Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

е. из а следуетиз (3 следует а;означает «ДЛЯ любого», «для всякого»;V3:~«существует», «найдется»;«имеет место», «такое что»;-«соответствие».Hanpu.мep:1)записьVxЕ А: а означает: «для всякого элементах Е А имеет место предложение а»;2)(х Е Аu В){:::=}(х Е Аилих Е В); эта запись определяетобъединение множеств А и В.13.2. Числовые множества.Множество действительных чиселМножества, элементами которых являются числа, называются'ч:uсло6ыu •. Примерами числовых множеств являются:N = {1; 2; 3; ... ; n; ...

} Zo = {О; 1; 2; ... ; n; ... } -множество натуральных чисел;множество целых неотрицательных чи-сел;Z={О;Q={r;::IR -множество целых чисел;±1; ±2; ... ; ±n; ... } -т Е Z, n Е N} - множество рациональных чисел.множество действительных чисел.Между этими множествами существует соотношениеNМножествоIRсZoсZсQ с IR.содержит рациональные и иррациональные числа. Вся­кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробьюили бесконечной периодической дробью. Так, ~3"1 -_ 0,333 ... -= 0,5(= 0,500 ...

),рациональные о числа.Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ­ются иррационалън'Ыми.117ТеоремаНе существует рационального числа, квадрат которого13,1.2.равен числуо Допустим, что существует рациональное число, представленное не­сократимой дробью Ш, квадрат которого равен 2.

Тогда имеем:n(:)2т.е.m 2 ==2n2 .==2,Отсюда следует, что m 2 (а значит, и т) - четное число, т. е. т == 2k.Подставив т == 2k в равенство m 2 == 2n 2 , получим 4k 22n 2 , т. е .222k == n • Отсюда следует, что число n - четное, т. е. n2l.

Но то-r:; = ~7гда дробь==сократима. Это противоречит допущению, чтоr:;дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи­сла, квадрат которого равен числу2.•Иррациональное число выражается бесконечной непериодическойдробью. Так,.j2= 1,4142356 ... , 7г =3,1415926 ... -иррациональныечисла. Можно сказать: множество действительных чи<;ел есть множе­ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать1R={x:Множествох=а,Cl:1Cl:2С1:З" , },IRгдеаЕZ,Cl:iЕ{О,1,...

,9}.действительных чисел обладает следующими свой­ствами.1. Оноуnорядо'Ч.енное: для любых двух различных чисел а и Ь имеетместо одно из двух соотношений а2.МножествоIR< Ь либо -ь < а.плотное: между любыми двумя различными чи­слами а и Ь содержится бесконечное множество действительных чиселх, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а< х < Ь.Так, если а < Ь, то одним из них является число а(а < Ь ~2а < а+ЬиаiЬа+Ь+ Ь < 2Ь ~ 2а < а + Ь < 2Ь ~ а < -2< Ь) .3. Множество IR неnреРtлвное. Пусть множество IR разбито на дванепустых класса А и В таких, что каждое действительное число содер­жится только в одном классе и для каждой пары чисел а Е А и Ь Е Ввыполнено неравенство а<Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще­ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а :::; с(VaЕ А,Vb:::;ЬЕ В) . Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи­сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе Внет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогдав классе А нет наибольшего).118Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач­ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно­жеством всех точек прямой.

Это означает, что каждому числу х ЕIRсоответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на­оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное)действительное число. Поэтому вместо слова «число»часто говорят«точка».13.3.Числовые промежутки.

Окрестность точкиПусть а и Ьдействительные числа, причем а-< Ь.числовы.ми nро,межуm'К:а.ми (интервалами) называют подмноже­ства всех действительных чисел, имеющих следующий вид:[а; Ь]= {х:а:::; х :::; Ь}-отрезок (сегмент, замкнутый про межу-ток);(а;Ь)= {х: а< х < Ь} -интервал (открытый промежуток);[а;Ь)={х: а:::;х<Ь};(а; Ь]= {х:а< х :::;Ь}-полуоткрытые интервалы (или полуот-крытые отрезки);(-оо;Ь]={х: х:::;Ь};[а, +(0)(а, +(0)(-оо;Ь)={х: х<Ь};{х:(-00,00) =-00 <х<+оо}= IR -= {х:= {х:х? а};х > а};бесконечные интервалы(промежутки ).Числа а и Ь называются соответственно левым и правым 'К:о'Н:ца,миэтих промежутков.

Символы-00и+00не числа, это символическоеобозначение процесса неограниченного удаления точек числовой 'оси отначала О влево~Пусть хо11вправо.любое действительное число (точка на числовой пря--мой). О'ICрестностъю точки хо называется любой интервал (а; Ь),содержащий точку хо.

В частности, интервал (хо-е, хо+ е),где е> О,называется e-О'ICрестностъю точки хо. Число хо называется цент­ром, а число ерадиусо,м.-ХО-сХОРис.Если х Е (ха< хо+е,-е; хоили, что то же,ХХо+сх97+ е), то выполняется неравенство хо - е < х <Ix-xol < е. Выполнение последнего неравенстваозначает попадание точки х в е-окрестность точки хо (см.

рис.11997).§ 14.Функция14.1.Понятие функцииОдним из основных математических понятий является понятиефункции . Понятие функции связано с установлением зависимости (свя­зи) между элементами двух множеств.§Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствиеf,ко-торое каждому элементу х Е Х сопоставляет один и только одинэлемент у Е У, называется фУНJCцuеt1 и записывается уилиf : Х -+У .

