Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Обычно это точкиразрыва второго рода.Например, кривая урис. 157) х = -1, так как=Lх+ 1limимеет вертикальную асимптоту (см.x-+-l+О Х+2 1 = +00,limx-+-l-OХ+2 1 = -00.Уравнение н,а1СЛОн,н,оiJ. асимптоты будем искать в видеуНайдемkи Ь.= kx+ Ь.(25.5)ууу=Лх)-1хоРис.Пусть М(х; у)хРис.157произвольная точка кривой-По формуле расстояния от точки· до прямойнаходим расстояние от точки М до прямойУсловиеd-+158y=j(x)(d =(см. рис.158).1АХ,;:2B;OB~ с 1)(25.5): d =1k#-!т.Ь 1·k2 + 1О будет выполняться лишь тогда, когда числительдроби стремится к нулю, т.
е.lim(kx-у+Ь)=О.(25.6)X~OOОтсюда следует, чтоа-+О при х-+kx -+ьу= а, где а = а(х) бесконечно малая:= ь + kx - а на х и00. Разделив обе части равенства уперейдя к пределу при х-+lim~00, получаем:= limX~OO ХТак как Q -+ о их.Q.хX~OO(~ + k - ~) .ХХ-+ О, то(25.7)Из условия(25.6)находим Ь:Iь =}~ (у -(25.8)kx)·1Итак, если существует наклонная асимптота унаходятся по формулам(25.7)и= kx+ Ь,тоkи Ь(25.8).Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы(25.7)и(25.8),то прямая(25.5)является наклонной асимптотой.Если хотя бы один из пределовили равен бесконечности, то кривая уимеет.210(25.7)= j(x)или(25.8)не существуетнаклонной асимптоты неВ частности, еслиk= О, то Ь =нение гОРUЗО1imаЛЬ1iОiJ.
acv..м.nmomы.lim Лх) . Поэтому iJХ-/ООЗа.ме'Ч,а1iuе : Асимптоты графика функции у-00и х -tи(25.7)= f(x) при хурав-+00--7могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов(25.8)--7и когда х=ь -Прu.мер+00следует отдельно рассматривать случай, когда х --7-00.25.13.Найти асимптоты графика функции у= хеХ•Ха Решение: Так как lim хе = lim е Х = +00, то график функцииХ-/+ООхХ-/ +00при х -+ +00 наклонной асимптоты не имеет.-00При х --7справедливы соотношенияkь=lim(хе Х Ох) =х-/-оо-=х-/-ооlimх-/-ооСледовательно, при х --7ухеlim -Х=Хх'е Х =lim е = О,Хх-/-ооlimх-/-оо е~ = [00]00 =Хlim _1_х-/-оо -е- Х= О.-00 график имеет горизонтальную асимптоту=0.•25.8.
Общая схема исследования функции и построенияграфикаИсследование функции у= f(x)целесообразно вести в определенной последовательности.1.2.Найти область определения функции.Найти (если это можно) точки пересе.чения графика с осямикоординат.3.Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, накоторых4.f(x) >О илиf(x) < О).Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общеговида.5.6.7.8.Найти асимптоты графика функции.Найти интервалы монотонности функции .Найти экстремумы функции .Найти интервалы выпуклости и точки пере гиб а графика функции.На основании проведенноro исследования построить график функции.
Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например1, 2, 7.Если же график функции не совсем211понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно дополнительно исСледовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции .Прu,м,ер 25.14. Исследовать функцию у = ~ и построить ееl-хграфик.а Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схемы исследования.1.
Функция не определена при х = 1 их = -1. Область ее опреде(-00; -1), (-1; 1), (1; +(0) , а графикления состоит из трех интервалов_из трех ветвей.2.Если х= О, то у = О. График пересекает ось Оу в точке 0(0; О);= О, то х = О . График пересекает ось Ох в точке 0(0; О).3. Функция знакоположительна (у > О) в интервалах (-00; -1)1); знакоотрицательна - в (-1; О) и (1; +(0).4. Функция у = ~ является нечетной, т.
к.если у(О;и1-ху( -х)= 1--х(-хх)2= --1- 2 =-х-у(х).Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х ~ О.5.Прямые х= 1 и х = -1 являются ее вертикальными асимптота-ми. Выясним наличие наклонной асимптоты:k(k1~x21- = О= х-+оо1· - = l' - Хх-+оо 1 - х1т1т= О при х -+ .+00 и при х -+ -(0),.Ь = 11т (--2 - Ох) =х-+оо 1 - хх2.11тх--2х-+оо 1 - х= О.Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение уПрямая6.1i = Оявляется асимптотой и при хи при х= О.-+ -00.Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так каку'= (_Х_)' = 1(1- х1 - х2то у'-+ .+00 ,>Ов2)- х(-2х) =(1 - х 2 )22х +1 ,(1 - х 2 )2области определения, и функция является возрастающей накаждом интервале области определения.7.Исследуем функцию на экстремум.
