Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 36
Текст из файла (страница 36)
С ледовательно,= ~1+t2cos хdx!2dt!! 3+sinx+cosx= (1+t )(3+ 1~~2 + ~+~~) = t2=d(t +! (t +1 )2'2t)t+ iarctg . r.;v7v 7/22=+"42+ с = vr.;7 . arctgr.;7Прu.мер 32.2. Найти интеграл 1 =Q! 1 +SJlld~2Х2dt+t+2 =1 + 2tg ~..fi7+ с. •.Решение: Так какR(-sinx;-cosx)то полагаемхtg х~= 1 + (1.)2- SJllX1 + SJll2= R(sin х; cos х),Х= t.
Отсюда= arctgt,dx=~21+tsin 2 хиtg х= --=---;;-1 + tg 2 Х2t2-1 + t2•Поэтому1-!dt(1 + t )(1 +21~2t2)=_! ~_2..! (V2t)2d(V2t) =2t + 1 - J2+ 1-211J2 arctg ../2t + С = J2 arctg( ../2 tg х) + с. •32.2. Интегралы типаf sinmх . cosn Х dxДля нахождения таких интегралов используются следующие приемы:1)подстановкаsinx= t, если n-целое положительное не'Ч.етноеподстановкаcos х= t, если т -целое положительное не'Ч.етноечисло;2)число;3) формулы понижения порядка: cos 2 х= !(1 += !(1 - cos 2х), sin х . cosx = ! sin 2х, если т и:n -cos2x), sin 2 х=целые неотри'Цательные 'Ч.етные числа;4)подстановкаtg х= t,если т+n-есть четное отрицательное!sin 4 х cos 5 х dx.целое число.Прu.мер 32.3.
Найти интеграл 1 =249Q=Решение : Применим подстановкуsin хь2 dt, СОБ х = vт-=t2 иТогда х= arcsin t,dx =1- tПрu.мер 32.4. Найти интеграл 1 =Q= t.1sin х СОБ х dx.24Решение :1~ sin2 2х· ~(1- СОБ2х) dx =2= ~ 1sin 2xdx - ~ 1sin 2xcos2xdx = ~ 1~(1- СОБ4х) dx-1 = l(sinxcosx)2 sin 2 xdx =2-~ Isin2 2xd(sin2x)16Прu.мер32.5.dx.Решение : Здесь т=dt1+t2"'sin х=~x - ~sin4x - ~siпЗ 2х + С. •1664·'48Найти интеграл/=1 cosx·Qdx=+ntsшз =lcos-lХ'SiП-ЗХdХ.х= -4. Обозначим tgxСОБ Х 1иv'l+t2'= t.
Тогда х =arctgt,- J 1 + t232.3. Использование тригонометрическихпреобрззовзнийИнтегралы типа1sinax· cosbxdx,1cosax · cosbxdx,1sin ах · sin Ьх dx вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:sin о: cos /3= ~ (sin( о: - /3) + sin(o: + (3)),2501cosa.cos{3 = 2" (cos(a. - {3)sina.sin{31= 2" (cos(a. -Пр'U.мер 32.6. Найти интегралQ+ cos(a. + {3)),+ {3)).{3) - cos(a.sin 8х cos 2х dx.[= /Решение:sin 8х cos 2х dx[= /=~/(sin10х + sin 6х) dx ==!2 (-~cos 10х - ! COS6X) + с. •106.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ§ 33.ФУНКЦИЙКвадратичные иррациональности33.1.Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациоHa.:rbHbIe функции.Интегралы типаdx/ Jax 2 + Ьхназывают+ с'/ Jax2неопределенными+ Ьх + cdx,интеграламиоттх+n/Jax2d+ Ьх + с хквадратичныхиррациональностеЙ.
Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат+ Ьх + с =Ь с)=а ( х +-х+ах 22ааЬ)=а ( ( х+2аи сделать подстановку х + 2ЬаС Ь )+--2а4а-Решение: Так как 4х 2 + 2х + 1 =[_/.-j4((x4ак сумме двух табличных интегралов.Пр'U.мер 33.1. Найти интегралыто2а4ас - ь )+----;;--222= t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третийQЬ)=а ( ( х+-22[= /4 (х2 +dx+ i)2 + 136)251J2dx+ 2х + 1.! х + i) = 4 ( (х + i)_!/-4х 2dxj(x+ i)2 +1362+ 136)'i = t, х = t - i, dx = dt. ТогдаСделаем под<;:тановку х +v х+Прu.мер 33.2. Найти интеграл 1 = !Q==4-2х6-=х2dx..=Решение: Так как 6 - 2х - х 2_(х 2 + 2х - 6)-((х + 1)2 - 7)7 - (х + 1)2, то подстановка имеет вид х + 1 t, хt - 1, dxdt.===Тогда1 - ! t - 1 + 4 dt _ !~--1!=- -+3!t dt~dt2 _12 d(7 - t 2 ) + 3(7 - t)2~ + 3 . arcsin _t_ + с == -ЛИнтегралы типа!пениn,!Jгдеv_~-3 arcsin!dt)(-./7)2 _ t2х+1ЛV6 -рn(х)dx, где Рn(Х)+ Ьх + сах 2можно вычислять, пользуясь формулойРn(Х)ах 2+ Ьх + сQn-l (х) -ентами, л./dx = Qn-l (х) .
