Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2 u+1 2+ 2)+ 2)(х-1)(х+2)= -37)- 1) - (х(х - l)(х3)3 - 2х + х21 + С (формула 14);1(4Х3-- х d(l - х)_5_cos 2 2х=х4-+ 3 1 - Х ) dx5-2=з1-41хЗ dx - ~х21cosd(2x) 2 2хtg2x - -1- + С (формулы 1,п32ЗЗ=1З) / х 3 . \/1 + х 2 dx =/(1 + х 2 )! d(l + х 2 )~/(1 + х ) k . х . (х + 1 - 1) dx =~ /(1 + x )k d(l + х 2 ) =222-З2'= 14З (1 + х 27) 3" - 8(1 + х ) 3" + с.Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изобретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой подынтегральной Функции».Соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений.30.2.МеТОА интегрирования ПОАстановкой(заменой переменной)Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой пере мен ной интегрирования (т. е.
подстановки). Пру! этом заданный интеграл при водится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильноопределить подстановку приобретается практикой.Пусть требуется вычислить интеграл / f(x) dx. Сделаем подстановку х= <p(t),где<p(t) -функция, имеющая непрерывную производную.Тогдаdx = <p'(t) dtи на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулуШtmегрuрова'Нu.я nодсmа'Нов'Х:о1J,1/ f(x) dx = / f(<p(t)) .
<p'(t) dt·1(ЗО.1 )Формула (ЗО.1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой частиэтого равенства следует перейти от новой переменной интегрированияtназад к переменной х.t = <р(х), то<р(х). Другими словами,Иногда целесообразно подбирать подстановку в видегда / f(<p(X)) . <р'(х) dx=/f(t) dt, где t=формулу (ЗО.1) можно при менять справа налево.Прu,м,ер 30.1. Найти / e t dx.QРешение: Положим х/= 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно,е t dx = 4 / et dt = 4е l + С = 4е t + с.234•f х· vx - 3dx.Прu.мер 30.2.
НайтиQ Решение: Пусть ,;х=-з = t, тогда х = t 2 + 3, dx = 2t dt. ПоэтомуJ x·Vx-3dх= J(t2+ 3).t.2tdt==2J2(t + зt ) dt =4J4t dt + 62f22t dt == 5(Х Прu.мер30.3.J3)5/2"5 + 6· "3 + с =+ 2(х -+ с.3)3/2•Получить формулуdu=lnlu+Ju2+a21+C.vu 2 + а 2о Обозначим t = vu 2 + а 2dt =t3t52·2и2vu 2 + а 2Отсюдаdu(подстановка Эйлера). Тогда+u+ dи,22dt = Vu t а + u dи.2vu + а 2т. е.dudtdtСтало быть,= J dt = ln Itl +duJ vu 2 + а 2tJх .
(х +Прu.мер 30.4. НайтиРешение: Пусть хQJ х . (х+ 2 = t.+ 2)100 dx = J=Прu.мер(t -Q Решение: Обозначим ·е ХdxJ2) .JНайтиtjJ.еХ + 1 = J t ~ 1 = J2)100Тогда хt 102tl 01102 - 2· 10130.5.с = ln lu +t 100 dt+С ==J(х-t 101 dt -+ 2)102102•2Имеем:J t 100 dt =2(х-+ 2)101101+ с.•dx--оеХ+1= t. Тогда х = ln t, dx = ~t. Следовательно,dtdtt(t + 1) = J t 2 + t =1)11 24с.dx.= t - 2, dx = dt.dtd(t +- J(t+_)2_- J(_)2_(t+_)2-Ju 2 + а 2 1 +2122121-lnl12+t+121 + С -----112·-2 2- t - -21=Здесь используется формула_lnl -t+ 11 lnl_t_1.t +t16==ln~ +с.+еХ1таблицы основных интегралов.1•30.3. Метод интегрирования по частямПусть U= и(х)производные. Тогдаи v = V(X) функции, имеющие непрерывныеd( uv) = U . dv + v . du. Интегрируя это равенство,получим/-d-(U-V-)-=-/-U-d-V-+-/-V-d-U--И-Л-И--/-U-d-V-=-U-V---/-·-V-d-u--'·I'1~Полученная формула называется фор,м,у.лоi1. интегрированияпо 'Частя,м,. Она дает возможность свести вычисление интегра-ла /Udv к вычислению интеграла / v du, который может оказатьсясущественно более простым, чем исходный.Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом ввиде произведения двух сомножителейuи(это, как правило, можdvно осуществить несколькими способами); затем, после нахожденияdu,иvиспользуется формула интегрирования по частям.
Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислятьметодом интегрирования по частям.1. Интегралы вида / P(x)e kx dx, / P(x)·sinkxdx, / P(x)coskxdx,где Р(х)многочлен,-число . Удобно положитьk-u= Р(х), а за dvобозначить все остальные сомножители.2.Интегралывида/ P(x)arcsinxdx,/ P(x)arccosxdx,/ P(x)lnxdx, / P(x)arctgxdx, / P(x)arcctgxdx.
Удобно положитьР(х)dx = dv, а за u обозначить остальные сомножители.3. Интегралы вида / е ах . sin Ьх dx, / е ах . cos Ьх dx, где а и Ь числа. За u можно принять функцию u = е ах .При,м,ер 30.6. Найти / (2х + 1)е 3Х dx.а Решение: Пустьположить С=_2X3~d1[ udv -ех::-,r=/2d~ ddU_v-ех_ 1-зе3х](можно= О). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:/ (2Х+1)е3Х dx ==(2х+ 1) · ~e3X - / ~еЗХ2 dx = ~(2х+l)еЗХ- ~e3X+C.3323639•ПР'/.Lм,ер 30.7. НайтиQРешение: ПустьJln х[dxРешение: Пустьdx.и = ln х===}du =dv = dx===}v == х . ln х -JхПрuм,ер 30.8. НайтиQJln х[Jх е'"2= х '" dиd2v=eх.1 dxх]х.Поэтому~ dx = х .
ln х - х + с.•dx.===}du = 2xdx ]===}v=~e~.ПоэтомуJх е'" dx х е'" 2 Jе'" . хДля вычисления интеграла Jе"'х снова применим метод интегриро====Jв'" х = х е'" Jе'" х е'" е'" + с.(30.3)Поэтому (см. (30.2» Jх е'"= х е'" 2(х· е'" - е'" + с).•Прuм,ер 30.9. Найти J22=dx.-(30.2)dxвания по частям: их,.е'"dvdx.2dx===}dudx =-2dxе"'. Значит,dx, v.--arctgxdx.QРешение: ПустьJarctg х dx[и = arctg х===}du =dv = dx===}v == х .
arctg х -Jх~ dxх11 + х 2 dx = х . arctg х - "2= xarctgx § 31.]1+х1"21n(1.ПоэтомуJd(l + х )1 + х22=+ х ) + с. •2ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХФУНКЦИЙ31.1.Понятия о рациональных функцияхМногочлен (некоторые сведения справочного характера)Функция видаРn(Х) = аох n~гдеn-+ alx n - 1 + ... + an-lХ + а n ,натуральное число, а;(i = 0,1, ... , n) -(31.1)постоянные коэффициенты, называется м,ного'Чл.еном, (или цел.оil рацuонал.ьноilфУН1Сцuеil). Числоnназывается степенью многочлена.237~Корнем многочлена(31.1)называется такое значение Хо (вообще говоря, комплексное) переменной Х, при котором многочленобращается в нуль, т. е. Рn(Хо)Теорема31.1.= о.Если Хl есть корень многочлена Рn(Х), то многочленделится без остатка на Х - Xl, т. е.Рn(Х) = (Хгде-многочлен степениPn-1(X) -Xl)·(31.2)Pn-1(X),(n - 1).Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.Теоремастепени31.2(n(основная теорема алгебры).
Всякий многочлен n-й> О)имеет по крайней мере один корень, действительныйили комплексный.Доказательство этой теоремы мы не приводим.Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители.Теорема31.3.Всякий многочлен Рn(Х) можно представить в виде(31.3)где Xl, Х2,. .. ,Х n -корни многочлена, ао-коэффициент многочлена при х n .QРассмотрим многочлен(31.1).По теореме31.2 онимеет корень. Обозначим его через Xl. Тогда имеет место соотношениеРn - 1 (Х)-(31.2).А так кактакже многочлен, то он имеет корень. Обозначим его черезХ2.
