Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е.f(x)= ~:f~~, где Рт(х) - многочлен степени т, а Qn(x)многочлен степениn.240--§Рациональная дробь называется nравиJ/:Ы"ЮfL, если степень числи-. .-теля меньше степени знаменателя, т ет< n;в противном случае(если т ~ n) рациональная дробь называется неnравильноfL.~ Вся'/'Сую неnравильную рациональную дробь ~f~~ Mcr.нcнo,путем деления 'ЧислитеJtЯ на знаменатель, представитьв виде суммы много'ЧленадробиL(x)и nравиЛЬНОfL рационаЛЬНОfL!!:ы т. е .Q[X)'Р(х)Q(x)Например, ~~~~х=R(x)= L(x) + Q(x)"~X2+ 94;неправильная рациональная дробь .-Разделим числитель на знаменатель в столбик:х4-х 4 -2х 3+94х 2 -5х+92х 3 -4х 2-Получим частное L(x)вательно, х45х + 9х-2~x"3~+--2-x~2-+--4-x-+--3-5х2х 3-5х + 91 х - 24х 2 -8х3х+93х- 615 .= х + 2х + 4х + 3 и остаток R(x) = 15 . Следо=32х 3 + 2х 2 + 4х + 3 + .......1L.х-2Правильные рациональные дроби вида(1) .-L.х -а'(п) .
( А )k (k ~ 2, k Е N);х-а(III).~x+N (корни знаменателя комплексные, т. е. p2-4q<О); .х+px+q(IV). ( 2МХ + N )k (k ~ 2, корни знаменателя комплексные),х +px+q§где А, а, М,N,р,q -действительные числа, называются nростеfLшими рациональными дробями2411, 11, 111и lУ типов.ТеоремаВсякую nравuл'Ь'Ную рациональную дробь ~~~~. зна31.8.менатель которой разложен на множителиQ(x)= (х -Х1 )k 1 • (х -X2)k 2•••(х 2+ Р1Х + q1 )81•••(х 2+ Рт Х + qm)8 m,можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:Р(х)А1=Х-Q(x)А2A k1Х1 + (х - Х1)2 + ... + (х -+~+Х-Х2В2(х - Х2)2++. ..X1)k 1+B k2(х -X2)k 2+ ...С1 х + D 1С2 х + D 2C81 X + D 81... + х 2 + Р1Х + q1 + (х 2 + Р1Х + q1)2 + ...
+ (х 2 + Р1Х + q1)8 1 + ...м1 х + N 1м2 х + N 2м8т х + N... + Х 2 + РтХ + qm + (х 2 + РтХ + qm )2 + ... + (х 2 + РтХ + qm ) Вт ,8m(31.6)где А 1 • А 2 • ...• В 1 • В 2 • ...• С 1 •D1•...• М 1 •N1•... -некоторыедействительные коэффициенты.Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:1)2(хх +4х +132)_~+~+- 2)(х - 3)3 - Хх 2 (х 2+ 1)=:! +х-х2- 3(хС+- 3)2(хD.- 3)3 'в + Сх + Dх2х2+127х + 8х + 9= ~ + ~ + Сх + D +- 2)(х 2 + х + 1)2Х - 1х - 2х2 + Х + 13)(х -l)(хMx+N+ (х 2 + х + 1)2·Для нахождения неопределенных коэффициентов А 1 , А 2 , ... , В 1 ,В 2 , ...
в равенстве(31.6)можно применить .метод срав'Нива'Ния 'Х:оэффи'Цие'Нтов. Суть метода такова:1.люВ правой части равенстваQ(x);(31.6)приведем к общему знаменате-в результате получим тождество ~~~~=gt~), гдеS(x) -многочлен с неопределенными коэффициентами.2.Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. е.Р(х)== S(x).242(31.7)3.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по теореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7),получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициентыA1,А 2 , ••• ,B 1 , •.•2'Прu.мер 31.3.
Представить дробь (х _2~)(~23': 2х3+ 5) в виде суммы простейших дробей.а Решение: Согласно теореме2х23х --3~--~~--~--~(х- 1)( х 22х-имеем:31.8+ 5)АВх + С= ----+,х - 1х - 2х + 52т. е.2х 2 - 3х - 3(х1)(х-2-2хА(х 22х + 5) + (х - l)(Вх + С)-+ 5)(х1)(х 2 - 2х-+ 5)Отсюда следует2х 2-3х - 3 == Ах 2-2Ах + 5А + Вх 2Вх + Сх - С,-т. е.2х 2-3х - 3 == (А + В)х 2 + (-2А - В + С)х + (5А - С).Приравнивая коэффициенты при х 2 , x 1 , х О , получаем{2=А+В,-3= -2А-В+С,-3 = 5А - С.Решая систему, находим, что А= -1,В= 3,С22х - 3х - 3..,---..,...,...-:--------,- --1- +2(х-1)(х -2х+5) - х-1= -2.Следовательно,3х - 2•х 2 -2х+5'Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод отдел'Ьных зншч,енui1 аргумента: после получения тождества(31.7)аргументу х придают конкретные значения столько раз,сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо хзначения действительных корней многочленаПрu.мер 31·4·П редставитьQ(x)).3хдро б ь х(х _ 2)(х- 4+ 1)в виде суммыпростейших дробей.а3х-4-АВСРешение: Имеем: х(х _ 2)(х + 1) - х + х _ 2 + х + l'дует3х _4 ==А(х - 2)(х +1) +243Вх(х +1) +Сх(х -О2).тсюда сле-Положим х2= 6В,= о, тогда -4 = -2А, т.