уах 2•многочлен сте--!Jdxах 2+ Ьх + с'(33.1)многочлен степени-+ Ьх + с + л2х - х 2 + С.n - 1снеопределенными коэффицитакже неопределенный коэффициент.Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенстваРn(Х)J ах 2 + Ьх + с=(Qn_l(x)·Vax2+bx+c)/+ J ах2(33.1):л+ Ьх + с,после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.Прu.мерQ33.3.Найти интеграл 1 =Решение: По формуле1=! J1 - ~2х - х 2(33.1)!v1-х22х-х2dx.имеем:dx=(AX+B)Vl-2х-х2+Л.252! J1 - ~2х - х 2.ДифференцИруя это равенство, получаем:~2-2-2х~2 +(Ах+В).~:::::::::==::::;;::::А.)1-2х-х+,v'1-2x-x 22v'1-2x-x 2 v'1-2x-x 2т. е.х2:::А(l - 2х - х 2 ) + (Ах + В)( -1 - х) +~,2х ::: А - 2Ах - Ах 2 - Ах - В - Ах 2 - Вх+ ~.Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:1=-А - АО = - 2А - А - В{О = А - В+~Отсюда А =приx1 ,при х О •-!, В = ~, ~ = 2. Следовательно,I=(-~Х+~))1-2х-х2+2J2при х 2 ,2dx)2 - (х + 1)213)= ( -"2 Х=..
х+1+"2 Vl-2х-х2+2агсsш.,fi +с. •33.2. Дробно-линеиная подстановкаИнтегралы типае,JR (х,+ ь)аj(З , .... , (ах+ b)fJj'Y) dx, где а, Ь,сх + dсх + d( ахдействительные числа, а,d -/3, ... ,б, 'у -натуральные числа,сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановкиах + db= t k , гдеабсх+k -наименьшее общее кратное знаменателей дробей73, ··· , "1.Действительно, из подстановкииdx=следует, что х = ~et -аax++db =t kех-dktk-1(ct k - а) - (Ь - dtk)ckt k- 1(k)2dt, т. е.
х и dx выражаютсяct - ачерез рациональные функции отt. При этом и каждая степень дроби~: :~ выражается через рациональную функцию от t.Прuм.ер 33·4· Найти интеграл 1 =Jv(хdx+ 2)2 -JX+2.Х+2!Q Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей ~ иесть 6. Поэтому полагаем х + 2 = t 6 , х = t 6 - 2, dx = 6t 5 dt, t = Vx + 2.253Следовательно,.1=15=66t dtt4 - t3=61(t12=6t dtt- 1(t33.5.- 1) + 1 dt =t- 1?=+ 2 + 6· Vx + 2 + 61п 1Vx + 2 - 11 + с.•Указать подстановку ДЛЯ нахождения интегралов:1-1 V + 1y'X-1X12 -2у'Х _ х dx,11 =2+ 1+ t ~ 1) dt = зt 2 + 6t + 61n 1t - 11 += 3· \!хПрu.мер1Q Решение: Для 11 подстановка хdxХ--':1·(1-Х)2·= t 2 , для 12 подстановка х + 11 = t 3 .х-•ЗЗ.З. Тригонометрическая ПОАстановкаИнтегралы типа1R(x; )а 2x 2 )dx,-1R(x; )а 2+ x 2 )dx,1R(x; )х 2a2 )dx-приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих трuго'Н.о.метрu'Чес'К:их nодста'Н.ово'К:: х = а .
sin t для первого интеграла; х = а . tg t длявторого интеграла; х = ~ для третьего интеграла.sшПрu.мер33.6.Найти интегралQ Решение: Положим х1=t1=I ~ dx.~= 2 sin t, dx = 2 cos t dt, t = arcsin ~.- 4 sin t 24 cos t. cos t t = 1-- t =1)44sint4sin1dt = - ctg t- t += 1 .
sin dt = 1-.tt2d221-sш22=С )1 - sin 2 tctgt=--(sint2tdtdt-2- -sшх(Х)arcsin - - ctg arcsin 22)1-: (~)2 ==С -J4=X2).х2"254ТогдаХС =";4 - х 2arcsin - - - - 2х••33.4~ Интегралы типа! R(x; vax 2 + Ьх + с) dxЗдесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и Vax 2 + Ьх+ с.Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку х + 2Ьаинтегралы указанного типа= t,приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е.
