Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е.-Е<'Р(х)-А<Е,а в другойIg(x) - AI< Е,т. е.-ЕПусть д-(17.8)< g(x) -А< Е.(17.9)меньшее из чисел дl и д2. Тогда в д-окрестности точки ховыполняются оба неравенстваИз неравенств(17.7)'Р(Х)-(17.8)и(17.9).находим, чтоА ~f(x) -А ~g(x) -А.(17.10)с учетом неравенствравенства -с(17.8) и (17.9) из неравенства (17.10)< f(x) - А < с или If(x) - AI < с.следуют неМЫ доказали, чтоVc > о 38> О Vx:то есть1im f(x) =Ix - xol0<< 8If(x) - AI <===}с,•А.:1:4:1:0Теорему17.10иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров» .
Роль «милиционеров» играют функции !р(х) иg(x),функция лх) «следует за милиционерами».Теоремаf(x)17.11(о пределе монотонной функции). Если функциямонотонна и ограничена при х<хо или при хствует соответственно ее левый пределНт>f(x) =хо. то сущеJ(хо- О) или:1:4:1:0-0ее правый пределНтлх):1:4:1:0+0= лхо + О).Доказательство этой теоремы не приводим.СледствиеnЕ17.5.N.17.6.Ограниченная монотонная последовательность х n •имеет предел.Первый замечательный пределПри вычислении пределов выражений, содержащих тригонометри-ческие функции, часто используют пределsiпх- 1--- ,1l· m:1:40§называемыйnерв'ЫМ(17.11)Хза.м.е'Чаmел'Ьн'ЫМпредел отношения синусакегоnредело.м..аргументуаргумент стремится к нулю.
Докажем равенствоQВозьмем круг радиуса1, обозначимрез х (см . рис. 113). Пусть О<х<<SceKTopaМОВ<Читается:единице,когда(17.11) .радианную меру угла МОВ че~. На рисунке IAMIМ В численно равна центральному углу х,ем S6MOBравенIBel = tg х .= sinx, дугаОчевидно, имеS6COB· На основании соответствующихформул геометрии получаем ~ sin х < ~ х < ~ tg 'х. Разделим неравенства на -21 sinx >- О, получим 1 < -l2- < _1_ или cosx < sinx < 1.sшхcosxх14Так как Нтx-tОуcosx = 1и1im 1 = 1,x-tОтопо признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределовНт sinxx-tО= 1.(17.12)Х(х>О)Пусть теперьх < О.
Имеем sin х =х= sin( -х) , где -х > О.-хРис.Из равенств·sinx111т - - = .113(17.12)Поэтомуx-tОи(17.13)(17.13)Х(х<О)вытекает равенство•(17.11).Прu,м,ер 17.6. Найти 1im sin 3х .x-tО2хQ Решение: Имеем неопределенность виданеприменима. Обозначим 3хlim sin 3хx-tО2х8. Теорема о пределе дроби '= t; тогда при х -t О И t -t О, поэтому= lim sin t = 1im ~ . sin tt-tО 2 . tt-tО 2t~ ~ lim sin t2 t-tО , t= ~ . 1 = ~.2•2При.мер 17.7. Найти 1im tg х .x-tОХ1..Q Решение: 1im t gx = 1im sшх . _ _ = lim sшх.x-tОХx-tОХCOS Хx-tОХ1im 11x-tО= 1.lim cos х1= 1.x-tО17.6.ВТОРQЙ замечательный пределКак известно, предел числовой последовательности х nnЕN,имеет предел, равный е (см.limn-tooIR) :1imx-too=(1 + ~)n,(15.6)):(1 + .!.)n= е.nДокажем, что к числу е стремится и функция х n =(х Е•(1 + .!.) х = е.Х146(17.14)(1 + ~) х при х -t00(17.15)-+Пусть х1.+00.
