Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. (и± v)'uxAx~Oux•= и' ± v'.Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.Теорема20.3.Производная произведения двух функциЙ равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:167(u·v)'=u'v+v'u.QПусть у = uv.Тогдау'=lim D..yD..x==lim u(х+ D..x) . v(x + D..x) -lim (u(х)+ D..u) . (v(x) + D..v)lim v(x)· u(х).11т6.",-+0=+ u(х) . D..v + v(x). D..u + D..u· D..v - u(х) .
v(x) =D..x6.х-+О=- u(х) . v(x)D..x6.",-+0=u(х) . v(x)D..x6.",-+06.",-+0(D..Uv(x)· - + u(х)· -D..v + ~v' -D..U) =~x~x~U()l'1т л~v +·=v ()х . 11т л- + их·6.",-+0 ux6.",-+0 ux~xl'1т uV'лl'1т л~U6.х-+О6.х-+Оux== и' . v + и . v' + О . и' = и' . v + и . v',т.
е . (и ·v)' =и'•. v + u· v'.При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции иv= v(x)=u(х) идифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ~v ~ Ои ~U ~ О при ~x ~ О .Можно показать, что:= с· и', где с = const;(и· v . w)' = и' . v . w + и . v' . w + и . v . w'.а) (с· и)'6)Теорема 20.4.
Производная частного двух функций ufX,если v(x) =j:.vx1=j:. О равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на произвоДную знаменателя , анателя :Q(;)'Пусть у=знаменатель есть квадрат прежнего знаме-= и' . v;;; и . v' , v =j:. О.= 1!.Тогдаvlim u(х)· v(x)6.х-+О+ v(x) .
~U ~x·(v(x)168u(х). v(x) - u(х) . ~v+ ~v)v(x)=v. ди _ и. дvv . ди - и . L\v~ж~ж ==lim. (V 2 + v· L\V)~ж .... оV 2 + V· L\vliт~ж .... о дх=Шnv·=т. е.v( У)_-u'V - UV'v2ди - и.дж .... о джНтдvu'v - uv'дж .... о дж--~~--~~~~~-V2+ V· lim~Ж-}ОV2L\ v•.Следствие 20.1. (~)' = ~ .
и'.Следствие20.5..(~)' = - с ~i где с = const.20.2.Проиэводная сложной и обратной функцийПусть у= f(u) и и = <р(х), тогда у = л<р(х» -сложная функцияс промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.Теорема20.5.х. а функция уи= <р(Х).Если функция и= f(u)= <р(х) имеет производную и~ в точкеимеет производную y~ в соответствующей точкето сложная функция у= f(<p(X»точке х. которая находится по формуле y~о По условию limL\!f11-~и....
O ииимеет производную y~ в= y~ . и~ ..= y~. Отсюда, по теореме о связи функции, еепредела и бесконечно малой функции, имеем ~ = y~ + а илиду = y~ . ди + а . ди,(20.6)где а-+О при диФункция ипоэтому-+О.= <р(х)имеет производную в точке х: д~~o ~~ди = и~ . дх+ fЗ . дХ,где fЗ-+о при дх-+=и~,О.Подставив значение ди в равенство(20.6), получимду = y~(и~ . дх + fЗ · дх) + a(и~ .
дх + (З. дХ),т. е.ду = y~ . и~ . дХ+ y~ . fЗ . дх + и~ . а . дх + а . (J . дх.Разделив полученное равенство на дХ и перейдя к пределу при дхполучим y~= y~ . и~.-+О,•169liIИтак, для нахождения производной сложной функции надо 'nроuзвоiJнуюiJaHHoit фунnv,uu по nро.м.е:нсуmо'Чно.м.у аргу.м.ентуу.м.но:нсить на nроuзвоiJную nро.м.е:нсуто'Чного аргу.м.ента понезавuсu.м.о.м.у аргу.м.енту.Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько . Так, если у = f(u), и = 'P(V), V = у(х), то y~ = y~ . и~· v~.Пусть уf(x) их 'Р(у) - взаимно обратные функции.==Теорема 20.6.
