Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Какой путь пройдет тело при свободном10,04 с от начала падения. Уравнение свободногоt2тела- 1, 6 м/с. Н -- ~2 ' 9л -Q2(24.4)неIf"(x)1196).Прu,м,ерна Луне за(24.4)+ (arctgx)' . ~x,т. е.arctg(x + ~x)По формулепадениипадения.Решение: Требуется найти Н(10,04). Воспользуемся приближеннойформулой (~H ~dH)H(tПри~H(t)+ H'(t).
~t.D.,t =dt = 0,04 с, H'(t) = 9лt, находим1,6· 100Н(10,04) ~2+ 1,6· 10·0,04 = 80 + 0,64 = 80,64 (м).t = 10с и+ ~t)Задача (ДЛЯ самостоятельного решения). Тело массой•m == 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближеннокинетическ~ю энергию тела (Ек = т~2 ; Ек (10,02) ~ 1004 (Дж»).24.6.Дифференциалы высших ПОРЯДКОВПусть у= }(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х -'Н.езависима.я пер ем е'Н.'Н.а.я. Тогда ее первый дифференциалdy= г(х) dxесть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.Дифференциал от дифференциала функции у= f(x) называетсяее вторь/м диффере'Н.циалом (или дифференциалом второго порядка) иобозначается d 2 y или ~ f(x).Итак, по определению ~y = d(dy). Найдем выражение второгодифференциала функции у ~Так каксчитаемd2 ydxdx =f(x).~x не зависит от х, то при дифференцированиипостоянным:= d(dy) = d(f' (х) dx) = и' (х) dx)' .
dx = 1" (х) dx . dx = f" (x)(dx)2,190т. е.Здесьd2 y = j"(x)dx 2 .2dx обозначает (dx)2.(24.5)Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от= d(dn-1y) = j(nJ(x)(dx)n.= fxM. в частности, при n = 1, 2,дифференциала (n - l)-го порядка:Отсюда находим, что j(nJ(X)dny3соответственно получаем:j'(x)= ~~,j"(X)='~;,j"'(x)= ~:;,т.
е. производную функции можно рассматривать как отношение еедифференциала соответствующего порядка к соответствующей степенидифференциала независимой переменной.liIОтметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если хгде хнезависимая переменная. Если же функцию у-фУН:К:Ц'UЯ-om 1i:a1i:oi1.-mo= j(x),другоi1. незавuсu.моi1. nepeMeHHot'i,то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойствоминвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажемэто на при мере дифференциала второго порядка.Используя= vdud2y+ udv),формулудифференциалаполучаем:произведения(d(u· v)='= d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + j'(x)· d(dx) = j"(X) dx· dx + j'(x) .
d2x,т. е.Сравниваяd2 y = j"(X) dx 2 + j'(x) . d2x.формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся,(24.6)что в случаесложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое f'(x) . ~x.Ясно, что если х~xи формула(24.6)-независимая переменная, то= d(dx) = d(l . dx) = dx . d(l) = dx . О = Опереходит в формулу(24.5).Прu.мер 24.6. Найти ~y, если у = е 3Х их-независимая переменная.Решение: Так как у' = Зе 3Х , у" = 9е 3Х , то по формуле~y9е 3Х dx 2 •Q(24.5) имеем=Прu.мер 24.7.
Найти ~y, если у = х 2 их = t 3симая переменная.191+1и•t -незавиРешение: Используем формулуQу' = 2х,у" = 2,(24.6): так какdx = 3t2 dt, d 2x = 6tdt 2 ,тоd 2 y = 2dx 2+ 2(t 3 + 1)6t dt2 == 18t dt2 + 12t4 dt 2 + 12t dt 2 = (30t 4 + 12t) dt 2 •у = х , Х = t 3 + 1. Следовательно, у = (tЗ + 1)2.+ 2х . 6t dt 2= 2(3t 2 dt)242Другое решение:Тогда по формуле(24.5)•т. е.§ 25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИПРОИЗВОДНЫХ25.1.Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункцияхРассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.Теорема25.1(Ролль).
Если функцияf(x)непрерывна на отрезке[а; Ь), дифференцируема на интервале (а; Ь) и на концах отрезка принимает одинаковые значения 1(а)= f(b), то найдется хотя бы однаточка с Е (а; Ь), в которой производная г(х) обращается в нуль, т. е.г(с)Q= о.Так как функцияf(x)непрерывна на отрезке [а; Ь], то она достигаетна этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, М ит.