Каждое значение х заключено между двумяположительными целыми числами:n~ х< n + 1,гдеn =[х]-этоцелая часть х. Отсюда следует ~1 < 1 ~ 1,1+ +1 1 < 1+1 ~ 1+1,поэтому(1 +Если х-+ +00,тоn:n+1) n < (1 +n -+ 00.nх~) Х ~n(1 +Поэтому, согласноnх~) n+ 1 .(17.14),имеем:1)nlim (1 + n~1 )n+lеlim ( 1 + - - ' = n-+оо= - = еn-+ооn+ 1lim (1 + -+11)1'n-+оо.!.)n+1= Нтnlim (1 +n-+оо(1 +n-+ооn.!.)n.Нmnn-+оое·1 = е.(1 +.!.) =nПо признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределовНm (l+.!.)Х=е.х-++ооПусть х2.НmХ-+ -00-+(17.16)х-00. Сделаем подстановку -х= t, тогда1) Х = lim (1-1 ) -t = lim ( -t- ) t = lim (11+ - -) 't =( 1+Хt-++oott-++oo t - 1t-++oot - 1= limt-++oo- t-l .
lim ( 1 + -1)- 1=(1 + -t -1)1t-++oot - 1е.1=е.(17.17)Из равенств(17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).Если в равенстве (17.15) положить 1 = а (а -+ О при х -+ 00), онохзапишется в виде~РавенстваI~-Тo(1 + a)~ = e·1(17.15)и(17.18)называются втopЪt..М за.ме-ч.аmел'Ь-(17.18)HЪt..М nредело.м. Они широко используются при вычислении пределов.
В приложениях анализа большую роль играет показательнаяфункция с основанием е. Функция у=е Х называется Э'ICсnоненцua.It'bHoit, употребляется также обозначение е Х = ехр(х).Прu.мер 17.8. Найти х-+ооНт (1 + ~)X.ХQРешение: Обозначим хlim (1 +х-+оо~)XХ=Нmt-+oo= 2t,(1 +очевидно,.!.)2ttt -+ 00при х-+ 00.Имеем== lim(1+.!.)t. lim (1+.!.)t=e.e=e 2 • •t-+oott-+oot147ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ§ 18.ФУНКЦИИСравнение бесконечно малых функции18.1.Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. естьфункция бесконечно малая.
Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.Пусть а=0Иlim= а(х) и (З = (З(х) есть б.м.ф. при х -t ХО, т. е .(З(х)а(х)limх-+хо==0.х-+хо1. Если lim -(Зах-+хо=А::j:. О (А Е IR), то а и (З называются бес?Соне'Чно.малЫМ'U одного nор.яд?Са.2. Если lim Q:(Зх-+хо= о,то а называется бес?Соне'Чно .малоil более высо'?Сого nор.яд?Са, чем (З.3.
Если lim -(Зах-+хо= 00,то а называется бес?Соне'Чно малой более низ?Сого nор.яд?Са, чем (З .4. Если lim Q:(З не существует, то а и (З называются несравнимымих-+хобес?Соне'Чно .малЫМ'U.Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф . при хх-tприQхо±-t ±оо,о.Прu..мер 18.1. Сравнить порядок функций аХ -t 00.= 3х2и (З= 14х2Решение: При х -t О это б.м.ф. одного порядка, так какlim~х-+о (З= limзх2х-+о 14х 2=~ ::j:.
О.14Говорят, что б.м.ф. а и (З одного порядка стремятся к нулю с примерноодинаковой скоростью.Прu..мер 18.2.•Являются ли функции а = зх 4 и (З = 7х б.м.ф.одного порядка при х-tо?148о РешеНJiiе: ПРJii х ~ О функция а есть б.м.ф. более высокого порядка,чем (3, так как Нт Q(3х-+о4,3= Нт 37Х = lim 3Х7 = О.х-+оХх-+остремится к нулю быстрее, чемв этом случае б.м.ф. а(3.'•ПРt.L.М.ер 18.3. Сравнить порядок функций а= tgxX~O.и (3=х2при,о Решение: Так как.11тх-+оа(3. tg х.
