Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, А = i и А= -i.•Глава ~II. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛI Лекции 25-281§ 29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ29.1. Понятие неопределенного интегралав дифференциальномфУ'Н1С'U,ииf(x)исчислении решается задача:по дшн:н.оi1Hai1тu ее nРОUЗ60дную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: Hai1тu фУН1С'U,ию Р(х), знаяее nроиЗ60дную Р'(х)= f(x)(или дифференциал). Искомую функциюР(х) называют первообразной функции J(x) .Функция Р(х) называется nервообраз'Ноii. функции§f(x)на интервале (а; Ь), если для любого х Е (а; Ь) выполняется равенствоР'(х) =f(x)(илиdF(x) = f(x) dx).Например, первообразной функции у = х 2 , Х Е ~, является функцияР(х)з= ~ , так какР'(х) = (~)' = х 2 =f(x).Очевидно, что первообразными будут также любые функцииР(х)где Спостоянная, поскольку-хз= з+ с,•Р'(х) = (~З + с)' = х 2 =Теорема29.1.f(x)(х Е IR).Если функция Р(х) является первообразной функциина (а; Ь), то множество всех первообразных дляс, где С - постоянное число.f(x)формулой Р(х)о Функция Р(х)+=f(x)задается++Сявляется первообразнойJ(x).Действительно,=(Р(х)с)'Р'(х)f(x).Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от Р(х), первообразнаяфункции f(x), т.
е. Ф'(х)f(x). Тогда для любого х Е (а; Ь) имеем=(Ф(х)А это означаетгде С-- Р(х»' = Ф'(х) - Р'(х) = f(x) - f(x) = О .(см . следствие 25 .1), чтоФ(х) - Р(х) = с,постоянное число. Следовательно, Ф(х)226= Р(х) + С.•~М~ожество всех первообразных функцийF(x)+Сдляf(x) наf(x) изывается неоnределен:н:ы,м интеграло,м от фуюсцииобозначается символом / f(x) dx.Таким образом, по опреде.[Iению1/ f(x)dx = F(x) +c·1~Здесьf(x)называется nодъtнтегральноii. фуюсциеii.,nодъtнтегральнъt,м въtpa:нceHиe,м, хрования,/--f(x) dx -nepeMeHHoii. интегри-зна1СО,м неоnределенного интеграла.Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется u'Нmегрuровшн,uе-м этой функции.~Геометрически неопределенный интеграл представляет собой се-мейство «параллельных» кривых у= F(x)+С(каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см.рис.165).График каждой первообразной (кривой) называется интегральноii.
1CpueOii..у~y=F(X)+Cl~y=F(x)хо~y=F(X)+C2~у=F(х)+Сз~Рис.165Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?~Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывнаяна (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообразную», аследовательно, и неопределенный интеграл.29.2. Свойства неопределенного интегралаОтметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих изего определения.1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:d(/ f(x) dx)= f(x) dx,227(/ f(x) dx) I= f(x).о Действительно,d(/ f(x) dx) = d(F(x)+ С)и(/ f(x) dx)' =+ d(C)= dF(x)(Р(х) + С)'==Р'(х) dx = f(x) dx•Р'(х) + 0= f(x).Благодаря этому свойству nравuлъностъ интегрирования nроверяется дифференцированием.
Например, равенство/ (зх 2 + 4) dxверно, так как (х 32.+ 4х + С)'= Зх2= х 3 + 4х + С+ 4.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:/ dF(x) = Р(х) + С.О Действительно, / dF(x) = / Р'(х) dx = / f(x) dx = Р(х) + С.•з. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:/ af(x) dx = а· / f(x) dx,аi о - постоянная.О Действительно,/ af(x)dx = / aF'(x)dx = /(аР(х))' dx = / d(aF(x)) ==а·Р(х) +С1 =а· (Р(х) + ~1) =а(Р(х)+С) =а /(положили4.f(x)dx•%- = с).Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечногочисла непрерывных функций равен алгебраической сумме интеграловот слагаемых функций:/ и(х) ± g(x)) dxО Пусть Р'(х)=/f(x) dx ± / g(x) dx.= f(x) и С'(х) = g(x).
