Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е.arcctgx =7г'2 -arctgx.Дифференцируя это равенство, находим(arcctgx)' =(~ -arctgx)' = -(arctgx)' = -1:х2 'т. е. (arcctgx)' = -~.l+хПр'U.мер 20.8. Найти производные функций: 1) y=arccosx 2 j 2) у==x·arctgxj 3) у=(1+5х-Зх 3 )4 j 4) y=arccosJXj 5) y=log~(3+2-X).а Решение: 1) (arccosx 2 )' = -1/1 -(х 2 )2. (х 2 )'2х= - ~;41- х2) (х· arctgx)' = х'· arctgx + Х· (arctgx)' = arctgx + ~;l+хЗа.м.е'Ча'Н.uе: Найдем производную степенной функции убым показателем а Е= ха С люВ этом случае функция рассматривается дляlIt> о.хМожно записать ха =ea -1n Х.
ПО правилу дифференцированиясложной функции находим-,(ха)'1хаХХ= (e a -1nx ), = ea -1nx . (а ·lnx)' = а· ea -1nx . - = а· - = а. x a- 1 ,т. е. (ха)'= а . x a- 1 .Формула остается справедливой и для х< о,если функция у= хасуществует:при всех хf:.о.ПримерНоказать, что функция у = 22 + ~ +С удовлетворяет уравнению х . у' + 1 = х .20.9.3Q4Решение: Находим у':Ут. е. у'=х -1 ( )-3= 2 . 2х + 2·-2 х + о,,1~.
Подставляем значение у' в данное уравнение:"-хх 3 . (х -:3) + 1 = х 4 ,т. е. х 4 -1+1=х 4 , О = о.•Функция удовлетворяет данному уравнению.20.7.Гиперболические функции и их проиэводныев математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гunерболu'Чес'Кuе фу'Н.'К'Цuu, определяемые следующими формулами:~хsh х = е -2 еchx=ех-хi е-hth х = ~ch х-гиперболический синус;-гиперболический косинус «<цепная линия»);хх-ХХХ= ее +- ееи cth хский тангенс и котангенс, где еНа рисунках132-135-h=~sh хх-х= еХе+е-е Х-гиперболиче-неперово число.показаны графики гиперболических функций.Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости:175хоРис .Рис.132х133у1оРис.Рис.134х135ch Х - sh Х = 1;sh(x ± у) = shx· chy ± chx· shYjch(x ± у) = chx· chy ± shx· shYj- th х ± th у .t h( х ± у ) - 1 ± th х . th у ,22sh 2х= 2 sh х . ch Х;Всеэтиформулыch 2х= ch2 х + sh 2 х.вытекаютизопределениягиперболическихфункций.Например,сh 2 Х-Бh2х=е(х + е -х21)2 -= _(е 2Х4(хе -е-х )22+ 2 + е- 2х176=- е 2х+ 2-14е- 2х ) = - ·4= 1.Геометрическая интерпретация гиперболических ФУНКЦИЙ(см.рис .
137) аналогична интерпретации тригонометрических ФУНКЦИЙ (см.рис.136).у1ВХРис .Параметрические136.уравненияХ=Хcos tиУ== sin t определяют окружностьх + у2 = 1, причем ОА = сов t,2АМ= sintРис . .137. Параметрические уравненияХ= сЬ tболу х 2АМи У-= sht= вЬ t определяют гипер= 1, причем ОА = ch t,у2Найдем производные гиперболических ФУНКЦИЙ:(е -2 е- )' = е + е- =chx,T.e.2Ж + -ж)'ж-ж= (е 2 е= е -; е= shx, т.
е.Ж(shx)'=(chx)'ЖЖЖI(shx)'=chx;(chx)' = shx;h x )' = (shx)'chx-;shx(chx)'(thx)' = (schх=~, т. е. (thx)'chхсЬх2ch x-sh 2 x~x= ~h1;сх(сthх),=(ш)'=Sh х-сhх=_ 12 ,T.e.(cthx),=- 12 .22sh хshx20.8.2sh хsh хТаблица произвоДных,Выведенные правила дифференцирования, формулы производныхосновных элементарных функций запишем в виде таблицы.На практике чаще всего приходится находить производные отсложных фУНКЦИЙ.Поэтому в приведенной ниже таблице формулдифференцирования аргумент «х»заменен на промежуточный аргумент «и».Правила дифференцирования1.2.= и' ± v';(и ± v)'(и· v)' =u'v + uv',в частности , (си)' = С · и';1773. (У.)' = u'v -2 uv' в частности (~)' = _cv'.', vv.vVТ'4. y~ = y~ .
