Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 32
Текст из файла (страница 32)
рис.161).изображаютсяназываетсяО1СомnхРис.х161ле1ССн.оi1. nЛОС1Состью. Ось абсцисс называется деi1.ствuтельн.оi1.ОСЬЮ, так как на ней лежат действительные числаz =х+ Oi=х.Ось ординат называется MHUMOi1. ОСЬЮ, на ней лежат чисто мнимыекомплексные числаz = 0+ iy.218~r=плексное числоIzl= х + iy можно задавать с ПОМОЩЬЮ радиус= (х; у). Длина вектора т, изображающего комКомп~ексное число zвектораОМz,называется модулем этого числа и обозначаетсяили Т. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором т, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначаетсяArg zили <р.~Аргумент комплексного числаплексного числаz#точностью до слагаемогогдеarg z -главноежутке (-п; 1Г), т. е.
-1Г-оz =О не определен . Аргумент ком-величина многозначная и определяется с2Jrk (k =зна-ч.енuе< arg zО,-1, 1, -2, 2 . . . ): Arg z = argz+2Jrk,аргумента,заключенное в проме~ 1г (иногда в качестве главного значенияаргумента берут величину, принадлежащую промежутку [О; 21Г)).27.3.Формы записи комплексных чиселЗапись числаzв видеz= х+ iy называют алгебраu-ч.есtcоt1 формои комплексного числа.~Модуль т и аргумент <р комплексного числа можно рассматриватькак полярные координаты вектора fплексное число zу= r sin <р.сать в виде= х + iy(см .
рис.161).= ОМ,Следовательно, комплексное число= r cos <р + ir sin <р илиz = r (cos <р + i sin <р) .zизображающего комТогда получае~ ххz =+ iy= r cos<p,можно запиТакая запись комплексного числа называется трuгонометрu-ч.есtcоt1формои.= Izl однозначно определяется по формулеr = Izl = vx2 + у2.lil = )02 + '12 = 1. Аргумент <р определяется из формул.= -, tg<p = ~.cos<p = -,rМодуль 1·Например,хуSш<ртхТак как<ртоcos<p= Arg z =, argz + 2kJr,= cos(argz + 2kJr) = cos(argz),sin<p= sin(argz).Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числаz,.219т.
е. считать <р= arg z .Так как .-п< argz ~ п, то из формулы tgif' =arctg У...удля внутренних точекх1, IVzз=izl=2хarg z =arctg У... + 7rХх-четвертей ,для внутренних точек11arctg У...11..получаем , чтохчетверти,ДЛЯ внутренних точек7r111четверти.Если точкаz лежит на действительной или мнимой оси, то arg z можно найти непосредственно(см .
рис. 162). Например, arg zl = О ДЛЯ z l = 2;argz2 = п. дЛЯ Z2 = -3; агg zз = . ~ для zз = i; иZ4=-8iРис .162argz4 = -~ ДЛЯ= -8i.Z4Используя фор,мулу ЭЙЛераI ei.p = cos if' + i sin <р, I~комплексное число z= r( cos if' + i sin <р) можно записать в такназываемой nо?СазаmеJtь'Ноf:t (или Э7ССnо'Не'Н'Цuаль'Ноi:t) фор.меz = rei.p, где r = Iz l -= argz + 2k7r (k =О,модуль комплексного числа, а угЬл if' = Arg z=-1, 1, -2, 2, ...
).в силу формулы Эйлера, фу'Н:к;'Цu.я ei.p nер'Uод'U'Чес'К:a.R с ОСНО6Н'ЫМ.nериодо,м 2п. Для записи комплексного числа z в показательной форме,достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е.считать if' ::arg z .Прu.мер27.1.Записать комплексные числа Zl= -l+iи z2=-1в тригонометрической и показательной формах .QРешение: Дляzl имеемIzl = r = J(-1)2 + 12 =../2,т. е. if' =3:.argz =arctg(~l) +п = -~ +п =3;,Поэтомугn (32Т-1+i=v2cos+isin 3Х)44гn · 3w=у2е'Т.Для z2 имеемr =J( -1)2 + 02 = 1,argzт.
