Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл+00J f(x) dx расходится.а273Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке("':'00; Ь]:.ььJ f(x) dx=aE~ooJf(x) dx.а-00Несобственный интеграл с двумя бесконечуными пределами определяется формулой+00/:':':':-:':':':-:':':~-:'~.'.-'.'-.'.-.-.оf(x) dx =ЛХ) dx + //-00а+00с-00f(x) dx,схРис.где с171-произвольное число. В этом случаеинтеграл слева сходится лишь тогда, когдасходятся оба интеграла справа.
Отметим, что если непрерывная функ•+00ция f(x) ~ О на промежутке [а; +00) и интеграл /f(x) dx сходит-ася, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной тра-пеции (см. рис.Прu.м.ер171).Вычислить несобственные интегралы или устано-40.1.ОJ cosxdx; 3) J d:+00вить их расходимость: 1) /~; 2)00-00Ь+00а Решение: 1) /!§ =хlim /Ь-++оо1О/= --'lim11Ь-++оо Х1интеграл сходится;2)х- 2 dxЬ1= -(О -1)= 1,Оcosxdx=lim /cosxdxа-+-оо-00=lim sinxloа-+-ооа= 0-Нm sina,а-+-ооаинтеграл расходится, так как при а-+ -00пределlim sin ане сущеа-+-ооствует.ьJ dx = lim Jdx = lim ln Ь = 00, интеграл расходится.003)хЬ-+ооХЬ-+оо•1в некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.274Теорема40.1(признак сравнения).
Если на промежутке (а;непрерывные функцииf(x)иip(X)+00)f(x) ~удовлетворяют условию О ~J ip(X) dx сл~дует сходимостьинтеграла J f(x) dx, а из расходимости интеграла J f(x) dx следует расходимость интеграла J ip(x) dx.+00~ ip(x) , то из сходимости интегралаа+00+00аа+00аПрu.мер40.2.Сходится ли интегралJ 4..-х.00г\.Решение·• При х '1 имеем'O..J?11< -".х. Но интегралх2(l + 3"')--<Х.с.,<= 1100сходится. Следовательно, интегралJ X2(1d~ 3"') также сходится (и его1значение меньше1).•Теорема 40.2. Если существует предел lim ful = k, О· < k <"'-+00и(х) > О и ip(x) > О), то интегралы~00J f(x) dx и Jip(x) dx одновре00а00аменно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в·смысле сходимости).Прu.мер 4О.
3. Исследовать сходимость интегралаJ ln х+001+00QРешение: ИнтегралJ2ln х 2хх22+ 2 dx.+1+ 2 dx сходится, так как интеграл+1+00J ~ сходится и12limх-++ооI х +2nхщ =~limх-++оо1)1(n 1 +1 x2.+lх2275=limх-++оо1х 2 +1~= 1.•40.2. Интеграл от разрывной функции(несобственный интеграл 11 рода)Пусть функцияконечныйf(x)непрерывна на промежутке [а; Ь) и имеет бесразрыв при х=Ь.Если существует конечныйпределЬ-оJ f(x) dx, то его называют несобственнЪt.М интегралом второгорода и обозначают Jf(x) dx.lim0-+0аЬаТаким образом, по определению,ЬЬ-оJJ f(x) dx.f(x) dx = lim0-+0ааЕсли предел в правой части существует, то несобственный интеграль! f(x) dx сходится.
Если же указанный предел не существует или бесаЬконечен, тоговорят, что интеграл! f(x) dx расходится.ауАналогично, если функцияJ(x)терпит бесконечный разрыв в точкех=а, то полагаютЬ!ьf(x) dx = lim0-+0J J(x) dx.а............................. ..... .................... ..............- , ................... ....... .... ..... . - .. , - ..::::::::::::::: :::: ::::: ::::: :::~:: ::::::::::••0.0оЕсли функция••••••••••••••••••••••••0.0••••••••••а0.0.b-€Рис.f(x)терпит разрыв вовнутренней точке с отрезка [а; Ь], то несобственныйхинтегралвторогородаопределяется формулой172Ь! f(x) dxас=!аЬJ(x) dx+!J(x) dx.св этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.В случае, когдаf(x) >О, несобственный интеграл второго родаЬJf(x) dx (разрыв в точке х= Ь) можно истолковать геометрически какаплощадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см.
рис.1Прu,м,ер 40·4· ВычислитьJ;.О276172).Q Решение: При х == О функция у == А терпит бесконечный разрыв;.1/х/1.-dx2 == 11тхc---tООх-2dx =111( . -1) ==.-11т .c---tО Х 0+<:== - 1-11т.. ---t0 е00,0+<:интеграл расходится.•Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а; Ь) функциипрерывны, при х==f(x)и <р(х) неЬ терпят бесконечный разрыв и удовлетворяютьJ<р(х) dx вы-условию О ::::; f(x) ::::; <р(х). Изь сходимости интегралатекает сходимость интеграла / f(x) dx, а из расходимости интегралаь/ f(x) dxвытекает расходим~сть интегралааь/<р(х) dx.аТеорема 40.4.
Пусть функциижутке [а; Ь) и в точке х==f(x)и <р(х) непрерывны на промеЬ терпят разрыв. Если существует предел~ == k, О < k < 00, то интегралыx---tb <р\Х)limь/ f(x) dxиаь/<р(х) dx одноавременно сходятся или одновременно расходятся.1Прu.мер 40.5.