Тогда/и(х) ±g(x))dx = /(Р'(х) ±G'(x))dx == /(Р(х) ± С(х))' dx = / d(F(x) ± С(х)) = Р(х) ± С(х)= (Р(х) + С1 ) ± (С(х) + С2 )=/+С =f(x) dx ± / g(x) dx,•2285. (Инвариантность формулы интегрирования). Если j f(x) dx= F(x) + с,то и j f(u) du= F(u) + с,где u= <р(х)=произвольная-функция, имеющая непрерывную производную.О Пусть хнезависимая переменная,-непрерывная функцияf(x) -и F(x) - ее первообразная.
Тогда j f(x) dx = F(x) + с. Положим теперьu= <р(х),где <р(х)непрерывно-дифференцируемая функция.-Рассмотрим сложную функциюF(u)= F(<p(x)).В силу инвариантности формы первого дифференциала функции (см. с.188)имеемdF(u) = F'(u) du = f(u) du.Отсюда j f(u) du = j d(F(u)) = F(u) + с.•Таким образом, формула для неопределенного интеграла остаетсясправедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющейнепрерывную производную.Так, из формулыполучаемj х 2 dx = з3+ С путем замены х на и (и = <р(х))j и 2 du = з3 +с.
в частности,sin х+, С,j sш. хd(SiПХ) = -332ln 3 х2jln xd(lnx) = -3-+С,tg3 хПрu,м,ер 29.1.<)4 -2+х-5) dx.Решение:j(2х 4-зх 2 + х -5х= 2+ С1 5хРешение:3=2j5) dxхх 4 dx -3j23- + С2 + - + Сз - 5х + С43Прu,м,ер<)j tg2 х d(tg х) = -3- + с.Найти интеграл j (2х3х29.2.j2Найти интегралх: 1 dx =j (1jх 2 dx + j х dx 2= _х5X+1-х-5-х32-5х + С'•dx.+ ~) dx = х + ln Ixl + с.22912+ -,х5 j dx =•29.3.Та~nица основных неопределенных интеграловПользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путемобращения соответствующих формул дифференциального исчисления(таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенногоинтеграла.Например, так какd(sinu) = cosu· du,Jcosudu= Jd(sinu) =sinu+C.тоВывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основныхметодов интегрирования.Интегралы в приводимой ниже таблице называются mабли-ч,'Н'Ыми.Их следует знать наизусть .
В интегральном исчислении нет простыхи универсальных правил отыскания первообразных от элементарныхфункций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахожденияпервообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указаниюприемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования и может обозначать как независимую переменную, так ифункцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности фор~улы интегрирования).В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться,взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы .Докажем, например, справедливость формулы2.
Функция 1 опре.иделена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.Если и > О, то lп lul= ln и,тогда d ln lul= d ln и= du ПоэтомуиJd: = lп и + С = ln lul + С при и > О.Если и < О, то lnlul = ln(-u). Но dln(-u)Jd: = ln( -и) + С = ln lul + С при и < О .Итак, формула2-du-иверна.Аналогично, проверим формулу15:(-а1 arctg '!.:а + с)1d=1а1+(~)2230.~ du =аduа 2 +u 2du Значит,иТаблица основных интегралов1 . /uadu=~:~ +С2. /ci:::(af-1)(/du=U+C);'п lul + С;=з./аUdu= а " +С·'па4. /е " du'е " + С;== - cos u + С5. / sin u du6. / cos u du = sin u(/ sh u du= сЬ u + С) ;(/ сЬ u du = sh u ++СС) ;7. /tgudu= -lпlсоsul+С;8. / ctg u du9. /= 'п Isin ul + С;= tg u + Сducos 2 u(/ сьdu2 u = th u10. /~ = -сtgu+С11. /~иsшu12.