sin х11= x-+O;Z;211т - - = 11т - - . - - . - = 00х-+О Хcos х х'то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем•(3.Пpu..мер 18.4. Можно ли сравнить функции а= х· sin 1Хи (3=Хпри Х ~ О?о Решение: Функции а= х . sin 1хи (3=хсравнимыми б.м . ф., так как предел 1im Q(3Х-+Опри х ~ О являются не= 1imх . sin!.Х-+Охх= lim sin 1Х-+Охсуществует.не•18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основныетеоремы о нихСреди бесконечно малых функций одного порядка особую рольиграют так называемые эквивалентные бесконечно малые.Если 1im _(3аr:;J~х-+хоне'Ч.но= 1, то а и (3 называются э?СвuваJtенmн'Ы.мuбес?Со-MaJt1>tMU (при х ~ хо); это обозначается так: а", (3.Например, sin х '" х при х ~ О, т.
к. Нт sin х = 1; tg х '" х приХ-+Ох ~О ,т.1·к.1тХ-+О~Хх=.1Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функцийне изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентнойей бесконечно малой .о Пусть а.11тх-+хо-а =(3'".11тх-+хоа' и(3 '" (3'при х ~ хо. Тогда(а- . -с/ . -(3' ) =(3 а' (3'.11та-.х-+хо а'149.11тх-+хо(3'.а'.а'_. 11т - = 1 .
1 · 11т (3 х-+хо (3'х-+хо (3' '.ат. е. 11т -(З =X-ТХо..а'11т (З'.X-i-XQа.=Очевидно также, что 11т -(ЗХ-ТЖ'QТеорема18.2.а'.11т -(Зх-+хо•.а= 11т7J'.X~XOРазность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая изних .а Пусть а '" (З при хlim0:-+0:0аналогично-+а - (З =аlima-f.i~(Зх-+хохо. Тогдаlim (1 -~) = 1 а0:-+0:0~ =1-. lim0:-+0:0 а1 = о,•= о.СnраведЛ11.во 1.1. обрат'Н.ое утвержде'Н.11.е: если разность б.м.ф. а иj3есть бесконечно малая высшего порядка, чем а или (З, то а и (Зэквивалентные бесконечно малые .Действительно, так как lim а - (З = о, то limа0:-+0:01-limIl.
= о. Отсюда0:-+0:0 а.~11тх-+хо(ЗТеоремаlimIl. =0:-+0:0 а0:-+0:0т. е. а1,'"(1 ~ Il.)а-= о, т. е.(З. Аналогично, если= о, то а '" (З.18.3.Сумма конечного числа бесконечно малых функцийразных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.а Докажем теорему для двух функций. Пусть априх-+ о, (З -+ о-+ хо, причем а - б.м.ф. высшего порядка, чем (З, т. е.
lim -(За= о.0:-+0:0Тогдаlimx---t:z::oа +(З (З =Следовательно, аlimX~XO+ (З '" (З(-(За + 1) =при х-+limх-+хо-(За + 1 = О + 1 = 1.•хо·Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называетсяглав'Н.оiJ. 'Частью этоiJ. суммы.Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыва'Н.11.ем беС'ICо'Н.е'Ч'Н.о малых высшего nор.яд'ICа.2Прu.мер 18.5.
Найти предел lim Зх .+ 7х .0:-.0150sш2хQ Решение: lim 3х.± 7хХ-+О.3х± 7х2'"2~lim=sш 2хlim 3хХ-+О sш 2х3х и sin 2х '" 2х при х32'Х-+О 2хпоскольку•о.-+18.3. Применение эквивалентных бесконечно 'малыхфункцийВычисление пределовg часто бывают полезДля раскрытия неопределённостей виданым применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными идругие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно,sin х '"х при х-+О,tg х '"х при х-+о.