и~, если у = f(u), и = Ч/(Х)j5. y~ =если у = f(x) их = Ч/(у).J-"уХФормулы дифференцирования1. (с)'= О;= а· и"'-l . и' " в частности (), = а ·lna· и', в частности, (е2. (и"')'fu" = _1_. и" ,2Vиу "')ии3. (а и)' = е и , и';4. (log и)' = _1_ . и' в частности (ln и)' = 1 . и"аи ·lna',и'5. (sinu)' = cosu·u'j6.· (cosu)' = -siПU'U'j7. (tgu)' =1 . и';8. (ctgu)' = - .12 . и';cos 2 иsm и9. (arcsinu)'=1.и'; 10.(arccosu)'=1·и';~~11. (arctgu)' = ~ . и';12. (arcctgu)' = -~ .
и';13. (shu)' = chu· и';15. (thu)' = ~ ·и';ch и14. (chu)' = shu· и';16. (cthu)' =·и'.sh иl+иl+и-+Для вычисления про из водных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.Прu,м,ер 20.10. Найти производную функции у=х4-3х 3 + 2х - 1.а Решение:у'= (х4-3х 3+ 2х - 1)' = (х 4 )' -=4х3(зх 3 )'3- 3(х )'+ (2х)' - (1)' =+ 2(х)' -0= 4х 3 - 9х 2+ 2.•Надо стараться обходиться без лишних записей.Прu,м,ер20.11.Найти производную функции у = t2gxX .3а Решение:у333,(2Х= __ )' = 2. (x )'.tgx-x .(tgx)'tg Х(tg х)2= 2.3X2·tgx-x3.~cos Х • • •(tg х)2Производная найдена.
В процессе решения использованы правила2,3и формулы2,7.Прu,м,ер 20.12. Найти производную функции у = cos(ln1 2 2х).178Q Решение : Коротко: у' = -sin(ln 12 2х) . 121n 11 2х· 21 ·2..хРешение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: у =cos и, и = t 12 , t = lп z, z = 2х. П роизводную= y~ . и~ . t~ . z~ (здесь промесложной функции найдем по правилу y~жуточных аргументов три):, = - sm·22,и .11 .1t 1. _.ухzт. е .. t 12 .
12 . (1 n z )11 . 2х·1 2,= - smух,т. е .y~т. е.Окончательно§ 21.= - sin(ln z)12 . 12 ·ln l l z .2:.,хy~= - sin(ln 12 2х) . 12 ·ln l12х · 2:..y~= -12· sin(ln 12 2х) ·ln ll2х · 2:..х•хДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ21.1.Неявно заданная функцияЕсли функция задана уравнением у= f(x),разрешенным относительно у, то функция задшн,а в .явном виде (явная функция).~Под неявним заданием функции понимают задание функции ввиде уравненияF(x; у)= О,не разрешенного относительно у.= f (х) можно записать= О, но не наоборот.Всякую явно заданную функцию унеявно заданную уравнениемf(x) -укакНе всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у~+ 2х + cosy - 1 =О или 2 У - ХЕсли неявная функция задана уравнениемF(x; у) =+у =О).О, то для нахо-ждения производной от У по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у : достаточно продифференцировать этоуравнение по х, рассматривая при этом у 7Са7С фУН7Сцию х,и полученное затем уравнение разрешить относител:ьно у'.Производная неявной функции выражается через аргумент х ифункцию у.Примернием х з+ уЗ21.1.