Если функция у= f(x)строго монотонна на интервале (а; Ь) и имеет неравную нулю производную г(х) в произвольнойточке этого интервала, то обратная ей функция х= 'Р(у)также имеет производную 'Р'(у) в соответствующей точке, определяемую равен-'( ) _СТВОМ'Р УQ1, _ 1- f'(x) или х у.11:'-Рассмотрим обратную функцию х= 'Р(у) . Дадимаргументу У приi:- О. Ему соответствует приращение д.х обратной функции,причем д.х i:- о в силу строгой монотоююсти функции У = f(x), Поэторащение д.уму можно записать1д.уЕсли д.ущение д.х-+-+-(20.7)~',д",О, то в силу непрерывности обратной функции прира-О, И так какравенства ду-+о11'т ~xиу=limд.1I= г(х) i:-т.z.д"'-+О иХ1lim ~1= f'(x)'о, то из'( )т.
е, 'Р уI(20.7)следуют1= f'Гxj'д"'-+О д.хliIТакимобразом,nроuзвоiJнаяобратноitобратноit веJtu'Чuне nроuзвоiJноitфунnv,uu•равнаiJaHHoit фунnv,UU.Правило дифференцирования обратной функции записывают так:,ух1= -,dyилиdxху1= ([Х'dyПрu.м.ер 20 ..3. Найти производную функции УQ= log~ tgx 4 •Решение: Данная функция является сложной, Ее можно предста=вить в виде цепочки «простых» функций : уиЗ, где и = log2 Z, гдеztgq, где qх 4 , По правилу дифференцирования сложной функции (y~y~ 'и~ . z~ , q~) получаем:===y~= 3 ' log~ tg х41, ---:;----,-4tgx ,ln 2170•Прu.мерПользуясь правилом дифференцирования обрат20.4.= Vx -ной функции, найти производную Y~ дЛЯ функции УQ1.= УЗ + 1 имеет производную x~ = 3уРешение: Обратная функция х2•Следовательно,,УХ20.6.11= x~ = 3у 2 = 3.•1V(x - 1)2 .Произвор.Ные основных элементарных функцииСтепенная функция у=хn , n ЕNДадим аргументу х приращение .6.х.
Функция У+ .6.х)n -ращение .6.У = (х=хnполучит приnх . По формуле бинома Ньютона имеем.6.У = (х n + n . x n- 1 ·.6.х + n(n2~ 1) х n - 2 . .6.х 2 + ... + (.6.х)n)= n· x n- 1 ·.6.х + n(n2.-,1)х n - 2 .6.х 2+ .. . +_ хn=.(.6.х)n.,Тогдаn· x n - 1 ·.6.хдУ+ ~xn-2.6.x2 +. + (дх)n.6.х ==.6.х= N. x n- 1 + n(n 2!1) . х n - 2 . .6.х+ ...
+ (.6.x)n-l.Находим предел составленного отношения при .6.х -t О:lim.6.УДх-+О .6.х=limДх-+О(n.xn-l+~n,(n-1).xn-2.6.X+ "2Таким образом,зНапример, (х )'.+(.6.x)n-l)= n ·x n- 1 .= n . xn - 1 .)' = 2х, х' = 1.(х n ),= Зх2, (х2Ниже (см. замечание на с.175)будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любомnЕIR(а не тольконатуральном) .Показательная функция у= аЖ, а > О, а #:- 1Найдем сначала производную функции У=еХ• Придав аргументух приращение .6.х, находим приращение функции .6.у: ду--еХ(е ДХ.6.Уlim -Дх-+О дх- 1) . Стало быть , ~ -- е%(ед%-l) И.6.х=Дх-+Оlim еХ.еДХ- 1дх=еХДХ.limеДХ- 1дх-+о.6.х171= еХ+ДХ_еХ=..6.х= eX · lim -Дх-+о.6.х= eX·l=еХ.Прие"- 1 '"вычислениих при хИтак, у'пределавоспользовалисьэквивалентн,остЬ,ю--t о.= е", т.
е.(е"')' = е"'.Теперь рассмотрим функцию уа", х Е JR. Так как а"== е" ln а,то по формуле производной сложной функции находим:(а")'= (e"lna)' = e"lna. (х ·lna)' = e"lna ·Ina = а" ·Ina.Таким образом, (а")'= а" In а.Прu.мер 20.5. Найти производную функции у<)= 7"2-4,,.Решение: Используя формулу производной сложной функции Иформулу производной показательной функции, находим= (7,,2-4,,), = 7"2-4,, .ln 7. (х 2 - 4х)' = 7"2-4,, ·In 7· (2х Логарифмическая функция у = 10& х, а > О, а =F 1у'Найдем сначала производную функции у4).•= In х.Для нее6.у__In(x+ 6.х)-Inx= In(1 + ~")In("±~")_жх6.х6.х6.х6.хПереходя к пределу при 6.х --t О и воспользовавшись эквивалент-'" ~x при 6.х --t о, получаем:ностью In ( 1 + ~x)6.у.11т -~,,-+O 6.хт.