Приведем еще примерыэквивалентных б.м.ф.Пр'U.мерПокажем, что18.6..Q Решение: 11т1 - cos х2x-+о:L= lim21 - cos х '" Х22 sin 2 ~2 2limx-+о:L2х-+О(~-+O)2при Хsin~-+о.sin~~.~=1.1=1.-2-2•Пр'U.мер 18.7. Найдем lim arcsin х .х-+ОQРешение: ОбозначимПоэтомуХarcsinx = t.Следовательно,Хt-+O sшarcsin х '"tх при хПр'U.мер 18.8. Покажем, чтоt-+o SlПt-+t1о.V'1+X -•1 '" ~ при х -+ о.Решение: Так какlimV'1+X -х-+О~1 = limх-+О(V'1+X - 1)(v'1+X ± 1)~ • (V'1+X ± 1)= limхx-+о~(v'1+X±l)то= sin t и t -+ О при х -+ о.· arcsin х _- 1·1т -.t -_ 1·1т -.1 -_ -1 -- 1.11тх-+ОQТогда хV'1+X -1 '" ~ при х -+ о.= lim2= ~ = 1x-+0v'1+X±l2'•Ниже приведены важ'Н.еЙшие эх:вивале'Н.m'Н.осmи, которые используются при вычислении пределов:6.
е Х1 '" х (х -+ О);7. аХ - 1 '" х ·Ina (х -+ О);8. In(l + х) '" х (х -+ О);9. loga(l + х) '" х ·Iog a е (х -+sinx '" х при х -+ О;tgx '" х' (х -+ О);arcsinx '" х (х -+ О);arctgx '" х (х -+ О);1.2.3.4.25.1- cosx '" ~ (х -+ О);10. (1+ x)k>О- 1 '" k . х, kв частности,JI+X -О);(х -+ О);1 '" ~.· ~Прu.мер 18.9. Н айти х~ОSШ11т. 3 .х<)Решение: Так какtg 2х '" 2х, sin 3х '" 3х при х -+ О, то= limlim tg2xsin 3хх-+О2х = ~.х-+О 3хПрu.мер 18.10.
Найти lim х(е 1 / Х-•31).Х-+ОО<) Решение: Обозначим 1хlimх-+оох(е 1 / Х-= t, из х -+ 00 следует t -+ о. Поэтому1) = limt-+OПрu.мер 18.11. Найти<)~(ettlimх-+lРешение: Так как arcsin(x -lim arcsin(x - 1)+4х-+I х 2 - 5х- 1) = limt-+O~t . t = t-+Olim 1 =1.•ar~sin~x - ~)'.Х Х +1) '" (х - 1) при х -+ 1, то= limх-+l (х(х - 1)= lim _1_- l)(х - 4)х-+l Х - 4= _~.•3Приближенные вычисленияЕсли о:+ (о: т. е. о:'"(З, то, отбрасывая в равенстве о:= (З +(З) бесконечно малую более высокого порядка,-(З, получим приближенное равенство о: ~ (З.Оно позволяет выражать одни бесконечно малыечерез другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источникомряда приближенныххформул.Приведенные формулы справедливы при малыхх, и они тем точнее, чем меньше х.Например, графики функций у= tg хи у=хвокрестности точки О практически не различимы (см.рис.114),а кривая у= sin'xв окрестности точки О152Рис.tg х:::::х114.(х-+О)=Хсливается с прямой у(рис.115).На рисунках116-118проиллюстрироIiаны некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.ууу=х1~---------Рис.115.
sinx~ х (х-+Рис.О)116.ln(l+x)~x (х-+О)у1уу=Рис.y=cosx21- Х2117. cosxПрu.мерQРешение:~21- Х218.12.(х-+-2 -1y=l+~ОРис. 118. JТ+X ~ 1 + ~ (х -+ О)О)Найти приближенное значение дляln 1,032 = In(lх+ 0,032)~по таблице логарифмов находим, чтоln 1,032.0,032 Для сравненияln 1,032 = 0,031498...результата•§ 19. HErlPEPbIBHOCTb Функций19.1. Непрерывность функции в точкеПусть функция у= f(x) определена в точке Ха и внекоторой= f(x) называется ~еnрерЫ6-н.о1J.окрестности этой точки. Функция у6mо'Ч,х;е ха, если существует предел функции в этой точке и он равензначению функции в этой точке, т. е.Нmх-+хоf(x)= f(xa).153(19.1)Равенство(19.1) означает выполнение трех условий:1) функци:Я f(x) определена в точке хо и в ее окрестности;2) функция f(x) имеет предел при х -+ хо;З) предел функции в точке хо равен значению функции в этойточке, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