Найти- 3ху = О.производную функции у, заданную уравне179QРешение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен+ уЗ -ство х 33ху = о. Из полученного соотношениязх 2следует, что у2 у '21.2.+ 3 . у2 . у' -3(1 . у+ х . у') = оух2_•- ху' = у - х 2 , т. е. у' = ~.у-хФункция, заданная параметрическиПусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравненийx(t),{ Х = y(t),(21.1)=Угдеt-вспомогательная переменная, называемая параметром.Найдем производную y~, считая, что функцииводные и что функция х= x(t)имеет обратнуюt(21.1)имеют произ= ip(x).По правилудифференцирования обратной функцииt~Функцию уми(21.1),t = ip(x).= f(x),~.x=(21.2)tопределяемую параметрическими уравненияможно рассматривать как сложную функцию у= y(t),гдеПо правилу дифференцирования сложной функции имеем: y~==y~ .
t~.С учетом равенства,ух(21.2),получаем1xt= Yt· l 'т. е.,ухy~= 1·xtПолученная формула позволяет находить производную y~отфункции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.Прu.мер 21.2. Пусть {х = t2 , Найти y~.3уQРешение: Имеем x~Ух_ 2'= t .зt 2 , y~= 2t.Следовательно, y~т.е.•3t·-2t3?'в этом м,ОЖНО убедиться, найдя непосредственно зависимость уот х.Действительно, t =V'X.Тогда у =_ 2У-3t·180VX2.Отсюда y~ = 3Vx, т. е.§ 22.ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕВ ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сн.а'Ч.ала nрологарифмироват'Ь.
А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифми'Ч.еС'ICим дифференцированием.Пpu.мер22.1.Найти производную функции(х 2у=1)3 . е'"+ 2) · V(x (х + 5)3а Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий .
Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:lny= ln(x 2 + 2) + ~ ln(x -1)+ х - Зlп(х + 5) .Дифференцируем это равенство по х:1,1- .у = - . 2х2у+2х341+ - . - - + 1 - 3·х -11--о+5хВыражаем у':,(2Х33 )у = у х 2 + 2 + 4(х - 1) + 1 - х + 5 'т. е.3'= (х 2 + 2)· V(x - 1)3 . е'" . (~ +у(х + 5)3х 2 + 2 4(х ~3_).
•+ 1 __х+51)Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая cmeneHHO-nОJCазаmе.ll.ЬНая фУНJCЦUЯ уиv= v(x) -=uV,где и= и(х)заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции:ln у= v . ln и,-1 . у " = v .
ln и + v . -1. и,,==}у==}У,==}и= У ( v , . ln и + v . ;,1 . и ') ,т. е.,Vу,=иили1(и V )'(,1nи+v · ;,1v·· и') ,= и V ·ln и · v' + v· и v - 1 . 11.' . 1181(22.1)Сформулир:уем правило запоминания формулы(22.1):производная степенно-показательноt! функции равна сумме производноt! показательноt! функции, при условии· ифункции, при условии= const,и производноt! степенноt!v = const.Прu.м.ер 22.2. Наt!ти производную функции у = (sin 2х)х +1.2QРешение: Пользуясь формулоt!получаем:(22.1),у' = (sin2xy2+1 ·lnsin2x· 2х + (х 2Отметим, что запоминать формулу+ 1)(sin2x)X(22.1)2.
cos2x· 2.•необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.§ 23.23.1.ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСUJИХ ПОРЯДКОВПроизводные высших порядков явно заданнойфункцииПроизводная у'= г(х)функции у= f(x)есть также функция отх и называется nроизвод7iОiJ. первого nор.яihcа.Если функция г(х) дифференцируема, то ее производная называ-ется nроизвод7iОiJ. второго·nор.яд'К:а и обозначается у" (илиf"(x),f!x,А.(~) ~). Итак ' у" = (у')'.dxdx'dxПроизводная от производноt! второго порядка, если она существу-ет, называется nроизвод7iОiJ. третьего nор.яihcа и обозначается ylll .( илиflll(x),~:~,... ).Итак, ylll = (у")'.Производноt! n-го порядка (или n-й производноt!) называется производная от производноt!(n - 1)порядка:Производные порядка выше первого называются nроизвод7iы,мивысших nор.яд'К:ов.Начиная с производноt! четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у v или у(5) -производная пятого порядка).Прu.м.ер23.1.Наt!ти производную 13-го порядка функции у= sinx.182=Q .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