Так как у' = (lX~ ~2\2 ' токритическими точками являются точки Хl= 1 и Х2= -1(у' не существует), но они не принадлежат области определения функции . Функция экстремумов не имеет.2128.уИсследуем функцию на выпуклость. Находим у":"= (х 2 + 1 )'= 2х(1- х 2 )2(1 - х 2 )2(х 2 + 1)2(1- х 2 )(-2х)(1 - х 2 )4-2= 2х(х + 3).(1 - х 2 )3уху=-l-х 2хy'~O-1Рис.= О,1ОхРис.159160Вторая производная равна нулю или не существует в точках XlХ2= -1, хз = 1.На рисунке159=представлена схема изменениязнаков второй производной исследуемой функции.Точка0(0,0) -точка перегиба графика функции.График выпуклый вверх на интервалах ( -1; О) и (1; (0); выпуклыйвниз на интервалах(-00; -1)и (О;1).График функции изображен на рисунке•160.§ 26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРАВ определении функции у= f(x) не говорится о том, при помощикаких средств находятся значения у по значениям Х.
В тех случаях,когда функция является формулой вида у=5 - 5х + 7, значениязфункции найти легко с помощью четырех арифметических действий.Но как наЙти значения, например, функций у= sin х,у= ln(l + х)прилюбых (допустимых) значениях аргумента?Для того, чтобы вычислить значения данной функции уее заменяют многочленом Рn(х) степениn,= f(x),значения которого всегда илегко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функциюмногочленом дает формула Тейлора.·21326.1.Формула Тейлора ДЛЯ многочленаПусть функцияf(x)есть многочлен Рn(Х) степениЛх) = Рn(Х) = ао2+ alX + а2х + ... + аnхn:n.Преобразуем этот многочлен также в многочлен степенино разности Х-Ха, где ха-nотносительпроизвольное число, т. е.
представим Рn(Х)В виде(26.1)Для нахождения коэффициентов А а ,раз равенствоP~(x)= А1+ 2А 2 (х -Р:;(х) = 2А 2Р:;'(х) =A 1 , ... , А nпродифференцируемn(26.1):Ха)+ 2· 3А з (х -2· 3А з+ 3А з (х Ха)+ ... + nАn(х - Xa)n-l,+ ... + n(n -1)А n (х -+ 2·3· 4А 4 (х -. . . + n(n -ха)2Ха)ха)n-2,+ ...1)(n - 2)А n (х - ха)n-з,p~n)(x) = n(n - 1)(n - 2) ... 2· 1А n .Подставляя Х= Ха в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:Рn(Ха)= Аа ,= Рn(Ха),т.
е. А аА _ P~(xa)т. е.Ат. е.A 1 , ... , А n'_ Р:;(Ха)212 -=т. е. АзПодставляя найденные значения А а ,111 -'Р:;'(Ха)31'в равенство(26.1),лучим разложение многочлена n-й степени Рn(Х) по степеням (ХP~(Xa)( ) =Рn(Ха ) +-1-1-(х-ха)+РnХР:;(Ха)21(Х-Ха)...
+2142p~n)(xa)In.-поХа):+ ...(Х-Ха)n. (26.2)\§Формула(26.2)н'азывается ' формулоiJ. ТеiJ.лора д.ля .м:ногочле-на"рn(х) степениn,= -4х + 3х3Пример 26.1. Разложить многочлен Р(х)по степеням х+ 1.Р"'(х)P III (-I)-2х+1= -1, Р'(х) = -12х + 6х - 2, Р"(х) = -24х + 6,Поэтому Р( -1)10, Р'( -1) = -20, Р"( -1) = 30,2Решение: Здесь хоQ2= -24.= -24. Следовательно ,Р(х)-2030-24= 10 + -1-(Х + 1) + 2!(Х + 1)2 + т!(х + 1)3,т. е.-4х 3+ зх2-2х+ 1 = 10 -20(х+ 1) + 15(х + 1)2 -4(х+ 1)3.•26.2.
Формула Тейлора АЛЯ произвольной функцииРассмотрим функцию у= f(x) . Формула Тейлора поз.воляет,определенных условиях , приближенно представить функциюf(x)прив виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.Теорема 26.1. Если функцияf(x)определена в некоторой окрестности точки хо и имеет в ней производные до(n+l)-го порядкавключительно, то для любого х из этой окрестности найдется точкае Е (хо; х) такая, что справедлива формулаf(x)f'(XO}= J(xo) + -,-(х1... . +хо)Формулаf(x).хо)2+ ..