е. А = 2; положим х = 2, тогда= i; положим х = -1, тогда -7 = зс, т. е. С = -~ .т. е.·ВСледовательно,3х- 42_7.+ _ 3.!. _ + __3_ .х - 2х +1---:-_----:--:--_-,- = _х(х31.2.2)(х-+ 1)х•Интегрирование простейших рациональныхдробейНайдем интегралы от простейших рациональных дробей .~ dx = J1. Jх-аd(x -интегралов);2.а) = A-ln 'х-аl +с (формула (2) таблицых-аА(х _ a)k dx - А·J (1»;.J(х - а)-k_d(x - а) - А .(x_a)-k+l_ k+1+С(формула3. Рассмотрим интеграл J = Jхt!x + N dx .+px+qВыделив в знаменателе полный квадрат, получим:J =Jмх + Ndx,2(x+~)2+q-T2причем q - т > о. Сделаем подстановку х+~= t.
Тогда х = t - ~ ,2dx = dt. Положим q - т = а 2 . Следовательно, используя формулы (2)и(15)Jтаблицы интегралов, получаем= J М.х + Nх2+ рх + qdx= J м (t 2- ~) + Nt + а2dt =-MJ~+(NMP)J~t2 + а22t2 + а2 --= -М2 ·ln(t2 + а2 ) + ( Nмр) 1t- . - arctg 2аа+ с,т. е., возвращаясь к переменной х,J =JхMx+NMN-!:!..J!.х+ Е222dx = -ln(x +px+q)+ й·arctg й+с.222+ рх + q2Прu.мер 31 .5. Найтиnq-'4Jх2Зх + 1dx.+ 2х + 10244nq-'4QРешение: х 2Тогда хJх2+ 2х + 103х + 1+ 2х + 10dx== (х + 1)2 + 9.
Сделаем подстановку х +1 = t.и= t - 1, dx = dtJ3(tt- +1)9+21 dtJ=3 ~2t + 9- 2 J~=t +92t32х+l= -2 ln(t 2 + 9) - 3- arctg - + с = -ln(x 2 + 2х + 10) - -3 arctg -3- + С.32"34.2Вычисление интеграла видаJ( 2М+px+qх + N )k dx,ХДанный интеграл подстановкой х+~k ~ 2, q -•~42 > О.= t сводится к сумме двухинтегралов:мJ(t 2t dt+ a2)k+(N -МР)2J(t2 +adt 2)k '2Р .a2 =q __4Первый интеграл легко вычисляется:J(t2 t+dta2)k = '12 J(t22+ а)-k22d(t + а )1= 2(1 _ k)(t2 + a2)k-l+ С.Вычислим второй интеграл :к последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положими = t,vdv=t dt(t 2 + a 2 )k 'du= dt,= '12 J(t 2 + а)2 -k d(t 2 + а2 ) = 2(1 _ k)(t21 + a2)k-l 'тогдаt2 dtJ(t 2 + a2)k = 2(1 - k)(tt2J1dt+ a2 )k-l - 2(1 - k)(t 2 + a2)k-l =t12(1 - k)(t 2 + a2 )k-l2(1 _ k) .
Jk-l'Подставляя найденный интеграл в равенство1Jk= а2 (Jk- 1 -t2(1- k)(t2(31.8),+ a2)k-l + 2(1245получаем1_ k) Jk-l),t)+ 2)k-l .т. е .Jk1 (2k - 3 Jk2k _ 2 - 1 + 2(k _ 1)(t2= а2aПолученная формула дает возможность найти интегралнатурального числаПрu.мер31.6.а Решение : Здесь аkJkдля любого> 1.= J(t2 ~ 1)3'Найти интеграл Jз= 1, k = 3.J1=JtТак К(lКdt2+ 1 = arctg t + С,тоJ 2 -2 · 2-3J(t2 dt+ 1)2 .,- 2·2- 2tJ1+ 2· (2 -1)(t2+ 1) =t13Jз = 4J2 +4(t2tt+ 1)2 = 4(t 2 + 1)2 += 2 arctgt + 2(t2 + 1)3(14 2 al'ctgt +2(t2t)++ С.1)+ С,•Интегрирование рациональных дробей31.3.Рассмотренный в пунктах31.1-31.2материал позволяет сформулировать общее правило и'н!mегрирован:u,я.