е. у'.In(1 + ~")= ~,,-+O11т"6.х= 1 или (Inx)' =х=а(logах= lnxто'па'х)' =~"-L~,,-+O 6.х1= ~,,-+Olim - =х1- ,х1.Теперь рассмотрим функцию уТак как log хlim= loga х.(Inx)' = _1_. (Inx)'In аIn аТаким образом, (Iog a х)'= _1_ .~.In ах= -11-.Х·паПрu.мер 20. б. Найти производную функции у = In(x 4 - 2х 2<)Решение: у'=1х - 2х 24+6. (х 4_2х 2 + 6)'=Производную логарифмической функции у4х3-4х.х - 2х 2= loga х4иначе. Так как обратной для нее функцией является хформуле производной обратной функции имеем:(10gaх)' _ _1_ _1= 1- (аУ)' - аУ ·In ах· In а·172+6+ 6).•можно найти=аУ, то поТригонометрические функцииДля функции у= sinx11 = sinx, 11= совх, 11 = tgx, 11 = ctgxимеем:6.у _ sin(x + 6.х) - sin х _ 2 sin ~ cos(x + ~) _ sin ~'"(6.х)6.х6.х~ж соэ х+ 2 .6.х -2Переходя к пределу при 6.х -+ О и воспользовавшись пер~ым замечательным пределом liт si~ 6.х = 1, получаем~Ж~ОuX6.уsin ~ж(6.х )lim л-= liт ~.cos х+- =l·cosx,~Ж~От2~Ж~О uXт.
е. у'= cosxили(sinx)' = cosx.Найдем производную функциивоспользовавшись формуy=cosx,лой производной сложной функции:(cosx)' = (sin(% -х))' =cos(% -х). (% -х)' =соэ(% -х).( -1)=- sinx,т. е.(cosx)'=- sinx.Для нахождения производных функцийy=tgxиy=ctgxвосполь-зуемся формулой производной частного:2' (Sinx)' (sinx)'cosx-sinx(cosx)' cos2 x+sin x1- -2( tg х ) - - - - соэ х соэ 2 Хcos 2 Х- cos х'т. е. (tgx)'=~.cqsхПроделав аналогичные операции, получим формулу(ctgx)'= __._1_.sш 2 хЭтот результат можно получить иначе:1----;;~----:-соэ2(~ - х)Прu.м.ер 20~ 7.QРешение: (соэ2х)'Найти производную функции у= - sin2x· (2х)' == arctg х, 11 = arcctg хПусть у1=- -.sin 2 х=соэ 2х.-2sin2x.Обратные тригонометрические функции11.
(-1)11= arcsinx,= arccosx,11•= arcsin х. Обратная ей функция имеет вид х = sin у,у Е [- ~ j ~]. На интервале ( - ~ j ~) верно равенство х'= соэ 11 :j:. о.По правилу дифференцирования обратных функций(arcsin х),1(sin у)'1= - - - = - .-соэ у=1731sin 2 у ----г==::;;==J1 -1.J'1"'=X2'где перед корнем взят знак плюс, так как cos у > о при у Е (- ~ j ~ ) .Итак, (arcsinx)' = /11- х 2.Аналогично получаем, что (arccosx)' = - Р'Эту формулу21- хможно получить. проще: так как arccos х + arcsin х = ~, т. е. arccos х ==~ -arcsinx, то (arccosx)'=(~~arcsinx)' =Найдем ПРОИЗВОДНУЮ функции у-Р'= arctgx.Она является обратной к функции х = tg у, где У Е ( - ~ j ~) •Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функц~й, получаем, что'11211(arctgx ) = (tgy)' = ~ =cos\y= 1+tg2 y -1+х 2 'cosУИтак, (arctgx)' = ~.l+хФункцииarctg хиarcctg хarctg х + arcctg х =связаны отношением7г'2'т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