е. if' = п. Поэтому -1 = cos 7r + i sin 7r =220= arg( -1) =ei7r .п,•§ 28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМI1ЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ28.1; Сложение комплексных чиселCYMMoi1 двух комплексных чисел= Хl + iYlZlИZ2= Х2 + iY2называется комплексное число, определяемое равенствомIZl+ Z2 = (Xl + Х2) + i(Yl + Y2)·1(28.1)Сложение комплексных чисел обладает nере.местuтельн"ЫМ(коммутативным) и co-четательнЪLМ (ассоциативным) свойствами:(ZlИЗ определения(28.1)Zl + Z2 = Z2 + Zl,+ Z2) + Zз = Zl + (Z2 + ZЗ ).следует, что геометрически комплексные числаскладываются как векторы (см. рис.163).Непосредственно из рисунка видно, чтоIZl+ Z21~IZll+ IZ21.ЭТОсоотношение называется н.еравен.сmво.м mреугол:ьн.шса.ууохРис .хРис .163164Вычитание комплексных чисел28.2.~оВычитание определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух комплексных чиселZlиZ2называется такое комплексное число Z, которое, будучи сложенным с Z2, дает числоZ= Zl -Z2, если ZЕслиполучитьZl =Хl+ Z2 = Zl.+ iYl, Z2 =Х2+ iY2, · тоZl,т. е.из этого определения легкоZ:(28.2)Из равенства (28.2 следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 164).Непосредственно из рисунка видно, чтотим, что~IZl - z21 ;;:: IZII-IZ21.Отме-IZl - z21J(Xl - Х2)2(Yl - У2)2 d,т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстояниюd=+=между точками, изображающими эти числа на плоскости.Поэтому, например, равенствоной плоскости множество точекточки Zo= 2i , т. е.
окружность сIz - 2il = 1 определяет на комплексz, находящихся на расстоянии 1 отцентром в Zo = 2i и радиусом 1.22128.3.~Умножение комплексных чиселПроизведением комплексных чисел 21Х1=+ iY1И 22=Х2+ iY2называется комплексное число, определяемое равенством1z= 21 z2 = (Х1 Х 2 - У1У2) + i(X1Y2 + Y1 x 2)·1(28.3)Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение(28.4)Действительно, i2= ii = (О + 1i)(0 + 1i)Благодаря соотношению(28.4)формулапутем перемножения двучленов Х1+ iY1= (О -(28.3)И Х21) + i(O + О) = -1.получается формально+ iY2:=(Х1 + iY1)(X2 + iY2) = XIX2 + X1 i Y2 + iY1X2 + iY1 i Y2= Х1Х2 + i 2Y1Y2 + i(X1Y2 + У1 Х 2) XIX2 - У1У2 + i(X1Y2 + У1 Х 2)'=Например,= - io + 8i + 15i - 12i2 = -10 + 23i + 12 = 2 + 23i.что 2Е = (Х + iy)(x - iy) = х + у2 - действительное число.(2 - 3i)( -5 + 4i)Заметим,2Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:2122(Z122)2321 (Z2= Z2Z1,=21(Z223),+ 23) = 2122 +21ZЗ·В этом легко убедиться, используя определение(28.3).=+Найдем произведение комплексных чисел 21Т1 (сos 'Р1i sin 'Р1)и Z2Т2 (cos 'Р2 + i sin 'Р2), заданных в тригонометрической, форме:=21 Z2 = Т1 (COS'Pl+ i sin 'Р1 )Т2 (cos 'Р2 + i sin 'Р2) =+ i sin 'Р1 cos 'Р2 + i cos 'Р1 sin 'Р2= Tl Т2 (cos 'Р1 cos 'Р2= Т1 Т2«cos 'Р1 cos 'Pi -- sin 'Р1 sin 'Р2) =sin 'Р1 sin 'Р2 ~ + i (sin 'Р1 cos 'Р2 + cos 'Р1 sin 'Р2))=='T1T2(COS('P1 + ' 'Р2) + isin('P1 + 'Р2)),Т.е.~I Z 1 Z2= TIT2(COS('P1+'P2)+isin('P1 +'P2)).1Мы показали, что при умно:нсении 7Сомnле7ССН'ЫХ 'ЧuсеJt ихмодули nеремно:нсаются, а аргументы С7СJtадываются.Это правило Распространяется на любое конечное число множителей.