ршционалънЪtх дробей.~1.Если дробь неправильна, то представить· ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;2.Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;3.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейшихдробей.Пр'U.мер31.7.Найти интегралJх х ++2х2хt +4х -f;- 45З42x Zdx.а Решение : Под знаком интеграЛа неправильная дробь; вьщелим еецелую часть путем деления числителя на знаменатель:х5- х5+ 2х 3+ 2х 4 + 2х 3- 2х 4- - 2х 4+ 4х + 4х4Х-+ 2х 3 + 2х 22+ 4х + 4- 4.1;3 - 4х 24х 3+ 4х 2 + 4х + 4 (остаток) .246Получаем:х 5 + 2х 3 + 4х + 4-...,.----=------:-=42х+2х 3+2+Х -2х324х + 4х + 4х + 4---,------:----,-х4+2х 3+2х 2Разложим прав ильную рациональную дробь на простейшие дроби:4х 3 +4х 2 +4х+4х 4 + 2х 3 + 2х 2324х +4х +4х+4Cx+D---;:-:----;:------,--- -А + -В2 + ----;::---222х (х+ 2х + 2)- ххх+ 2х + 2'4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 == Ах(х 2 + 2х + '2) + в(х 2 + 2х + 2) + (Сх + D)x 2 ,т.
е.4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 == (А + С)х 3 + (2А + В + D)x 2 + (2А + 2В)х + 2В.Отсюда следует, что{А+С=4,2A+B+D = 4,2А + 2В = 4,=2В4.= 2, А = О, С = 4, D = 2. Стало быть,Находим: В324х + 4х + 4х + 424х + 2--,--------:----,-= '-+ --:---х4и5+2х 3+32х 2х + 2х + 4х + 4х 4 + 2х 3 + 2х 2х2=х _х2+2хх24х + 2 .+ 2х + 22+ ~ +х2+2Интегрируем полученное равенство:х5 + 2х + 4х + 4 dх4 + 2х3 + 2х2Х=3JJ(Х2-24х + 2 ) d+ х 2 + х 2 + 2х + 2 х =х2=2 Обозначим хJ(х+1=4х + 2 dx+ 1)2 + 1t,тогда х22х - :; +J (х 4х+ 1)2+ + 12= t - 1 и dx =dt. Таким образом,JJ- J~=+14t - 4 + 2 dt = 4 ~ 2t2 + 1t2 + 11= 4 . "2 ln(t 2 + 1) - 2 arctg t + С ==dx.= 2 ·ln(x 2 + 2х + 2) -t22arctg(x + 1) + С.Следовательно,х5J+2х 32++4х222 2 dx = -2 -2х--+21п(х 2 +2х+2)-2аrсtg(х+1)+С.4х43х+х+хх•Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.247§ 32.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХФУНКЦИЙ32.1.Универсальная тригонометрическая подстановкаРассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций.
Функцию с переменнымиsin хиcos х,над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание,умножение и деление) принято обозначатьR(sinx; cosx),гдеR -знакрациональной функции.~ Вычисление неопределенных интегралов типа! R(sinx; cosx) dxсводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg ~ =t,которая называется у'Н,uверса.л'b'l·ЮU.Действительно,х2.sш х == 2 arctg t, dx = 1 + t 2 dt.!где.R(sшх;соsх)R 1 (t) -2 tg ~2t- -1 + tg 2 ~ 1 + t 2 'cosx=1 - tg 2;t1 - t22 _ __1 + tg ~21 + t2 'Поэтому21 -- 2t )dx= ! R (2t--2; -l+tl+tрациональная функция отt.22.
--l+tdt= ! R 1 (t) dt,Обычно этот способ весьмагромоздкий, зато он всегда приводит к результату.На практике применяют и другие, более простые подстановки, взависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:1) если функция R(sinx;cosx) не'Четна относительно sinx, т. е.R(-sinx;cosx) = -R(sinx;cosx), то подстановка cosx = t рационализирует интеграл;2) если функция R(sin Х; cos х) не'Четна относительно cos х, т.
е.R(sinx; - cosx) = -R(sinx; cosx), то делается подстановка sinx = t;3) если функция R(sinx; cosx) 'Четна относительно sinx и cosxR( - sinx; - cosx) = R(sin Х; cosx), то интеграл рационализируется подстановкой tg х = t. Такая же подстановка применяется, если интегралимеет вид! R(tgx) dx.Прu.мер 32.1. Найти интеграл ! 3 + sшх. dx+ cosx .а Решение: Сделаем универсальную подстановку248t=tg~. Тогда dx=2 d t' ·SJll х = ~,2t= ~1+tl+t1 - t .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
