Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Приведем еще примеры «неберущихея» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:/ е/х2,~Xx9 Конепехт nеКЩtдdx -интеграл Пуассона (теория вероятностей),интегральный логарифм (теория чисел),по высшей M8ТeM8Т1f1Ce. ПолныR курс:257Jcos х dx, Jsin х dx - интегралы Френеля (физика),JSi~X dx, Jсо;х dx - интегральные синус и косинус,J~ dx - интегральная показательная функция.22Первообразные от функции е- х2 , cos х 2 , -11 и других хорошо изпхучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений' аргумента х.Глава..,VIII., ОПРЕДЕЛЕННЫИI Лекции 29-33IИНТЕГРАЛ•§ 35. ОГIРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ= f(x)Пусть функция уопределена на отрезке [а ; Ь],а<Ь. Выполним следующие действия .1. С помощью точек Ха = а, Xl, Х2, .
.. , Х n = Ь (Ха < Хl < .. . < Х n )разобьем отрезок [а, Ь] на n ~асmu-ч'Н:ых оmреЗ'ICов [Ха; Xl]' [Xl; Х2], ..... . ,[Xn-l'Х n ] (см. рис. 166).С;1оl'1а=хо•хl1•1•1Х2••1•1•1Ь=Х nХ;Xi-lРис.Х1166=2. В каждом частичном отрезке [Xi-l; Xi], i1,2, ... , n выберемпроизвольную точку Ci Е [Xi-l; Xi] и вычислим значение функции вней, т. е. величину f(Ci).3.Умножим найденное значение функцииj(Ci)на длинуD.Xi= Х; - Xi-l соответствующего частичного отрезка: f(Ci) . D.xi·4.Составим суммуSn = f(Cl)D. XlSnвсех таких произведений :n+ f(C2)D. X2 + ...
+ f(cn)D.x n =L f(Ci)D.Xi '(35.1)i=1~Сумма видау= f(x)называется uнтегра.л:ьно1:t cYMMo1:t функции(35.1)на отрезке [а; Ь]. Обозначим через л длину наибольшего= тах D.Xiчастичного отрезка : л5.что л~(i = 1,2, ... , n).Найдем предел интегральной суммы-*(35.1),когдаn -*00 так,О.Если при этом интегральная суммаSnимеет предел1,который независит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то числоuнтеграло,м, от функции у1 называется оnределенн'bl.М= f(x) на отрезке [а ; Ь] и обозначаетсяьJf(x) dx. Таким образом ,аьnJf(x) dxа= n-tooIim'"'L.-J f(Ci)D.xi'(Л-+О) i=1259(35.2)~Числа а и Ь назьшаются соответственно нu;щ:нц.м и верхни,м,nредела,м,ифуюсциеtJ,интегрирования,f(x) dx -f(x)-noiJ'btHmezpaJtbHotJnодынтегральны.м.
выра:нсение,м" хMeHHotJ интегрирования, отрезок [а; Ь] --nереобластью (отрез7СО,м,)uнmегрuрованtLЯ.~Функция у = 1(х), для которой на отрезке [а; Ь] существует опредеьленный интегралJf(x) dx, называетсяUHmezpupyeMotJна этомаотрезке.Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.Теорема35.1(Коши). Если функция у= f(x)непрерывна на отрезьJ1(х) dx существует.ке [а; Ь]. то определенный интегралаОтметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное числоточек разрыва.у кажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения1.(35.2).Определенный интеграл не зависит от обозначения пере мен нойинтегрирования:ьььJf(x) dx = Jf(t) dt = Jf(z) dz.аааЭто следует из того, что интегральная суммано, и ее предел(35.2)(35.1),а следовательне зависят от того, какой буквой обозначаетсяаргумент данной функции.2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегриро-вания равен нулю:Jf(x)dxа=о.аь3.
Для любого действительного числа с:Jcdxа260= с· (Ь - а).§3б. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАПлощаАЬ криволинейной трапеции~Пусть на отрезке [а; Ь] задана непрерывная функция у =Фигура, ограниченная сверху графиком функции узу-осью Ох, сбоку-f(x) ~ О.= f(x),сни= а и Х = Ь, называется 7СривОJl.ипрямыми ХHev:Ho/j mраnецuе/j. Найдем площадь этой трапеции.у",,,,,,,,,,'Спо а=хо Хl Х2Х;Xi-lХn-lХь=х n167Рис.Для этого отрезок [а;Ь] точками а = ХО,Х1,""Ь = Х n (Хо <разобьем на n частичных отрезков [хо; Х1), [Х1; Х2)" .., [Х n -1; Х n ].
(см. рис. 167). В каждом частичном отрезке [Xi-1; Xi]< Х1 < ... < Х n )...(i = 1,2, ... , n)возьмем произвольную точку С; И вычислим значениефункции в ней, т. е.f(Ci),Умножим значением функцииf(Ci)на длинуD.Xi = Х; - Xi-1 соотf(Ci)' D.Xi равно пловысотой f(Ci). Сумма всехветствующего частичного отрезка. Произведениещади прямоугольника с основаниемD.Xiитаких произведенийni=lравна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площадиSкриволинейной трапеции:n;=1С уменьшением всех величинD.Xiточность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулыувеличиваются. Поэтому за точное значение площадиной трапеции принимается пределступенчатой фигурыл= тах D.x; -t О:Sn,когдаnS,Sкриволинейк которому стремится площадьнеограниченно возрастает так, чтоьто есть S= Jf(x) dx.аИтак, оnределенн:ы.tf. uнтеграл от неотрu'Цательноtf.