Тогда Рn - 1 (Х)= (X-Х2)'Рn - 2 (Х), где Рn - 2 (Х) - многочлен (n-2)-й= (Х - Xl)(X - X2)Pn - 2 (Х).степени. Следовательно, Рn(Х)Продолжая этот процесс, получим в итоге:~Множители (Х- Xi)в равенстве(31.3)•называются лuнеf1.н'bl.МUмно:нсumелямu.Прuмер 31.1. Разложить многочлен Рз(х) = Х З - 2х 2множители.238-Х+ 2 наРешение: Многочлен Рз(х) = х з - 2х 2х =х = 1, х = 2. Следовательно,QХ--1;х з - 2х 2Прu.мер 31.2.-Х+ 2 обращается в нуль при+ 2 = (х + 1)(х -•1)(х - 2).Представить выражение х з- х2+ 4х -4 в видепроизведения линейных множителей.Решение: Легко проверить, чтоQх з - х2Если в разложении многочленасяk•4 = (х - 1)(х - 2i)(x + 2i).+ 4х -(31.3)какой-либо корень встретилраз, то он называется '/\,ор'Н,е.м '/\,рат'Н,остuk.В случаеk= 1 (т. е.корень встретился один раз) корень называется nросты.м.Разложение многочлена(31.3)можно запи~ать в виде(31.4)Iесли корень хl имеет кратностьдалее.
При этомk1корень Х2 -k1 ,+ k2 + ... + kr = n,акратностьk2и такчисло различных корней.r-Например, разложениеРв(х)+ 1)(х -= (х - 3)(х4)(х-3)(х3)х(х--4)(х- 3)можно записать так:Рв(х)= (х -Пользуясь теоремой3)4. (х31.3,+ 1) . (х -4)2. х.можно доказать слеДУЮIЦИе утвержде-ния.31.4. Если многочлен Рn(х) = аох nТеорема+ alXn-1 + ... + а nтожд~ственно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.Теорема31.5.Если два многочлена тождественно равны друг другу,то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.Например, если ах 3с=О,+ Ьх + сх + d == х2d = 1.2393-3х 2+ 1, то а = 1, Ь = -3,Теорема 31.6. Если многочлен Рn(Х) С действительными коэффициентами имеет комплексный корень акорень а+ ib,то он имеет и сопряженный- ib.в разложении многочлена(31.3)комплексные корни входят .
сопряженными парами. Перемножив линейные множители(х-(а+ ib)) . (х -(а- ib)),получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентамих2+ рх + q. в(х - (асамом деле,+ ib))(x -(а -= (х где р= - 2а, q = а + Ь22+ ib) =+ ь = х + рх + q,ib)) = ((х - а) - ib)((x - а)а)22+ь2= х - 2ах+а222.Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленомс действительными коэффициентами.С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.Теорема31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е.
многочлен Рn(Х) можно представить ввидеРn(Х) = ао(х - Xl)k 1 (х - X2)k 2• ••(х - Xr )k r Х+ РI Х + ql)8 1 . .. (х + РтХ + qm)S~. (31.5)k 1 + k 2 + .. . + k r + 2(81 + 82 + ... + 8 т ) = n, все квадратныеХ (х 2При этом2трехчлены не имеют вещественных корней .Примеры разложен ий(31.5):1 = (х - l)(х + 1)(х 2 + 1);2- 16х = х(х - 16) = х(х - 4)(х + 4);5433) х - 6х + 9х - х 2 + 6х - 9 = х 3 (х 2 - 6х + 9) - (х 2 - 6х= (х 2 - 6х + 9)(Х 3 - 1) = (х - з)2 . (х - 1)(х 2 + х + 1).1) х 42) х 3-+ 9) =Дробно-рациональная функция~Дробно-раv,uонаJtЬНОUфУН'lCцuеu(илирацuонаJtЬНОUдробью) называется функция, равная отношению двух многочле-нов, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