В частности, если есть1Zn =~Формулаnмножителей и все они одинаковые, то(Т( cos 'Р + i sin 'Р))n = т n (cos n'Р + i sin n'Р) .1(28.5)называется ФОРМУJtоff. Муавра.Прuмер 28.1. Найти (1+ VЗi)9.222(28.5)а Решение: Запишем сначала числоZ= 1 + VЗi в тригонометрическойформе:r= j 1 + (V3)2 = 2;==> argzarg Z= arctg 1v3 ==>7г=3'Z= 2( cos•37г + Z•SlD37Г) .По формуле Муавра имеемZ9= (1 + V3i)9 = 29 (cos 9~ + i sin 9~)=228.4.~9(соs37Г +isiп37Г)= 29(-1) = -512 . •Деление комплексных чиселДеление определяется как действие, обратное умножению. ЧасmHЪL.М двух 7COMnJte7CCHЪtX 'ЧuсеJtZlи Z2f:.О называется комплексное число Z, которое, будучи умноженным на Z2, дает числот. е. ~Z2Zl,= Z, если Z2Z = Zl.Если положить Zl = Хl + iYl, Z2 :::::: Х2 + iY2равенства (Х2 + iY2)(X + iy) = Хl + iYl следуетf:.О, Z= Х + iy, то из{ ХХ2 + УУ2 == Yl·-ХУ2Xl,УХ 2Решая систему, найдем значения Х и у:Таким образом,На практике частное двух комплексных чисел находят путемумножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю «<избавляются от мнимости в знаменателе»).Прu.мер 28.2.
Выполнить деление 12 ~ ~i.а Решение:1 + 3i2+i(1 + 3i)(2 - i)(2+i)(2-i)2232 - i + 6i4+1+35 + 5i51 + i.•Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет видТ1 (cos ер1Т2 (COS ер2+ i"sin ер1)+ Z Slll )ер2Т1 ( (= - cos ер1 -<р2Т2)' . (+ Z Slllep1<р2-)).При дел,ении 7Со.мnл,е7ССНЫХ ",исел, их .модули, соответственно, де.л.ятся, а аргу.менты, соответственно, вы",итаются.28.5.Извлечение корнеи- из комплексных чиселИзвлечение корня n-й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.~Корне.мn-uстепени1.1.37Со.мnле7Сс?·юго ",исланазываетсяzкомплексное число W, удовлетворяющее равенству W'{IZ= W, если w n = Z.Если положить z= r(cos ер + i sin ер),а WNZ) т.
е.== p(cos () + i sin ()),то, поопределению корня и формуле Муавра, получаемz = w n = pn(cosn()Отсюда имеем рn() == т, n() =+ i sin n()) =ер + 2Jrk, kr(cos ер + i sin ер).= О, -1, 1, -2,2, ... То естьер + 2Jrk ир = О/Т (арифметический корень).nПоэтому равенство'{IZ =)Slll ер ='Vr (cos ер + Z"Wпринимает видnс(ep+2JrkV r cosn+ Z..Slll ep+2Jrk)n'k = 0,1, ... , n - 1.Получимnразличных значений корня.
При других значенияхk,в силупериодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, приwn=k=nимеем= vr ( cos ер +n21Гn + i sin ер +n21Гn) =vr (cos ( ; + 21Г) + i sin ( ; + 21Г )) = vr (cos ;+ i sin ; ) = Wo(kИтак, для любогоnz =1-О корень n-й степени из числаzимеет ровноразличных значений.При.мер 28.3. Найти значения а) И224= Wj б)А= О).= w.QРешение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: i = 1 (cos ~ + i sin ~).
Стало быть,3г.у2=• 7гVcos "27г + 2.SШ"2 =3r:1 (у 1 COS3/kПриk == 0,1,2.О имеем7гWoприt+ 27Гk .. t+ 27Гk )3+ z sш3'k = 17г..у'3.1= cos 6" + 2SШ 6" = ""2 + z2;имеемt + 27Г .. t + 27Г57Г. . 57ГWl = COS --3- + z sш --3- = cos (; + 2 SШ (; =приk = 2vГз. 1-""2 + z2;имеемW29".9".33""2.. ""2= cos+2SШ-37Г.. 37г.= cos- +zsш- = -2.22б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрическойформе:-1 = COS 7г + i sin 7г .ПоэтомуR=vcosJr+isinJr=cos1г+ 2Jrk2+isin1г+ 2Jrk2'k=O,l.При k = О получаем Wo = cos ~ + i sin ~ = i, а при k = 1 получаемWl = COS 3; + i sin 3; = -i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
