Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 24
Текст из файла (страница 24)
рис.124).Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точкас внутри этого отрезка такая, чтоf(c)= С.Прямая у= с пересечетграфик функции по крайней мере в одной точке.Следствие19.2.Если функция у= f(x)непрерывна на отрезке [а; Ь)и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка[а; Ь) найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функцияобращается в нуль :f(c) =f(x)О.Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает осьОх (см. рис. 125).Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «.метода nол.овu'Н.'Н.ого дел.е'Н,uя», который используется для нахождения корня уравненияf(x)= О.Утверждения теорем19.4и19.5,вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывнане на отрезке [а; Ь), а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [а; Ь)имеет разрыв.Рисунок126показывает это для следствия теоремыразрывной функции не пересекает ось Ох.16019.5:графикЛЬ»ОУЛЬ»ОУоY=/iоь ХL/Ла)<ОРис .Прu.мер125Определить с точностью до с:19.5.уравнения е 2ХН+хРис.2-126= 0,00001 корень5 = О, принадлежащий отрезку [О; 1], применивметод половинного деления.QРешение: Обозначим левую часть уравнения через1.
Вычисляем <р = f(a) и 1/JШаг 2. Вычисляем х = а! Ь .ШагШаг З. Вычисляем у= f(x).= f(b),Еслиf(x)где аJ(x) .= О, Ь = 1.= О, то х -корень уравнения.Шаг4.полагаем аПри=f(x)х, <р==1 О если у. <р < О, то полагаем Ь =х,1/J =у, иначеу.- а - с: < О то задача решена. В качестве искомогокорня (с заданной точностью с:) принимается величина х = а! Ь.
ИнаШаг5.Если Ьче процесс деления отрезка [а; Ь] пополам продолжаем, возвращаясь кшагу2.В результате произведенных действий получим: х§ 20.20.1.= 0,29589.•ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИЗадачи, приводящие к понятию ПРОИЭВОДНОЙПонятие производной является одним из основкых математическихпонятий. Производная широко используется при решении целого рядазадач математики, физики, других наук, в особенности при изучениискорости разных процессов.Скорость прямолинейного АвиженияПусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой.
Каждому значению времениствует определенное расстояние О М=Sточки О. Это расстояние зависит от истекшего времениб Конспект лекций по высшей математике. Полный курс161tсоответдо некоторой фиксированнойt,т. е.S= S(t).Это равенство называют за"о""ом двuже,."u.я то'Ч."u.
Требуется найти скорость движения точки.tЕсли в некоторый момент времениточка занимает положение М, то в моментвремени t+~t (~tоIАвlS(t)+ ~S= SS(t+At)Рис .приращение времени)-точка займет положение(см. рис.(~S127).M1,где О М 1Таким образом, перемещение точки М за время ~t будет ~S127=S(t + ~t) -=приращение расстояния)-=S(t).if выражает сред,."юю с"оростъ движения точки заОтношениевремя ~t:~S/5:t.Vcp . =Средняя скорость зависит от значения ~t: чем меньше ~t, темточнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данныйt.момент времениПредел средней скорости движения .при стремлении к нулю промежутка времени ~t называется с"оростъю двuже,."u.я то'Ч.1СU в дa,.",."ыаiJ.моме,."т време,."и (или мгновенной скоростью).
Обозначив эту скоростьчерезV,получимV=~S ·liт л-,дt-40utVили=Ет S(t + ~t)' - S(t) .дt-40~t(20.1)Касательная к кривойДадим сначала общее определение касательной к кривой.Возьмем на непрерывной кривойLдве точки М и М 1 (см. рис.128).Прямую М M 1 , проходящую через эти точки, называют се"ущеi1.Пусть точкадвигаясь вдоль кривойM1,L,неограниченно прибли-жается к точке М . Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ ..~Касаmе.л:ьноti .JC aaHHoti JCpueoti в aaHHoti mО'ЧJCе М называется предельное положение МТ секущей М M 1 , проходящей черезточку М, когда вторая точка пересечения М 1 неограниченно приблиM1 .жается по кривой к точкеРассмотрим теперь график непрерывной кривой у= f(x), имеющий в точке М(х; у) невертикальную касательную.
Найдем ее угловойкоэффициентk= tga,где а-угол касательной с осью Ох.Для этого проведем через точку М и точку М 1 графика с абсциссой х~x секущую (см. рис. 129). Обозначим через <р - угол между+секущей М М 1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициентсекущей равенkсек_-_ ~y_f(x+~x)-f(x)tg <р - .~x~x162хРис.Рис .128129При ~X -? О В силу непрерывности функции приращение ~y тожестремится к НУЛЮ; поэтому точка М 1 неограниченно приближается покривой к точке М, а секущая М М1 , поворачиваясь около точки М,переходит в касательную . Угол ер -? 0:, т.