к интеграламтипа / R(t; va 2 - t 2) dt, / R(t;va 2 + t 2) dt, / R(t; vt 2 - а 2 ) dt. Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.Q= dt.z= (х+1)2 -S;TO х+1 = t, х = t-1, dx=~dt. Положим t = ..::11-, dt = -4' cosz dz,tSШZsш zРешение: Так как х 2 +2х-4Поэтому 1 == arcsin1- /-/24. ТогдаJd-гz -(-V5) cosz d _1 /2 d _sin2 zz - - v5 cos z z-55,/5'~= __1_ .J5! /(1 + cos2z) dz = - J5 (z + ! sin 2z) + С =1022,v5 (агcsш. -tJ5 + "21.sш (2 агcsш. -tJ5)) + с == -10= -J5 (агсsш. -J5- + -21.sш (2 агсsш. -J5)- ) +с =-Ох+11__ J5 (-х+1.
J510 агсsш х+1 +3аме-ч,ание: Интеграл типа /дить С помощью подстановки х =33.5.J5 . vх + 2х 2хJt.(хdxах 2+ 1)2+ Ьх + с4) +.С•целесообразно нахо-Интегрирование дифференциального биномаИнтегралы типа / х т . (а + Ьхn)Р dx (называемые интегралами отдифференциального бинома), где а, Ьр--действительные числа; т,n,рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А . , лишь в255случае, когда хотя бы одно из чисел р, m...±..l или m + 1.nn+ р являетсяцелым.Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:1) если р -целое число, то подстановка х =шее общее кратное знаменателей дробей2) если mmt k , где k -наименьи п;+ 1 - целое число, то подстановка а + ьх n = t s , где s -nзнаменатель дроби р;3) если m + 1 + р nгдецелое число, то подстановка а + ьх ns - знаменатель дроби р.Во всех остальных случаях интегралы типа= хn .
tJхт(а + Ьхn)Р8,dxне выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не берутся».Прu.мер 33.8. Найти интеграл 1 =QJ VVX+.jX1dx:Решение: Так как!.,= i, р = т: 1 = 2. Поэтому делаем подстановкуvx + 1 = t , х = (tЗ - 1)4, dx = 4(t3 - 1)3 . 3t2 dt, t = V vx + 1.
Такимто m=-~, nЗобразом,§ 34.«БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ»ИНТЕГРАЛЫКак уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегдавыбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом . Многое зависит от знания рекомендуемых многихискусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности.
Например,J~можно найти, не используя рекоcosхtg хмендуемую подстановку~/cos6 Х='/ (cos хcos+ sin х)2 dx =226Х1( cos=/= t, а применив искусственный прием:--2хtg 2 хtg 4 х )+ 2cos--2- + --2cosххdx= tgx + -з2 tg 3 Х + -51 tg5 х + с.Вряд ли стоит вычислять интегралЗх2/ х(х 2+ 4х + 1 dx+ 2х + 1) ,разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:+ 4х + 1Зх 2 + 4х + 1АВ=--;------:-:-;;-= - + -- +2х(х+1)2хх+1х(х + 2х + 1)Зх 2С(х+ 1)2.Заметив, что числитель Зх 2 + 4х + 1 является производной знаменателях(х 2 + 2х + 1)х 3 + 2х 2 + х, легко получить:=2Зх2 + 4х + 1 dх = / d(x + 2х + х)2323/ х(х+ 2х + 1)х+ 2х + х= 1n Iх 3'+ 2х 2 +х I + с.На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно частовстречающихся интегралов.
В частности, «Таб.(IИЦЫ неопределенныхинтегралоВ» М . л. Смолянского.Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаяхвычислить неопределенный интеграл, т. е. нafiти первообразную функцию для подынтегральной функции.Как известно, вся~ая непрерывная фун~'Цuя 'tI.Мeeт nеРбообразную.В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функцииf(x) является также элементарной функцией, говорят, что / f(x) dx«берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции(или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается черезэлементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или«его найти нельзя»).Так,' например, нельзя взять интеграл /vx .cos х dx, так как несуществует элементарной функции, производная от которой была быравнаvx cosх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