Если М = т, то функцияf(x)постоянна на [а; Ь) и,следовательно, ее производная г(х) = О в любой точке отрезка [а; Ь].Если М=J.т, то функция достигает хотя бы одно из значений Мили т во 6HyтpeH:HeiJ. точке с интервала (а; Ь), так какf(a) = f(b).Пусть, например, функция принимает значение М в точке х= с Е (а; Ь), т. е. f(c)соотношение1(с) ~f(x).Найдем производную г(х) в точке хf'(c)=М. Тогда для всех х Е (а; Ь) выполняется=lim f(cдх-+о= с:+ ~x) - f(c).~x192(25.1)ууумjJ~тоОаРис.>ОасРис.139в силу условия6хОЬ Хс(25.1)Если 6.хо-f(c) :::;аС!Рис .верн,О неравенство+~;ОЬ Х140(т.
е. 6.х ~ О справа от точки хf(cтО:тоf(cС2ЬХ141+ 6.х) - f(c) :::;= с), тоО. ЕслиО и поэтому !,(с):::; О.< О, тоf(c+~; - лс) ~ О и !,(с) ~ О.Таким образом, !,(с)в случае, когда= О.f(c) =т, доказательство аналогичное.•Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функцииу =f(x)найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (см . рис .Теорема25.2139и140).На рисунке 14Х таких точек две.(Коши). Если функции лх) и ~(x) непрерывны наотрезке [а; Ь], дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем ~'(x)::j;Одля х Е (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь) такая, чтовыполняется равенство f(b) - f(a) = f'(c) .~(b) - ~(a)а Отметим, что ср(Ь) -ср(а)::j;~'(c)О, так как в противном случае по теоремеРолля нашлась бы точка с, такая, что ср'(с)= О, чего не может быть поусловию теоремы .
Рассмотрим вспомогательную функциюF(x)= f(x)f(b) - f(a)- f(a) - ср(Ь) _ ср(а) (~(x) - ср(а)).Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), так как является7 Конспект лекциR ПО высшеlt М8ТеМlПНке. Полный курс193линейной комбинацией функцийи <р(х); на концах отрезка онаf(x)принимаеТ одинаковые зна'iения Р(а}= О.= Р(Ь)На основании теоремы Ролля найдетсяTO'iKa х = с Е (а; Ь)'iTO Р'(с) = О. Но Р'(х) = г(х) - ~ ~ ::::~(:)<p'(x), следовательно,такая,Р'(с) = г(с) - f(b) - Ла) <р'(с) = О.<р(Ь)-<р(а)Отсюда следуетТеоремаf(b) - f(a) <р'(с)- <р(а)иг(с)f'(c)=25.3(Лагранж).
Если функция<р(Ь)f(b) - f(a)- <р(а) .•<р(Ь)<р' (с)f(x)непрерывна на отрезке[а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь), то найдется хотя бы однаточка с Е (а; Ь) такая, что выполняется равенствоf(b) - f(a)= f'(c)(b -а).(25.2)а Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как 'iастныйСЛУ'iай теоремы Коши. Действительно, положив <р(х)<р(Ь)-<р(а)=Ь-а, <р'(х)Подставляя эти зна'iения в формулу f(b) - f(a)<р(Ь)ем~f(b&- <р(а)= f'(c)<р'(с)=~(a) = г(с) или f(b) - f(a) = Г(с)(Ь - а).ПОЛУ'iенную= х, находим= 1, <р'(с) = 1.формулуназываютфор.му.!tоU,ПОЛУ'iа•Лагран:;нсаилифор.му.!tоU о '/Сон.е'Чн.о.м nрuращен.uu: приращение дифференцируемой функции на отрезке [а; Ь] равно приращению аргумента, умноженному на зна'iение производной функции в некоторой внутреннейTO'iKeэтого отрезка.Теорема Лагранжа имеет простой геомеТРИ'iеский смысл.
Запиy=f(x)ушем формулу(25.2)в видеf(b) - f(a) =Г(с),Ь-аI: f(b) - f(a)где а<с<Ь. Отношение f(b)-f(a)Ь-аесть угловой коэффициент секущейсРис.Ь142хАВ, а веЛИ'iина г(с)-угловой коэффициент касательной к кривой вTO'iKe194с абсциссой х = с.Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков:на графике функции у= f(x)найдется точка С(с;f(c))(см. рис .142),в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.СЛЕ!Аствие25.1.Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.а ПустьО дляf'(x) =(а ; Ь) и пусть ХI<VxЕ (а; Ь). Возьмем произвольные Xl и Х2 изХ2.