е.Следовательно,liтс,.х-+оtg ер= tg 0:.liт ерс,.х-+о=0:.Поэтому угловой коэффициент касательной равенk = tg о: =.11тс,.х-+оtg ер =.~y11т л:uXс,.х-+оК нахождению пределов вида=.11тf(x+ ~x) - f(x)~с,.х-+о(20.1)и(20.2)Х.(20.2)приводят решения имножества других задач . Можно показать, что:-еслиQ = Q(t) -количество электричества, проходящего черезпоперечное сечение проводника за времявреме'Н,иt1-если=lim ~Qt=c,.t-+O ~tN = N (t) -скую реакцию за времявреме'Н,иt,то сила то?Са в моме'Н,травнаlim Q(t + ~t) - Q(t) ;c,.t-+o(20.3)~tколичество вещества, вступающего в химичеt,то С1Соростъ хu.мu"Чес?СоЙ реа?Сции в моме'Н,травнаV = lim ~N=c,.t-+o ~tliт N(t + ~t) - N(t) ;(20.4)~tмасса неоднородного стержня между точкамиc,.t-+o- если т = т(х) 0(0; О) и М(х; О), то лu'Н,ей'Н,аяS = lim ~тс,.х-+о ~xПредеЛы(20.1)-(20.5)nлотн.остъ стерж'Н.Я в то"Ч?Се х есть=lim т(хс,.х-+о+ ~x)-' т(х) .(20.5)~xимеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента.Этот предел называют nроuзвод'Н,оЙ.
Эти пределы можно записать так:(читаетсяИ т. д.).V = s;; tg о: = y~;«V равно S штрих1 = Q~;v = N;;S= т~по t», «тангенс о: равен у штрих по х»20.2. Определение ПРОИЭВОДНОЙ; ее механическийи геометрический смысл.Уравнение касательной и нормали к кривойПусть функция у= f(x) определена на некотором интервале (а; Ь).Проделаем следующие операции:- аргументу х Е (а; Ь) дадим приращение ~x: х + ~x Е (а; Ь);- найдем соответствующее приращение функции: ~y = f(x+~x)- f(x);- составим отношение приращения функции к приращению аргу-мента: ~;- найдем предел этого отношения при ~x --+ О: lim ~ .дхuXЕсли этот предел существует, то его называют производной функ-dции f(x) и обозначают одним из символов f~, г(х); у'; '!:JL; y~..dх~Производноit фУН1Сции у= f(x) в mО'Ч1Се хо называется пределотношения приращения функции к приращению аргумента, когдаприращение аргумента стремится к нулю .Итак, по определениюу,==,.1тf(xo+ ~x) - f(xo)Llx-tОПроизводная функцииf(x)f '()хоили~x=,.1тf(x) - f(xo)x-tХQХ-.хоесть некоторая функция г(х), nро'Uзведенная из данной функции.~Функция у= f(x),имеющая производную в каждой точке интервала (а; Ь), называется дифференцируемоit в этом интервале; операция нахОЖ,Дения производной функции называется дифференцированием.Значение производной функции уется одним из символов : г(хо),Пример20.1.= f(x)y'lx=XQв точке х= хообозначаили у'(хо) .Найти производную функции у==С, С= const.а Решение:-Значению х даем приращение ~x;находим приращение функции ~y: ~y= с-с =0;-значит, ~ = '~x = О;-следовательно, у'='imLlx-tО~uX= lim164Llx-tО= f(x+ ~x) - f(x)О = О, т.
е. (с)' = О.•20.2. Найти производную функции У = х 2 .Прu.м.ера Решение:- Аргументу х даем приращение ~x;- находим ~y: ~y = (х + ~x)2 - х 2 = 2х· ~x + (~x)2;~1/ ~1/2х . ~x + (~x)2- составляем отношение =.it...: =.it... == 2х~x ~x~x- находим предел этого отношения:~ylimА",-+О иХ= limА",-+О+ ~x·,(2х + ~x) = 2х.•Таким образом, (х 2 )' = 2х.в задаче про скорость прямолинейного движения было получено1·~S= Al~o ~t·VЭто равенство перепишем в видеV =s:,т. е.C?i:OPOCmbnря.м.олuнеil:/-I,ого двuжен'U.Я ,матерuальноi1, тО'Ч?i:U в ,мо,мент вре.менut есть nроuзводна.я от nутиSпо вре,мениt.В этом заключается ,механu'ЧеС?i:Ui1,С,М'ЫСЛ nроuзводноi1,.liIОбобщая, можно сказать, что если функция у= f(x) описьmаеткакой-либо физический процесс, то nроuзводная у/ есть С?СОрость nроте?Санuя этого nроцесса. В этом состоит фuзu'Ч.ес?Сuilсмысл nроuзводноil.liIв задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффи-циент касательной kВ виде г(х)=tga== tg а =lim~.