/ ~cosu= 'п Itg(1f2 + 1I.)4 I + С·'duVa2 - и 214./Vu 2 + а215. /а2du= arcsin 1f + С;а=lnlu+Ju 2 +a 2 1+C;du+ и2= 1а arctg 1fа + С;du= l2а . 'п Iаа +- uu I+ С;а2 _ и 217. / Ja 2-+ С) ;= 'п Itg 1f1+ С·2'13. /16. /(/ shdu2 u = _ cth uusш+ С) ;и 2 du = ~ . Ja 2 - и 2 + ~2 arcsin ~ + С;18. / Ju 2 ± а 2 du= ~ . Ju 2 ± а 2 ± ~2 ln lu + Ju 2 ± а21 + С.231§ 30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ30.1. Метод непосредетвенного интегрирования~Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-ждественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «nодведен.'U.Япод з-на1l: дuффере-н'Цuал.а»):du= d(u + а),1ачисло,-а =j:. Оdu = -d(au),-число,а12= -d(u),2cos u du = d(sin и),u .
dusinudu = -d(cosu),1- du = d(ln и),u1-2-Вообще,cos uг(и) du = d(J(u)),du = d(tgu).эта формула очень часто используется привычислении интегралов.Прu.мерu:J dx Jd(x + 3)J2)dx =:3J~3 =1)х+гралов);(3х ~ 1)х+324= ln Ix1+ 31 + с(3х - 1)24(формула 2 таблицы инте-d(3x - 1)- 1)25= :31 . (3х 25+С(формула 1);3)-f dx4)Jctg 2 х dx== - ctgx -JV4 dx-(формулаJ1 - . sin2sшхх dx =J.(1-.-2sш-1) dxхJ1 dx = -.-2sшхх + С (формулы 10 и 1);13х 22J3J·d(J3· х)V(2)2_(J3.X)213);2321_.J3. J3·Хаrсsш--2+С25).
1 sin 6xdx = ~ 1(1 - cos 12х) dx = ~ 1 dx - ~ 1 cos12xdx =111111= "2 Х -"2 cos 12xd(12x) . 12 = "2 Х - 24 sin 12х + С (формулы 1 и 6);1-~ 16)=dxх-1(х-1)(х+2)31(х+ ~13- _~+ 2)(х - l)(х-dx1 1 d(x + 2)1 1 d(x - 1)х+2 + 3х_ 1=1tgudu1формулы7);du8) 1 - sin u=1sinuducosu.Sl~ "2 usш "2 cos "2- InlCOSdu1=-1d(cosu)cosuCOS 2 :!! + sin 2 :!!22 du2 sin ~ cos ~=1dx -=dx= -з 1П Ix + 21 +1з 1п Ix - 11 + С;= -In 1cosul +Inltg.= In/Sin ~/2~ I + С (вывод11);9) 1 х(х + 2)9 dx=1(х + 2 - 2)(х + 2)9 dx= 1 (х + 2)10 dx -- 2 1 (х + 2)9 dx = 1 (х + 2)10 d(x + 2) - 2 1 (х + 2)9 d(x + 2)(х + 2)11(х + 2)10= 11 - 2 10 + С (формула 1)''10)41ctg14ctg х11) 1- 1з9,3);1S+Сdx= - 1 (ctgx)-s d(ctgx) = - ctg-4 х=4.х· sш2-х+С=(формула 1);dx- 1dx- 1d(x - 1)v3-2x+x 2 )2+(х-1)2 V(V2)2+(x-1)2= Inlx - 1 +12)С (выводCOS 2 :!!2du +2 sin ~ cos ~ctg ~ d(~2) + ltg ~ d(~)22 2=l~ I + С = In I:~: ; I + С =формулых +2,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