Говорят еще, что функцияf= f(x),х Е Хоmобра;нсаеm множествоХ на множество У.Рис .Например, соответствияfи98g, изображенные на рисунке 98 а и б,являются функциями, а на рисунке98в и г-нет. В случае в-некаждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В случае г несоблюдается условие однозначности.Множество Х называется областью определен/ия функциизначаетсяD(f).'Ч.енuiJ. функцииfи обо­Множество всех у Е У называется множеством зна­fи обозначается Е(Л·14.2. Числовые функции. График функции.Способы задания функцийПусть задана функция~f : Х -+У.Если элементами множеств Х и У являются действительные числа(т.

е. Х СIRи У сIR),то функциюfназывают 'Чuсловоt1 Фуюс­цuеt1. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции,для краткости будем именовать их просто функциями и записыватьу= f(x).Переменная х называется при этом аргументом или независимоtiпеременной, а у-фуюсv,uеiJ.

или завuсuмоiJ.120nepeMeHHoiJ.(от х). От-носительно · самих величин х и у говорят, что они находятся в фун'1С­v,uoна.л:ьноil завuсu.м.остu. Иногда функциональную зависимость у отх пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы(1)для обозначениязависимости.Частное зншч.енuе функцииНапример, е~ли f(x) = 2х 2Графu'1СО,м, фУН'1Сv,uu у-=f(x) при х = а записывают3, то f(O) = -3, f(2) = 5.f(x) на-зывается множество всех точек плос­так:f(a).укости Оху, для каждой из которыххуявляется-значениемаргумента,соответствующимазначениемфункции .Например,уграфиком= ~ является верхняя полу­окружность радиусавфункции0(0; О)(см.

рис.хR = 1 с центромРис .9999) .Чтобы задать функцию у=f(x),необходимо указать правило,позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у .Наиболее часто встречаются три способа задания функции : ана­литический, табличный, графический.А налuтu"tеС'1Сuil способ: функция задается в виде одной или не­скольких формул или уравнений.Наnри,м,ер:2)2у = {х + 1х-4при х< 2,при х?Если область определения функции у =2;f(x)З) у2 - 4х= о.не указана, то пред­полагается, что она совпадает с множеством всех знач е ний аргумента,при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областьюопределения функции у= Jl"=X2 является отрезок [-1; 1].Аналитический способ задания функции является наиболее совер­щенным, так как к нему приложены методы математического анализа,позволяющие полностью исследовать функцию у= f(x) .Графu"tеС'1Сuil способ: задается график функции.Частографикивычерчиваютсяавтоматическисамопишущимиприборами или изображаются на экране дисплея.

Значения функцииу, соответствующие темилииным :щачениям аргумента х, непосред­ственно находятся из этого графика.Преимуществом графического задания является его наглядность,недостатком-его неточность.ТаБЛU"tН'Ьtil способ: функция задается таблицей ряда значений ар­гумента и соответствующих значений функции . Например, известные121таблицы значений тригонометрических функций, логарифмическиетаблицы .

.На практике часто приходится пользоваться таблицами значенийфункци~, полученных опытным путем или в результате наблюдений.14.3. Основные характеристики функции§Функция у1.'Ч,етноil, если= f(x);= f(x), определенная на множестве п, называетсяVx Е D выполняются условия -х Е D и f( -х) =не'Ч,етноil, еслиVx Е D выполняются условия -х Е D иf(-x) = '-f(x).График четной функции симметричен относительно оси Оу, а не­четной-относительно начала координат,=хНапример, уу= sinx, у = хЗ= V1 + х 2 , У = ln Ixl - четные функции; анечетные функции; у = х - 1, у = JX - функции-2, Уобщего вида, т, е.

не четные и не нечетные.§2, Пусть функция у = f(x)D 1 С п. Если для любыхнеравенства х!<определена на множестве Dи пустьзначений xl, Х2 ЕХ2 вытекает неравенство:D 1 аргументов изf(Xl) < f(X2), то функцияназывается возрастающеil на множе­уствеD 1 ; j(Xl)~f(X2),то функция на­зывается неубъwающеil на множествеD 1 ; f(Xl) > f(X2),то функция назы­вается уб'bLвающеil на множествеf(Xl)~f(X2),D1;то функция называетсяневозрастающеil на множествео-21Рис.3100D1 .Например, функция, заданная гра­хфиком (см.

рис.вале(1; 5),§Возрастающие,(- 2; 1),100) , убывает на интер­не убывает на интервалевозрастает на интерваленевозрастающие,убывающие(3; 5).инеубывающиефункции на множестве п! называются .мOHOтOHHЪL.Ми на этоммножестве, а возрастающие и убываЮ1ЦИе-строго .мOHOтOHHЪL.Ми.Интервалы, в которых функция монотонна, называются uнтервал.а­.ми .монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотоннана§(-2; 1) и (3; 5); монотонна на (1; 3).3. Функцию у = f(x), определенную на множестве п, называютогранu'Ч,енноil на этом множестве, если существует такое числоМ > О, что для всех х Е D выполняется неравенство If(x)1 ~ М (ко­роткая запись: уf(x), х Е п, называется ограниченной на п, если=ЭМ > О : Vx Е D ===>If(x)1 ~ М).

Характеристики

Список файлов лекций