Это равенство перепишемА",-+О иХk, т. е. nроuзводная г(х) в то'Ч.?Се х равна уг./l,овому ?Соэффuцuенmу ?Сасате./l,ЬНОО ?С графu?Су фУН?СЦUUу= f(x) в mо'Ч.?Се, абсчuсса ?Соторо'" равна х. В этом заключаетсягеометрu'Ч.ес?CUii СМ'ЫС./I, nроuзводиоii.~уЕсли точка касания М имеет координаты(хо; уо) (см. рис.130),kциент касательной естьто угловой коэффи= г(хо).Пользуясьуравнением прямой, проходящей через заданнуюточкувзаданномнаправлении(у-уо = k(x-xo)), можно записать уравнение?Cacame./l,bHoil: у - уо = г(хо) .
(х - хо).~Прямая, перпендикулярная касательной вточкекасания,называетсянорма.л.ью?СохРис.130?CpuBoil.Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициентk иоры . =1--kкас.1651f'(xo) .Поэтому уравнение нормали имеет вид у - уо= - г/хо). (х - хо)(если г(хо) ~ О).20.3. Связь между непрерывностьюи дифференцируемостью функцииТеорема20.1.Если функция дифференцируема в некоторой точке,то она непрерывна в ней.QПусть функция у=дифференцируема в не которой точке х.f(x)Следовательно, существует пределОтсюда, по теореме17.5 о~малой функции, имеем к?дуlim~x->o~= Г(х).uxсвязи функции, ее предела и бесконечно,= г(х) + а, где а ~ О при ~x ~ О, то есть= г(х) .
дх + а· ~x.Переходя к пределу, при дх ~ О, получаемозначает, что. функция у= О.дуА это и= f(x) непрерывна в тачке х.Обратнаяуlim~x->oтеорема•неверна:непрерывнаяфункция может не иметь праизвадноЙ. Примерам такай функции является функция= I I = { -х,х,уххРис.прерывна в точке хв ней.= 1(0 +дх) -дхf(O) =f(~x)дхтельнай в тачке3а.м.е'Ч,анu.я:в точке х==дхне имеет производнай=< О.131функция неО, на не дифференцируема= О имеемIдхl= {дх1,-1,если дхеслидх> О,< О.,д!:JlLне существует, т.
е. функция у = Ixluxв точке х ' = О, график функции не имеет каса-Отсюда следует, что. lim~если хИзображенная на рисунке131Действительна, в тачке хдуесли х ~ О,~x->o0(0; О).1. Существуют однастО,ранние пределы функции уО:lim~x->o-o~ux= -1,lim~X->O+O~ux= 1.= Ix/В таких случаяхгаварят, что. функция имеет односторо'Н:ние nроu.зводнЪte (или «произвадные слева и справа»), и абазначают саатветственно166f'- (х)и f~ (х).Если: f~(x)f;f~(x), то производная в точке не существует.
Несуществует производной и в точках разрыва функции.2. Производная у' = f'(x) непрерывноЙ функции у = J(x) сама необязательно является непрерывной.~Если функция у= f(x) имеет непрерывную производную у' = f'(x)в некотором интервале (а; Ь), то функция называется г.лад~оtJ..20.4. ЛроизвоДная суммы, разности, произведенияи частного функцийНахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.Пусть фу'Н.'К,'Ции и= и(х) и v = v(x) - две диффере'Н.v,ируе.м:ы.е в'Н.е!Соторо.м и'Н.тервале (а; Ь) фу'Н.'К,'Ции.Теорема20.2.Производная суммы (разности) двух функций равнасумме (разности) производных этих функций: (ио Обозначим у=u ± v.± v)'= и'± v'.По определению производной и основнымтеоремам о пределах получаем:у,1.(и(х + ~x) ± v(x + ~x)) = Ax~O~x1т= 1im (и(хAx~O'(и(х)± v(x))+ ~x)- и(х) ± v(x + ~x) - v(x)) =~x~x·~и1·~v,,= 11т л- ± 1т л- = u ± v ,Ax~Oт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