Сходится ли интеграл /~x ?sшхОQ Решение: Функция f(x) == _._1_ имеет на [О; 1] единственный разрывsшхв точке х == О. Рассмотрим функцию <р(х)1= 1. Интегралх1Jdx = limхdx = limlnxll =O-limlne/c---tООхc---tО<:<:---t00+ ..расходится . И так как.11т1то интегралf(x)-. )x---tО <р(хJ ~xsшх.х= x---tО11т - - == 1,sin хтакже расходится.О277•§ 41.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕГIРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА41.1.Схемы применения определенного интегралаПусть требуется найти значение какой-либо геометрической илифизической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.
д.), связанной с отрезком [а; Ь]изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точкойс Е (а; Ь) на части [а; с] и [с; Ь] значение величины А, соответствующеевсему отрезку [а; Ь], равно сумме ее значений, соответствующих [а ; с]и [с;Ь].Для нахождения этой величины А можно руководствоваться однойиз двух схем:1 схема(или метод интегральн:ых сумм) и11схема (илиметод дифференv,иала).Перва.я схема ·базируется на определении определенного интеграла.1.
Точкамихо= а, Xl, . . . ,Х n = Ь разбить отрезок [а; Ь] на n частей.В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на«элементарных слагаемых» дА ;...(i = 1, ... , n):А= дА l+дА 2n+ ...+дА n ·2.Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:дА i ~ !(Сi )ДХi.При нахождении приближенного значения дА ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можноприближенно считать постоянной и т.
д.Получим приближенное значение величины А в виде интегральнойсуммы :nА ~ !(Сl)ДХ1+ ... + !(Сn)дХ n = L!(Сi)ДХi.i=1З. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.ЬnА=lim '~"n-+оо(л-+о)f(е;)дХii=1= J!(Х) dx .аУказанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла х:а7С о су.м.ме беСICоне'Чно большого 'Чuсла беСICоне'Чно малuх слагаемы•.Схема1 былаприменена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла .278Вторая схема· представляет собой ' нескОЛЬКО видоизмененную схему 1 й называется «метод дифференциала»или «метод отбрасываниябесконечно малых высших порядков»:1)на отрезке [а; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х].
На этом отрезке величина А становится функцией х: А= А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины- один из параметровА есть неизвестная функция А(х), где х Е [а; Ь]величины А;находим главную часть приращения 6.А при изменении х на2)малую величину 6.хА= dx, т. е. находим дифференциал dA функции= А(х): dA = f(x) dx, где f(x), определяемая из условия задачи,функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);считая, что3)dA ;:::: 6.А при 6.х -+ О,dA в пределах от апутем интегрированиянаходим искомую величинудО Ь:ЬА(Ь) = А =!f(x) dx.аВычисление площадей плоских фигур41.2.Прямоугольные координатыКак уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс и(х) ~ О), равна соответствующему определенному ин-утегралу:ьь8=!f(x)dxили 8 =а!ydx.
(41.1)AsS(x)аФормула(41.1) получена путем при1 - метода сумм. Обосну(41.1), используя схему П.-=o+-...L.a---L---L..----L..-менения схемыем формулу:~;Б:х= а, х = Ь, У = О (см. рис. 173). Для нахожденияЬ хРис.173f(x)площади 8Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями ухx+dx=~ О,этойтрапеции проделаем следующие опеР,ации:ция1. Возьмем произвольное х Е [а; Ь] и будем считать, что 8 ~ 8(х).2.
Дадим аргументу х приращение 6.х = dx (х + 6.х Е [а; Ь]). Функ8 = 8(х) получит приращение 6.8, представляющее собой площадь«элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).Дифференциал площадипри 6.хниемdx-+d8есть главная часть приращения6.8О, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основаи высотой у:d8= у. dx.2793.= а до х = Ь,Интегрируя полученное равенство в пределах от хьполучаем S!у=dx.аОтметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже»оси Ох (f(х)< О),то ее площадь может быть найдена по формулеьSу=-!(41.2)ydx.аФормулы(41.1)иможно(41.2)объединить в одну:оаьРис.х174Площадь фигуры, ограниченнойкривыми у =мыми Х=аи х=Ь(при условии~ Л(Х»f2(X)fl(X)И У =(см.
рис.f2(X), пря174), можнонайти по формулеьS=ьь! f2(X)dx - ! !I(x)dx = !(f2(Х) - !I(x»dx.аааууd .:-.-:-:.:.:-..... .соасdРис.х=<р(у). .... ........... .........оь ХХРис.175176Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис.175),топрямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так,чтобы можно было бы применить уже известные формулы.Если криволинейная трапеция ограничена прямыми уосью Оу и непрерывной кривой х= с и у = d,= <р(у) ~ о (см. рис.
176), то ееdплощадь находится по формуле S =!хс280dy.И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена 'ICpueoi1, за-aaHHoi1' nара.м.еmрu'Ч.ес'К:ux(t),{ Х == y(t),упрямыми хаи х==t[]Е а; /З,Ь и осью Ох, то площадь ее находится по формулеS~ 1I у(') -X'(')d+где а и /З определяются из равенств х(а) = а и х(/з) = ь.ууьао3Рис.Прu.мерРис.17741.1.хх178Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох играфиком функции у = х 2 - 2х при х Е [О; З].QРешение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке177.Находим ее площадь В:23S = - j(x 2-2x)dxо= -+ j(x 2 -2x)dx=2Х31212 Х31313827 8823" о + х О + 3" 2 - х 2 = - 3" + 4+ 3" - 3" - 9+ 4= 3" = 23". •22Прu.мерпсом х41.2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной элли= acost, у = bsint.Q Решение: Найдем сначаладо а, следовательно,i площади В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
