а прямаяL-его образующеil (см . рис.83).Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующиепараллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение которой= О.F(x;y)(12.21)Построим цилиндр с образующими параллельными осиOzи направляющей К.Теорема12.1.лельны осиOz,Уравнение цилиндра, образующие которого паралимеет видт.
е. не содержит координаты(12.21),...,...,z.zHN ,....L1 11 11 11 11 11 .....к~...............Рис.QРис.83Возьмем на цилиндре любую точку М(х; у;жит на какой-то образующей. ПустьN -z)84(см. рис.84) .Она леточка пересечения этой образующей с плоскостью Оху. Следовательно, точкаК и ее координаты удовлетворяют уравнениюN лежит(12.21).на кривойНо точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точкаСледовательно, уравнениюМ(х; у;z),(12.21)так как оно не содержитцилиндра, то уравнениеТеперь ясно, что(12.21)F(x;z)N.удовлетворяют и координаты точкиz.И так как М-это любая точкаи будет уравнением этого цилиндра.•= О есть уравнение цилиндра с образуюF(y; z) = О - с образующими, паралщими, параллельными оси Оу, алельными оси Ох.
Название цилиндра определяется названием направляющей. &ли направляющей служит эллипсх2а2f§]у2+ ь2 = 1в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется ЭJl.Jl,unтu-чес,/\:uм цuлuндром (см. рис.10585).zvуххРис.~уРис.8586Частным случаем эллиптического цилиндра является ","руговоiJ.'Ц'l.мuндр, его уравнение х 2+ у2 = R 2 .Уравнение х 2= 2pz определяет в пространстве nараБОJl,u-чес","uiJ. 'ЦиJI,индр (см. рис.ниех286).Уравне-у2-2- - =1аь2~определяетрис.§впространствегunерБОJl,u-чес","uiJ.'ЦUJI,uндр(см.87).Все эти поверхности называются 'ЦиJI,индра.ми второго nоряд","а, так как их уравнения есть уравнения второй степени относи-тельно текущих координат х, у иZ.12.8.
Поверхности вращения. Конические поверхностиПоверхность, образованная вращением некоторой плоской кривойвокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращенuя. Пусть некоторая криваяLлежит в плоскостиOyz.Уравненияэтой кривоЙ запишутся в видеF(Y;Z) = О,{ х = О.(12.22)Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривойкруг осиВозьмемрис.88).LвоOz.наповерхностипроизвольнуюточкуМ(х; у;z)(см.Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную осиOz и кривой L соответN. Обозначим координаты точки N через (О; У1; Zl).Отрезки 01М и OlN являются радиусами одной и той же окружности.2 +у2, OlN = IY11.
СледовательПоэтому 01М = OlN. Но 01М =2 + у2 или У1 =2 + у2. Кроме того, очевидно, Zl =но, IY11 =Oz,и обозначим точки пересечения ее с осьюственно черезJx01и±JxJx106z.хРис.Так как точкаряют уравнению87NРис.88лежит на кривой(12.22).L, то ее координаты удовлетвоF(Yl; Zl) = Ь. Исключая вспомоN, приходим К уравнениюСтало быть,гательные координаты Уl и Zl точки(12.23)Уравнение(12.23) - .
искомоеуравнение поверхности вращения, емуудовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.Как видно, уравнениеполучается из(12.23)ной у на ±VX2 + у2, координатаПонятно, что если криваяZ(12.22)простой замесохраняется.(12.22)вращается вокруг оси Оу, тоуравнение поверхности вращения имеет видF(y; ±Vx2 + z2)если кривая лежит в плоскости Оху(Z == О;О) и ее уравнениеF(x; у) =О,то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривойвокруг оси Ох, есть F(x; ±~Vy 2 + Z2) = О.Так, например, вращая прямую у = Z вокруг осиOzVполучим поверхность вращения (ее уравнение ± х 2х 2 + у2 = Z2). Она называется конусом второго порядка.~(см.
рис.89),+ у2или=ZПоверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линиюL(не проходящую через Р), называется 'lCо'Нu'ЧеС'lCоi:t nоверх'Ностьюили 'lCoHycOM. При этом линияточка Р-Lназывается 'Наnрав.ttЯющеi:t конуса,ее вершu'Ноi:t, а прямая, описывающая поверхность, называется образующеi:t.107zzуххРис .Рис .89Пусть направляющаяLзадана уравнениямиFl(X;Y;Z){ Р2 (х; у; z)а точка Р(ХО; Уо;90= О,= О,(12.24)вершина конуса.
Найдем уравнение конуса.zo) -Возьмем на поверхности KOtlyca произвольную точку М(х; у;рис.90).z)(см.Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет направляющуюLв некоторой точкеудовлетворяют уравнениямN(Xl;Yl;Zl).Координаты точкиNнаправляющей:(12.24)Fl(Xl;Yl;Zl) = О,{ F 2 (Xl;Yl;Zl) = О.(12.25)Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р иN,имеют видХ-Xl -ХоХо=-уУо-УlИсключая Хl, Уl И Zl из уравненийZ -Zl -Уо(12.25)иZo(12.26)Zo(12.26),получим уравнениеконической поверхности, связывающее текущие координаты Х, у и Z.Прu.мер12.3.Составить уравнение конуса с вершиной в точке20(0;0; О), если направляющей служит эллипс ~плоскостиQZ== 1, лежащий вС.Решение: Пустьуравнения2+ Р.M(x;y;z) -образующих,любая точка конуса. Каноническиепроходящихчерез точки(О; О; О)(Xl;Yl;Zl) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут LХl108иточку= .JL =Уl= .L.Исключим Xl, УlZl.Ииз этих уравнений и уравненияZl.2Х1а22+ Уlь2(точка (Хl; Yl; Zl) лежит на эллипсе),Отсюда Хl = С ' ~ иZэллипса(12.27),Yl= 1Zl(12.27)= С.
Имеем: .l<.. = ~, JL = ~ХlССZполучимс2 . х 2с2 . у 2z2 . аZ2 • ь- - -2 + - -2= 1или•Это И есть искомое уравнение конуса.12.9.Уl= С' У... Подставляя значения Хl и Уl В уравнениеКанонические уравнения поверхностейвторого ПОРЯАкаПо заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е.
поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определятьее геометрический вид. Для этого при мени м так называемый методсе-ч,енui1: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатнымиплоскостями или плоскостями, им параллельными.ЭллипсоидИсследуем поверхность, заданную уравнением(12.28)Рассмотрим сечения поверхности(12.28)с плоскостями, параллельными плоскости ХОУ. Уравнения таких плоскостей: Z= h, где h -любоечисло.Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями2{Исследуем уравненияа) Еслиности(12.28)Zh22~ + Р.= 1-"?"'(12.29)= h.(12.29):Ihl > с, с > О,2то ~с плоскостями Z2+ р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
