Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Здесь х изменяется от Оt изменяется от ~ до О (см. рис. 178). Находим:о~B= jоЬ sin t . (-а sin t) dt = -аЬ7Г/2j7Г/2281sin 2 t dt =J (1-cos2t)dt="2а (~tl o -"21.Таким образом, iS 1Г~b . Значит, S= 1ГаЬ.аЬ="2Ь",/2sш2t"Ь12)1Гао =4·о•=Полярные КООРАинатыНайдем площадь5~рu.во.л.u.неiJ:н.ого се7Стора, т. е.
плоской фигуры,ограниченной непрерывной линиейr.p= (3(а< (3),гдеrиr.p -r= Т( 'р)и двумя лучамиполярные координаты (см. рис.r.p = а и179). Длярешения задачи используем схемуII - .метод дu.ффере'Н:u,u.а.л.а.1. Будем считать часть искомой площади 5 как функцию угла /р,5 = 5(r.p) , где а ~ r.p ~ (3 (если r.p = а, то 5(а) = О, еслиr.p = (3, тот.
е.5((3)= 5).2.Если текущий полярный уголто приращение площади6.5r.pполучит приращение6.r.p= dr.p,равно площади «элементарного криволинейного сектора» ОАВ.Дифференциал6.5приdr.p --tdSпредставляет собой главную часть приращенияО И равен площади кругового сектора ОАС (на рисунке она заштрихована) радиусаdSrс центральным угломdr.p.Поэтому= ~T2 . dr.p.з. Интегрируя полученное равенство в пределах отr.p= а до r.p = (3,получим искомую площадьррРис.Прu.мерРис .17941.3.
Найти площадь фигуры,r = а cos Зr.p (см. рис. 180).пестковой розой»282180ограниченной «трехлеQРешение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «роЗЫ», т. е. ~ часть всей площади фигуры:,,/6,,/6J (acos3tp)2dtp;:::: ~a2 J ~(1+COS6tp)dtp;::::ооа21.,,/6а 2 7г7Га 2+ 6sш6tplо );:::: 4("6 +0);:::: 24',,/6;: : 4(tploт. е.7Га 21•7Га 2.68;:::: 24' Следовательно, 8;:::: Т·Если плоская фигура имеет «сложную»форму, то лучами, выходящими из полюса, ееследует разбить на криволинейные секторы, ккоторым применить полученную формулу длянахождения площади.
Так, для фигуры, изображенной на рисункеимеем:JT~ dtp - "2 Jri dtp - "2 JT~ dtp.l'8 ;:::: "2181,113l'а13аорРис.18141.3. Вычисление длины дуги плоской кривойПрямоугольные координатыПусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ,уравнение которой у ;::::~f(x),где а ~ х ~ Ь.Под д.л,uноt'i дуги АВ понимается предел, к которому стремитсядлина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньевломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.Покажем, что если функция уи ее производная у';:::: f(x);::::г(х)непрерывны на отрезке [а; Ь], то кривая АВ имеет длину, равнуюьl;::::JJ1+ и'(х))2 dx.(41.3)аПрименим схему1.1(метод сумм).Точками хо;::::а, Х1, •.• , Х Nотрезок [а; Ь] на n частей (см.
рис.ствуют точки Мо;::::;::::Ь (хо182).<Х1< ... <х n ) разобьемПусть этим точкам соответА, М 1 , ..• , Мn ;:::: В на кривой АВ. Проведем хордыМо М 1 ,ноM 1 M 2 , •.• , Мn - 1 Мn , длины которых обозначим соответственчерез 6.L!, 6.L 2 , ... , 6.L n . Получим ломаную M oM 1 M 2 ... Mn-1M n ,nдлина которой равнаLn;::::6.L 1 + 6.L 2 + ...
+ 6.L n;::::2:: 6.L i ·i=lуy=f(x)Мn -!ВМnохо=ах!Х2х;Рис.1826.L i можно найти по теореме6.Xi и 6.Yi:6.L i = J(6.Xi)2 + (6.Yi)2,где 6.Xi = Х; - Xi-l, 6.у; = j(Xi) - !(Xi-l). По теореме Лагранжа оконечном приращении функции 6.у; = f'(Ci) . 6.Xi, где С; Е (Xi-l; Xi).2.Длину хорды (или звена ломаной)Пифагора из треугольника с катетамиПоэтому6.L i = }(6.Xi)2+ (f1(Ci) . 6.Xi)2 = J1 + (f1(e;,))2 . 6.Xi,а длина всей ломаной мом! ... Мn равнаnn=LLn6.L i= L }1 + (f1(e;,))2i=l3.Длинаl(41.4).
