Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 20
Текст из файла (страница 20)
. возрастают.Поэтому последовательность {Х n },; {(1+ k) n} -возрасmающа.я, приэтом(15.4)Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой частиравенства(15.3)на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство111- + - - + .. · +.(1+-n1)n < 1 + 11 +· 2 1 · 2·31 · 2·3 .... ·n131Усилим полученное неравенство, заменив числазнаменателях дробей, числом 2:3, 4, 5, ... ,стоящие в'< 1+ (1 + ~ + 2- + ... + _1_).(1+ .!.)nn2 222n- 1Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:1+1-21 + -221 + ... + -=2 п1l·(l-(.!У)21_ 1= 2(1 -21)-П2< 2.Поэтому(15 .5)Итак, последовательность огранu'Чена, при этом для Уn Е N - вьшолняются неравенства(15.4)и(15.5):2 < (1+ ~) n < 3.Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность х п= (1+ ~) п,n Е N, имеет предел, обозначаемый обычно бук-вой е:lim (1n~oo+ .!.)пn=е.(15.6)Число е называют неnеРО6bI.М числом.
Число е иррациональное, егоприближенное значение равно2,72(е= 2,718281828459045 ... ). Числое принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначаетсяln х,т. е.lnx = loge Х.Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами.e1n х. Прологарифмируем обеПо определению логарифма имеем хчасти равенства по основанию=10:19x = Ig(e 1nx ),т. е. 19x = lnx ·lge.Пользуясь десятичными логарифмами, находим19 е ~ 0,4343. ЗН;;LЧИТ,19 х ~ 0,4343 ·ln х. Из этой формулы следует, что ln х ~ 0,4143 19 х, т. е.ln х~2,30261g х.Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами .§ 16.16.1.ПРЕДЕЛ ФункцииПредел функции в точкеПусть ФУЮ'ЧUЯ у= f(x) определена6 нек:отороi1. ок:рестностито'Чк:u ха, к:роме, быть мо:ж;ет, caлtoi1.
то'Чк:u ха.132Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.~Определение1(на «языке последователъностеii», или поГеИне). Число А называется пределом фУН7С'ЦUU у = f(x) в mо'Чхо (или при х --+ хо), если для любой последовательности допусти1I:eмь;х значений аргумента Х n , n Е N (х n . i хо), сходящейся к хо (т.
е.lim х n = хо), последовательность соответствующих значений функ-n-+ооцииЕf(x n ), nN,сходится к числу А (т. е.= А).lim f(x n )n-+ооВ этом случае пишут=Аlim f(x)х-+хоилиГеометрический смысл предела функции:f(x) --+lim f(x)х-+хоА при х=А--+хо.означает, чтодля всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующиезначения функции как угодно мало отличаются от числа А.~ Определение 2 (на «языке Е-б», или по Коши)'. Число А называется пределом фУН7С'ЦUU в mО'Ч7Се хо (или при х --+ хо), еслидля любого положительного Е найдется такое положительное число б,что для всех хiХо, удовлетворяющих неравенствуIf(x) - AI < Е.lim f(x) = А. Это определениеIx - xol <б, выполняется неравенствоЗаписываюткоротко можно запих-+хосать так:(VE > О 3б > О Vx:Jx...: xolили О<у8, х i Хо,< Ix -хо 1Е)===> If(x) - AI <<б{::=>Геометрический смысл предела функции: А{::=>lim f(x)·x-txo= lim f(x),= А.если дляx-+..:toлюбой Е-окрестности точки А найдется такая б-окрестность точки хо,что для всех хфункцииf(x)iхо из этой б-окрестности соответствующие значениялежат в Е-окрестности точки А.
Иными словами, точкиграфика функции у= f(x) лежат внутри полосы шириной 2Е, ограни+ Е, У = А - Е (см. рис. 110) .. Очевидно, чтовеличина б зависит от выбора Е, поэтому пишут б = б(Е).ченной прямыми у = АПримерQ16.1.Доказать, чтоlim(2x -1) = 5.Х-+ЗРешение: Возьмем произвольное Е>О, найдем бчто для всех х, удовлетворяющих неравенствунеравенство 1(2x-1)-51< Е, т.е.
Ix-31<= б(Е) >Ix - 31 <О такое,б, выполняется~. Взяв б = ~, видим, что длявсех х, удовлетворяющих неравенству Ix - 31 < б( = ~), выполняетсянеравенство1(2x - 1) - 51 < Е.Следовательно,133lim (2х - 1)Х-+З= 5.•Прu,м,ерРешение : ДляQхi- хоДоказать, что, если16.2..'tJe >имеем Ij(x) -clО можно взять=Ic - clу= ОоХо-дХОРис .16.2.IIIIIС, тоlimс=С.х-+хоО. Тогда приIx - xol < 8,Следовательно, lim с == С.•х--+хоА 2 ~__________ ~X):~: .~!~~~~~~~i~I;~~1~I~jfIIIII'tJ8 >< е.y=f(x)IIIIIf(x) =IIА,---7IIIХхоХО+дХоРис .111=Асчитается, что х110Односторонние пределыв определении предела функцииlim j(x)х-+хостремится к ха любым способом: оставаясь меньшим, чем ха (слеваот ха), большим, чем ха (справа от ха), или колеблясь около точки ха.Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо существенно влияет на значение предела функции.