.f(n)(xo)n f(n+l)(c)n+l,(х - хо) + ()'(х - хо)n.n+ 1 .(е§f"(xo)+ -2-'. -(х -(26.3)= хо + В(х -хо), О< В < 1). (26.3)называется формулоiJ. ТеiJ..лора для фун?Сцииf(x)= рn(х) + Rn(x) ,+ ... +f(n) (хо)n, (х-хо)n.Эту формулу можно записать в видегдег(хо). f'(xo)Pn (x)=f(x o )+--,-(х-х О )+-2-'-(х-х о )1.§.2называется многочленом ТеiJ.лора, аRn(х)=f(n+l)(e).(n+1)!215(х-хо)n+l~называется осmаmочны.м. 'Члено.м формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа.равенстваf(x)есть погрешность приближенногоRr,(x)~ Рn(Х). Таким образом, формула Тейлора дает воз= f(x)можность заменить функцию умногочленом у= Рn(Х)С соответствующей степенью точности, равной значению остаточного членаRn(x).§При хо= О получаем частный случай формулы Тейлора -фор.мулу Ма7Слорена:Лх)= f(O)+ 1'(0) х+ f"(O) х2 +1!2!где с находится между О и х (с...+ f(n) (О) хn + f(n+l) (с) x n+1 (264)n!(n+ 1)!'.= Ох, О < О < 1).= j(XO) += f'(c)(x-XO), т.
е. совпадает с формулойПри n = О формула Тейлора (26.3) имеет вид f(x)или+ f'(c)(x-xo)f(x)- f(xo)Лагранжа конечных приращениЙ. Рассмотренная ранее формула дляприближенных вычисленийf(x)~ лхо)+ f'(xo)(x-хо) (см. «дифференциал функциИ») является частным случаем более точной формулыf(x)~Прu.мерf(xo) +26.2.f'(xo)-,-(х1.хо)-+ ... +f(n) (хо),n.Найти число е с точностью до(х-хо)n.0,001.f(x)=e x . Находим производные этой функции: f'(x)=e , f"(x)=e , ••• , f(n+l)(x)==е Х • Так как ЛО)=е О =l, f'(O)=e o=l, ... , f(n)(O)=l, f(n+l)(c)=e c, топо формуле (26.4) имеем:хх2х3хnecx n+ 1Xe =1+-1)'·(.
+ . . .+n., +n+.1.'+-2'.+-3'Положим х = 1:1111ее = 1 + -1'. + -2'.+.3' + ... + In. + (n+.1)'·Для нахождения е с точностью 0,001 определим n из условия, чтоостаточный член (n ~ 1)! меньше 0,001. Так как О < с < 1, то ее < 3.Поэтому при n = 6 имееме37! < 5040 = 0,0006 < 0,001.QРешение: Запишем формулу Маклоренадля функцииXXССИтак, получаем приближенное равенствое ~,12!13!14!'15!16!1 + 1 + - + - + - + -+ 2 + 0,52,718.~т.
е. е ~~+ 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181~2,718,•216Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых другихэлементарных функций:sinx=х -х3зтх2cosx = 1- 2тх5+ 5т х4х3. cosc,х 2n + 2х 2n+ 4т -: ... + (_1)n (2n)! + (_l)nН (2n + 2)!х2In(lх 2n + 3х 2n + 1... + (_1)n (2n + 1)! + (_1)n+l (2n + 3)!хn. cosc,хn+ 1+ х) = х -"2 +"3 + ... + (_1)n-l-;;:- + (_1)n (n + 1)(1 + с)n+l'J.t( l+х )=1+мх+М(М-+м(м- 1)I2.1) ... (М- n)(1(n + 1)!х2+ ...
++ c)J.t-n-lм(м- 1) ... (м - n,n.nНх.+ 1) nх+ГлаваVI.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАI Лекции 23-241§ 27.ПОНЯТИЕ И ГIРЕДСТ4ВЛЕНИЯКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ27.1. Основные понятия~Комnле1ССН:Ы,м; 'ЧUСЛОМгде х и у-zназывается выражение видадействительные числа, аz = x+iy,так называемая мнuмаяi -единица, i 2 = -1.~Если хесли у= О, то число О+ iy= iy называется 'Чuсто мн.им'ЫМ;= О, то число х + iO = х отождествляется с действительнымчислом х, а это означает, что множествовсех действительных чиселJRявляется подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е.JRCc.~Число х называется деi1.ствuтельноi1.
'Частью комплексногочислауzи обозначается х= Rez, а у -= Imz.~Два комплексных числаравными(Zl = Z2)+ iYlZl = хlИх=у =Z2 = Х2+ iY2z,называютсятогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: хl= х + iyкомплексное число zMHUMOi1. 'Частью= Х2, Уl = У2. В частности,равно нулю тогда и только тогда, когдаО. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел невводятся.~Два комплексных числахz =+ iyиz= х - iy, отличающиесялишь знаком мнимой части, называются соnр.я:нсеннымu.27.2. Геометрическое изображение комплексных чиселВсякое комплексное число z= х + iyуможно изобразить точкой М(х; у) плоскостиОху такой, что х= Rez, у = Imz. И, намуоборот, каждую точку М(х; у) координатнойплоскости можно рассматривать как образкомплексного числа z~Плоскость,комплексныена= х+ iyкоторойчисла,(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