6.Xi·i=lкривой АВ, по определению, равнаnl= тах limLn6.Li--tО=limтах 6.L i --tОL6.Li=li·Заметим, что при 6.Li~O также и 6.Xi~O (6.L i = J(6.Xi)2 + (6.Yi)2 и,сЛедовательно, I6.Xil <6.L i ). Функция }1 + (f1(x))2 непрерывна на отрезке [а; Ь], так как, по условию, непрерывна функция г(х). Следовательно,существуетпределинтегральнойсуммы(41.4),когдаmax6.xi~O:ьnl =limтахL6.li ~О .(n--too)>=1J1+ (f1(Ci))26.Xi = /}1 + (f1(x))2 dx.о.ЬТаким образом, l =ь=/J1+ (y~)2 dx.JJ1 + (f1(X))2 dx, или в сокращенной записио.о.284l=Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме{гдеx(t)и х(а)иХу= x(t),= y(t),а:::;t :::;{З,непрерывные функции с непрерывными производнымиy(t) -= а, х({З) = Ь, то длина l кривой АВ находится по формуле(:Jl=Формулах=J}(xl (t))2 + (yl(t))2 dt.(41 .5)(41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкойx(t), dx = xl(t) dt,Прu.мер41.4.г(х) = ~;~:~ .Найти длину окружности радиусаR.уQ Решение: Найдем ~ часть ее длины от точки(О;R) до точки (R; О) (см .
рис . 183). Так как у= .jR2 1"4 1 =х 2 , то=хх2Х1гJv1 + Ю _ х2 dx = R· arcsin Rlo = R· 2·R . /RоЗначит,l =21Г R. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х(О ~t= R cos t, У =Рис .183R sin t~ 21Г), то211"1=J }(-Rsint)2 + (Rcost)2dt=Rtl~11" = 2nR.•оВычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулуприменив схемуII(41.3),(метод диФФеренциала).1. Возьмем произвольное значение х Е [а; Ь] и рассмотрим переменl становится функцией от х, т. е.1 = l(x) (l(a) = О и l(b) = l).2. Находим дифференциал dl функции l = l(x) при изменении х намалую величину д.хdx: dl = l'(x) dx. Найдем l'(x), заменяя бесконечно малую дугуМ N""Хордой д.l, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):ный отрезок [а; х]. На нем величина=ll(X) = limд.lАх--+О д.х=limАх--+О}(д.х)2 + (д.у)2д.х= lim=,.-_ __у/1 +Ах--+О VСтало быть, dl= }1 + (y~)2 dx.285(д.д.х )2 = }1 + (y~)2.3.Интегрируя dl в пределах от а до Ь, получаем 1 =f )1 + Y~ь2dx.а~ Равенство dl = )1 + Y~ 2 dx называется формулой дифФеренциала дуги в прямоугольных координатах.Так,1:JL.= dx'как УХтоdl = J(dx)2+ (dy)2.Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника мет (см.
рис.185).у_N_----.Bу!::>.уоах+хРис.ххоаРис.184x+dxхх185Полярные КООРАинатыПусть кривая АВ задана уравнением в поляр-ных координатах(3. Предположим, что Т('Р) и Т'('Р)[0:; (3].Если в равенствах х = r cos 'Р, У = r sin 'Р, связывающих полярныеr =Т('Р), о: ~ 'Р ~непрерывны на отрезкеи декартовы координаты, параметром считать УГQЛ 'Р, то кривую АВможно задать параметрически{x~y~{Х = Т('Р) cos 'Р,.У = Т('Р) sш 'Р.Тогда= Т'('Р) cos'P - Т('Р) sin'P,= Т' ('Р) sin 'Р + Т( 'Р) cos 'Р.Поэтому)(X~)2 + (y~)2== .;г.-(Т-'-:-('P"""'")-c-os-'P---r--;-('P-')'-s-in-'P-):-::2-+---;-(Т-'(-:-'P"""'")-si-n-'P-+-r-:-('P-")-с-оS-'Р--:)'"""2 == v(r'('P))2 + (Т('Р))2.286Применяя формулу(41.5),получаем(3l=! Vr 2 + r,2 d/.{J.с>ПрuмерНайти длину кардиоиды41.5.а Решение: Кардиоидарисунке186.r =а(l+ COS/.{J)r =а(l+ COS/.{J).имеет вид, изображенный наОна симметрична относительно полярной оси.