Тогда по теореме Лагранжа 3с Е (Xl;X2) такая,f(X2) - f(Xl) = f'(C)(X2 - Xl). Но по условию f'(x) = О, стало быть,f'(c) = О , где Х1 < с < Х2 . Поэтому имеем f(X2) - f(Xl) = о , т. е .f(X2) = f(X1). А так как Х1 и Х2 - произвольные точки из интервала(а; Ь), то Vx Е (а; Ь) имеем f(x) = с.•чтоСЛЕ!Аствие25.2.Если две функции имеют равные производные нанекотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.=а Пусть !{(х) = л(х) при х Е (а;Ь). Тогда (Л(Х) - f2(X))'!{(х)- Л(х) = о. Следовательно, согласно следствию 25 .1, функция Л (х) - f2(X) есть постоянная, т. е. Л(х) - f2(X) = С для Vx Е (а;Ь).•Прu.мер 25.1. Доказать, что arcsinx+arccosxQРешение: Пустьf'(x) = Ьf(x)h= arcsinx +arccosx.Тогда= ~, где х ЕVxЕ(-1; 1)[-1; 1].имеем= о.
Отсюда следует, что f(x) = С, т. е.1- х 2arcsin х + arccosx = С. Положив х = о, нах?дим О + ~ = С, т. е. С = ~.1 - х2+Поэтому arcsin х + arccos хх= ~.Это равенство выполняется и при= ±1 (проверьте!).•Аналогично доказывается, что arctg х + arcctg х=~.Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теоремуЛагранжа к отрезку [х; хf(x+ ~x] (~x > о), будем иметь+ ~x) - f(x) = f'(c)~x.Каждое число с Е (х; х+~x) можно записать в виде с(25 .3)= х + ()~x,< () < 1 (действительно, х < с < х + ~x => О < с - х < ~x =>=> 0< С;;'хХ < 1; положим с;;.хх = () => с = x+()~x) .
Формула (25.3)где Опримет видгде Оf(x+ ~x) - f(x)= f'(x< () < 1.195+ ()~x)~x,Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства 6.у ~dy.Сделаем это, считая, что функция лх)имеет непрерывную вторую производную6.у- dy= и(х + 6.х) -f(x» -Г(Х)дХf"(x):= f'(c)flx -Г(Х)дХ == и'(с) - Г(х»дх = f"(cJ)(c - х)6.х,где Cl Е (х; С) (рис .Итак, 6.укак- dy143).= f"(Cl)(C -Ic-xl < 6.х; а f"(Cl)хсСlх)6.х. Пусть М~ М, то получаем оценку25.2.1f"(x)l. Такl6.y-dyl ~ MI6.xI 2 .тах[Х;Х+дх)x+!lxхо с!lxРис.=Рис.143хх144Правила ЛопиталяРассмотрим способ раскрыти~ неопределенностей вида8и ~, который основан на применении производных .Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностейВИАа8>.Пусть функции f(x) и <р(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки хо и обращаются в нуль в этой TO'fKe :f(xo)= <Р(хо) = о.существует пределПусть <р'(х)1"1т=j:.
О в окрестности точки хо " Еслиf;(x)() = l . то 1"1т ful() = 1·1т'() = l .ililХ'-+Хо <ро Применим к функциямХf(x)X-IXO <р ХX-IХо <рХи <р(х) теорему Коши для отрезка [хо; х],лежащего в окрестности точки хо" Тогда f (х - f хо = f; ((С», где С<р хлежит между хо и х (рис.получаемПри хстве(25.4)-+144).-Учитывая, чтоf(x)Г(С)<р(х)<р'(С)"<р хоf(xo)<р=С<Р(Хо)=О,(25.4)хо, величина С также стремится к хо; перейдем в равенк пределу:lim f(x)Х-+ХО <р(х)lim Г(с) .=C-IXO196<р'(С)Так как·Р(х)11т,( )x--txot.p1·1т fJEl П1·1т full= l ,то c--txot.p, ( ) =. оэтому x--txot.p () = .ХС•ХКоротко полученную формулу читают так: предел отношения двухбесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.За.ме'Ч.анu.я:1.Теорема25.4верна и в случае, когда функцииf(x)= ХО, но x--txoliт f(x) = О и lim <р(х) = о.x--txo= x--txolim f(x) = О и <р(хо) = liт <р(х) = о .x--txoи <р(х) не определены при хДостаточно положить2.Теорема25.4f(xo)справедлива и в том случае, когда хствительно, положив х= lim f(~) = lim и(~))' = lim f'(~)(--f.z:) =lim f(x)x--too<р(х)нО <p(~)з.
Если производныечто и функцииf(x)--+00 . Дей= 1,получимzнО (t.p(~))'f' (х)<р'(х)x--tooи <р' (х) удовлетворяют тем же условиям,и <р(х), теорему25.4 можно применить еще раз:liт f(x) = lim f'(x)x--txo <р(х)lim f'(x).z--tО t.p'(~)(--f.z:)x--txo <р'(х)=lim f"(x)x--t:to <р"(х)и т.д.Пример 25.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