фуmс'Цu'U. ",исленно равен площади 1Сриволинеtf.ноtf. траnе'Ц'U.'U..В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.Работа переменной СИЛblПусть материальная точка л1 перемеLЦается под действием силы Р, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величинуF = F(x),где х-абсцисса движущейся точки Л1.Найдем работу А силы=F по перемеLЦению===точки л1 вдоль оси Ох< Ь).
Для этого. отрезок [а; Ь] точ< Xl <.... < Х n ) разобьем на nиз точки ха в точку хЬ (аками аХО, Xl, . .. , ЬХ n (Хочастичных отрезков [Ха; Xl]' [Х1; Х2], ... , [xn-l; Х n ]. Сила, деЙСТВУЮLЦаяна отрезке [Xi-l; Xi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка.6.Х;=Х; - Xi-1 достаточно мала, то силаFна этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной иF = F(x) в произвольно выбранной точке[Xi-l; xJ Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке[Xi-1; Xi], равна произведению F(Ci) ·.6.Xi. (Как работа постоянной силыF(Ci) на участке [Xi-1; Xi] .)равной значению функцииХ= С;ЕПриближенное значение работы А силыFна всем отрезке [а; Ь]естьnА ~ F(C1).6.X1+ F(C2).6.X2 + ..
. + F(c n ).6.x n =L(36.1)F(e;).6.xi.i=lЭто приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина.6.Xi. По(36.1)этому за точное значение работы А принимается предел суммыпри условии, что наибольшая длина л частичных отрезков стремитсяк нулю:А = limл-tОЬnL F(Ci).6.Xi = JF(x) dx.i=lаИтак, работа nepeMeHHotf. СUЛ'Ы Р, вели'Чuна 1COmOPOtf. есть неnрер'Ывна.яфУН1С'Ц1.L.Я FF(x), деtf.ствующеtf.
на отреЗ1Се [а; Ь], равна оnределенно=,м,у интегралу от вели'ЧШt'ЫСUЛЬt, взято,м,у по отрез,,"у [а; Ь].F(x)В этом состоит физический смысл определенного интеграла.Аналогично можно показать, что путьпромежуток времени отот скоростиtS,пройденный точкой за= а до t = Ь, равен определенному интегралуv(t):ЬIS= Jv(t)dt;амасса т Heoд~()pOДHOГO стержня на отрезке [а; Ь] равна определенномуьинтегралу от плотности ,(Х): т =J,(Х) dx .а262§37., ФОРМУЛА. НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦАПусть функция у =ТеоремаF(x) -f(x) интегрируема на отрезке [а; Ь].Если функция у37.1.= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и(F'(x) = f(x)), то имееткакая-либо ее первообразная на [а; Ь]место формулаьJf(x) dx = F(b) - F(a).(37.1)аQ Разобьем отрезок [а; Ь] точками а...
< х n ) на n частичных отрезковэто показано на рис.= хо, Х1, ... , Ь = х n168.СПIо1.а=хо< Х1 < ...(хо[XO;Xl]'[Xl;X2]'''''[X n -l;Х n ]' какI•х!I•I•IХ2•Xi-!Рис.I•I•1'.Х;хIЬ=Х n168Рассмотрим тождествоF(b) - F(a) = F(x n ) - F(xo) = (F(x n ) - F(X n-l))++ (F(X n-l) - F(X n-2))+ ... + (F(X2) - F(X1)) + (F(Xl) - F(xo)).Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа= f'(c) .
(Ь -f(b) - f(a)а).ПолучимF(b) - F(a) = F'(c n ) . (х n - Х n '-1)т. е.+ F'(Cn-l) . (Х n -1 -Х n -2)+ ...nni=1i=1nF(b) - F(a)=Lf(Ci)~Xi,(37.2)i=1где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-l; Xi), Так как функцияу = f(x) непрерывна на [а; Ь], тО она интегрируема на [а; Ь]. Поэтомусуществует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [а;Ь].Переходя в равенстве(37.2)чаемк пределу при л= тах ~X; -+ О, полу-nF(b) - F(a)= Нт L'x-tО263i=1f(Ci)~Xi,т. е.ьF(b) - F(a) =JJ(x) dx.•11~Равенство~называется фор.м.у'//'оiJ. Ньюmона-ЛеiJ.бнuца.(37.1).ьЕсли ввести обозначение F(b) - F(a) = F(x)ll1' то формулу Ныо-тона-Лейбница(37.1)можно переписать так:.ьJf(x) dx= F(x)I:·аФормула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.
Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функциифункциюF(x)f(x)на отрезке [а; Ь], надо найти ее первообразнуюи взять разностьF(b) - F(a)значений этой первообразной на концах отрезка [а; Ь].Например,Jх dx = ~ '~ = 9 - О = 9,332оа2Jdx-larctg~12-l(zr. - (_к))22 -2 - 2 444 + х2 --- zr.4 '-2Прu.м.ер 37.1. Вычислить интегралj )1 + ~os2xdx.оо Решение:г--;;-xdx = J" Icosxl dx =2 2х dx = J" vcosJ" / 1 + cos2оо"'2о= Jcosxdx + J(-cosx)dx = sinxlJ + (-siпх)I~= 1 + 1 ="о2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