Найдем половину длины кардиоиды:1.,...,..'2l=! V(a(1+COS/.{J))2+(a(-SiП/.{J))2 d/.{J=а! V2+2cos/.{Jd/.{J=о=ао!v.,...,..2 . 2 cos2~ d/.{J = 2а ! cos ~ d/.{J = 4а . sin ~ 1: = 4а.оТаким образом,!l = 4а. Значит, l = 8а.2аРис.41.4.о•РРис.186187Вычисление объема телаВычисление объема тела по известным площаАЯМ параллельныхсеченийПусть требуется найти объемVтела, причем известны площадиSсечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси,= S(x), а ~ х ~ Ь.например оси Ох: SПрименим схемуII (метод дифференциала).1. Через произвольную точку i Е [а; Ь] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см.
рис. 187). Обозначим через S(x) площадь287сечения тела этой плоскостью;S(X)считаем известной и непрерывноизменяющейся при изменении х . Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости п. Будем считать, что на отрезке [а; х]величина2.===v есть функция от Х, т. е. v v(x) (v(a)О, v(b)V).dV функции v v(x).
Он представляет=Находим дифференциалсобой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельнымиплоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и x+~x, который приближенно может быть принят за цилиндр с основаниемS(x) и высотойdx . Поэтому дифференциал объема dVS(x) dx.з. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пре=делах от а до Ь:ь=VJ(41.6)S(x)dx.аПолученная формула называется формулоt1.
обl5ема тела поплощади nараллельнЪtх се'Чениt1..2Пример 41.6. Найти объем эллипсоида ~аQ22+ '!f;b + ~с= 1.Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскостии на расстоянии х от нее (-а :::;; х :::;; а), получим эллипс (см.Oyzрис.188):у2z2r::--;2(Ьу 1 - ~)2+r::--;2(су 1 - ~)2= 1.Площадь этого эллипса равнаS(x)== 1ГЬс( 1 - ~). Поэтому, по формуле(41.6),Рис .188имеемV =аJ (1 - :2)1ГЬс42dx= З 1ГаЬс .•-аОбъем тела вращенияПусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, огра= f(x) ~ О, отрезком а :::;; х :::;; Ь и= а и х = Ь (см . рис . 189). Полученная от вращения фигураниченная неп:рерывной линией упрямыми хназывается тело,м. вращения.
Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох(х Е [а;Ь]), есть круг с радиусом уПрименяя формулу(41 .6)= f(x).Следовательно, S(x)= 1Гу2.объема тела по площади пара.ллельныхсечений, получаемьV'" = 1гJу2а288 -dx.(41.7)Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной= О, У = с, у = d (с < d), тообъем тела, образованноГо вращением этой трапеции вокруг оси Оу, поФункции. Х = <р(у) ~ о и прямыми ханалогии с формулой(41.7),равенdVy = 1г!x2(41.8)dy.сууy=f(x)охоРис.прu,м,ерРис.18941.7.<)190Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями урис.х= "'22, Х = О, У = 2У2 вокруг оси Оу (см.190).Решение: По формуле(41.8)= 1гVy2V2!находим:•2у dy = ny21~V2 = 81Г.О41.5.Вычисление площади поверхности вращения= f(x) ~ О, где= f'(x) непрерывныПусть кривая АВ является графиком функции ух Е [а ; Ь), а функция у= f(x)и ее производная у'на этом отрезке .Найдем площадьSповерхности, образованной вращением кривойII(метод диФФеренциала).АВ вокруг оси Ох.Применим схему1.Через произвольную точку х Е [а; Ь) проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох.
Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у= f(x) (см. рис. 191). Величина Sповерхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от Х, т. е.I О Конспект лекциАs = s(x) (s(a)по 8ысшеА M8ТeMantKe. ПоnныА курс289= О и s(b) =В).2.Дадим аргументу х приращение ~x= ШЕ. Через точку х+ dxЕЕ [а; Ь] также .проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функцияполучит приращение ~s, изображенного на рисунке в видеs = s(x)«пояска».Найдем дифференциал площадиуds,заменяя образованную между сечениями фивгуру усеченным конусом, образующая которого равна+ dy.и уdl,а радиусы основ~ший равны уПлощадь его боковой поверхностиpaBHads = Jr(y+y+dy)·dl = 2Jrydl+Jrdydl.Отбрасывая про изведениеdy dlкак бесконечно малую высшего порядка, чемds, поds = 27ГУ dl, или, так как dl == )1 + (y~)2 dx, то ds = 27ГУ)1 + (y~)2 dx.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