Поэтому вводят понятияодносторонних пределов.~Число А 1 называется пределом фун~цuu уХа, если для любого число етакое, что при х Е (Ха<->О)слева в точкеб;хо), выполняется неравенствое. Предел слева записывают так:j(xo -= j(x)О существует число б = б(е)limх-+хо-оf(x)=>ОIj(x) - A11 <А 1 или коротко:= А 1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111) .Аналогично определяется предел ФУ'ЮЩUU справа, запишем его спомощью символов:('tJe > О :Jб = б(е) 'tJx Е (хо; Ха+ б) ~ If(x) - А 2 1 < е){:::::::::>limх-+хо+оКоротко предел справа обозначаютj(x() + О) =134А2 .{:::::::::>j(x) =А2 •~Пределы функции слева и справа называются односторон:нимипределами.
Очевидно, если существуетlim f(x)х---+хоют и оба односторонних предела, причем А= А, то существу-= А 1 = А2 .Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба пределаf(xo-О) иИ А =лхо-f(xo+O)= z-tzoliт f(x)О).Если же А 116:3.и они равны, то существует предел А-:f. А 2 ,то liтz-tzof(x)не существует.Предел функции при х ---? 00~Пусть функция у = f(x) определена в промежутке (-00; 00).
ЧислоА называется пределом Фун'Х:ции f(x) при х ~ 00, если длялюбого положительного числа € существует такое число ММ (€) > О,=что при всех х , удовлетворяющих неравенству Ixl > М выполняетсянеравенство If(x) - АI < €. Коротко это определение можно записатьтак :г-________________________________________________--.lim f(x)=A.( y€>03M>Oyx: Ixl>M ==> If(x)-AI<€) -<==> z-tooЕсли х -t=lim f(x), если х -t -00, то - А =z-t+ooГеометрический смысл этого определения таков: для+00,Нт f(x).z-t-ooО 3Мто пишут А=y€ >> О, что при- х Е (-00; -М) или х Е (М; +00) соответствующие значения функции f(x) попадают в €-OKpeCTHOCTb точки А,т. е.
точки графика лежат в полосе ширщюйу= А+€И У=А-€ (см. рис.2€, ограниченнойпрямым и112).уРис.11216.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)~=Функция уf(x) называется бес'Х:оне'Чно бол'Ьшоii при х ~ Хо,если для любого числа М> О существует число 66(М) > О, что=для всех х, удовлетворяющих неравенству1350< Ix-xol < 6, выполняетсяHepaвeHcTBolf(x)1> М.Записываютlim J(x) =00 илиx-tХQf(x) -t00 прих -t хо. Коротко:("1М> о 38 > О Vx: 'Х - хоl < 8, х f. хо ==> If(x)1 > М) {::::::}{::::::} lim f (х) = 00.Х-+ХоНапример, функция у = ~2 есть б.б.ф. при х -t 2.х-Еслиf(x)стремится к бесконечности при х -t хо и принимаетлишь положительные значения, то пишутlim f(x) =+00; если лишьx-tХQотрицательные значения, то~Функция у= f(x),lim f(x) =-00.Х-4 Х озаданная на всей числовой прямой, называетсябес'Х:о'Н,е'Ч'Н,о бо.льшо11.
при х -t 00, если для любого числа М> Онайдется такое числонеравенству 'хl> N,N= N(M) > О, что при всех х, удовлетворяющихвыполняется неравенство lJ(x)1("1М> о 3N > О Vx : 'хl > N =>Например, у=2ХlJ(x)1> М)> М.{:: : :}Коротко:Нm f(x)x-too= 00.есть б.б.ф. при х -t 00.Отметим, что если аргумент х, стремЯ(~ь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т.
'е. х ЕN,то соответствующая б.б.ф.становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательностьVN= n2+ 1, nЕN, является бесконечно большойпоследовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрест'Ности точки хо.яв.II.Яется 'Неогра'Нu'Че'Н'Ноi1 в этой окрестности. Обратное утверждениеневерно: неограниченная функция может и не быть б .
б.ф. (Например,у= xsinx.)Однако, еслиlim f(x) =А, где А-'lCо'Не'Ч'Ное 'Чuсло, то фуюс1J,ШХ-4 Х оf(x)огра'Нu'Че'На в окрестности точки хо.Действительно, из определения предела функции следует, что приIf(x) - АI < 6 . Следовательно, А - 6 <- 6; ХО + 6), а это и означает, что функциях -t хо выполняется условие< f(x) <f(x)+6при Х Е (хоограничена.§ 17.17.1.~АБЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)Определения и основные теоремыФункция уесли= f(x) называется бес'Х:о'Н,е'Ч'Н,о ма.ло11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
