Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 21
Текст из файла (страница 21)
при х -t хо,1}~n;о f(x)136= 0·1(17.1)По определению предела функции равенство>бого числа Е(17.1)влетворяющих неравенству ОIj(x)1 < Е.Аналогично определяется б.м.ф. при х -t ХО+00,х -tх -tозначает: для лю> О такое, что для всех х, удо< Ix - xol < о, выполняется неравенствоО найдется число о-00:во всех этих случаяхj(x) -t+ О,х -t ХО -О,О.Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малымивеличинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческимибуквами а, jЗ и т. д.Примерами б.м .
ф . служат функции упри х -t 2; уsin х при х -t nk, k Е Z.=Другой пример : х n= ~, n Е М, -=х2при Х -t О; У=х -2бесконечно малая последовательность.ТеоремаАлгебраическая сумма конечного числа бесконечно17.1.малых функций есть бесконечно малая функция .о Пусть а(х) и jЗ(х)= О,что lim а(х)х----+хося числоО< Iх -61 >хо-две б.М. функции при х -t ХО . ЭТО значит,т.
е. для любого Е>О, а значит, и f2>О найдет-О такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствуI < 61,выполняется неравенствоЕla(x)1 < 2и'jЗ(х)limX---i'ХQ= О, т. е .(V~ > ОПусть362 >О Vx: 0< Ix - xol < 02) => IjЗ(х)1 < ~.наименьшее из чисел6-творяющих неравенству Оства(17.2)(17.2)и(17.3).61и< Ix - xol <62.(17.3)Тогда для всех х, удовлео, выполняются оба неравенСледовательно, имеет место соотношениеЕЕIo:(x) + jЗ(х)1 ~ la(x)1 + IjЗ(х)1 < 2 + 2 = Е.Таким образом ,VE>O 30 > 0 Vx: O<lx-xol<o =>Это значит, чтоlimX-J-Xo(а(х)+ jЗ(х»lа(х)+jЗ(х)I<Е.= О, т.
е. а(х)+ jЗ(х)-б.м .ф. приХ -t ХО.•Аналогично проводится доказательство для любого конечного числаб.м. функций.Теорема17.2.Произведение ограниченной функции на бесконечномалую функцию есть функция бесконечно малая .о Пусть функциячисло М> о,f (х) ограничена при х --+чтоха. Тогда существует такоеIf(x)1 :::; М(17.4)для всех х из 8 1 -окрестности точки ха. И пусть а(х)х--+ха. Тогда для любогокое число< Ix -ха82 >I < 82,€>О, а значит, иб.м.ф.
при-о найдется та-о, что при всех х, удовлетворяющих неравенству ООбозначим через8€М·81и82.< Ix - xal < 8,неравенства (17.4) и (17.5) . Следовательно,Тогда для всехвыполняются обаIf(x) ·a(x)1= If(x)I·la(x) I <А это означает, что произведение f(х) . а(х) при х€.--+ хаесть бесконечно малая функция.Следствие(17.2)<(17.5)наименьшее из чиселх, удовлетворяющих неравенству Оk .М =>выполняется неравенствоla(x)1 <<k17.1.•Так как всякая б.м.ф .
ограничена, то из теоремывытекает : произведение двух б . м.ф . есть функция бесконечномалая.Следствие17.2.Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.Теорема17.3.Частное от деления бесконечно малой функции нафункцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая .о ПустьlimХ-+ХОа(х)=О, аlim f(x) =Х-+ХОа =j:. о. Функция af~x)) может бытьХпредставлена в виде произведения б.м.ф.
а(х) на ограниченную функ-цию л1х ). Но тогда из теоремы= а(х) . л1х )(17.2)вытекает, что частное f~~~ =есть функция бесконечно малая.Покажем, что функция f(X) ограниченная. Возьмемгда, на основании определения предела, найдетсях, удовлетворяющих неравенству ОвенствоIf(x) -al < €.А так как €< Ix - xal < 8,8>€< lal· ТоО, что для всехвыполняется нера> If(x) - al = la - f(x)1~lal-lf(x)l,то 'аl ..., IЛх)1< €,т. е.
Ij(x)1> lal- € > О.1 111j(x) = Ij(x)1 <Следовательно,1lal- €=М,•т. е. функция л~) - ограниченная .Теорема 17.4. Если функция а(х)-бесконечно ~алая (а-:fО), тофункция ~ есть бесконечно большая функция и наоборот: еслиа\х;хфункция j(x) - бесконечно большая, то л1 ) - бесконечно малая .о Пусть а(х) есть б.м.ф. при х --t ХО, т. е.(v€ > О30> Оvx:0<limx-txo'х - хоl < о)а(х)===}= О.
Тогдаlа(х)1 <€,т. е.1 a(~) 1 > ~, т. е·1 а(х) 1 > М, где М = ~. А это означает, что функция ,а(lх ) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратноеутверждение.•За.ме'Ч,анuе : Доказательства теорем приводились для случая, когдах--tха, но они справедливы и для случая, когда хПрuмер--t00 .Показать, что функция17.1.j(x) = (х - 1)2 . sin3 _1_х-1при х --t1 являетсябесконечно малой.= О, ТО функция <р(х) = (х - 1)2 естьбесконечно малая при х --t 1. Функция g(x) = sin 3 ~1' х -:f 1, ограниQРешение: Так какlim (х - 1)2х-+lх-ченаISin3х ~ 11 ~Функция j(x)1.= (х -1)2 . sin 3 ~1 представляет собой произведех,ние ограниченной функции (g(x» на бесконечно малую (<р(х».
Значит,j(x) - бесконечно малая при х --t 1.•13917.2. Связь между функцией, ее пределоми бесконечно малой функциейТеорема17.5.Если функцияJ(x)имеет предел, равный А, то ееможно представить как сумму числа А и бесконечно малой функцииа(х), т. е. если limf(x)%--+%0а Пусть lim%--+%0f( x ) = А.(Vc: > о 38>т. е.If(x) -А-= А, то= А + а(х).f(x)Следовательно,О Vx: 0< 'х - хоl < 8) ==> If(x) - АI < €,01 <С:. Это означает, что функцияf(x) -А имеетпредел, равный нулю, т. е. является б . м.ф., которую обозначим череза(х):f(x) -ТеоремаА=17.6а(х) .
Отсюдаf(x) =А+ а(х).(обратная). Если функцию•f(x)можно представитьв виде суммы числа А и бесконечно малой функции а(х) , то числоА является пределом функцииlim f(x)x---tХQа Пусть== А.f(x)f(x),= А+а(х), где а(х) -т. е . еслиf(x) =А+ а(х) ,тоб . м .
ф. при х --t ХО, т. е . lim а(х) =%--+%0О. Тогда(VC: > о 38>О Vx: 0< 'х - хоl < 8) ==> lа(х)1 < с.А так как по условиюf(x) =А+ а(х), то а(х)= f(x) - А. Получаем(Vc > о 38> О Vx: 0< 'х - хоl < 8) ==> If(x) - АI < с:.А это и означает, чтоlim f(x)х-+хоПрu.мер17.2.Доказать, чтоlim (5%--+2Q•= А.+ х)5 + х можно представить в виде суммы числа 72), т. е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х - 2).теореме 17.6 получаем lim(5 + х) = 7.•Решение : Функциюи б.м.ф. х- 2(при х --tСледовательно, по= 7.%--+214017.3.
Основные теоремы о пределахРассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределовфункции . Формулировка и доказательство теорем для случаев, когдах ~ хо и х ~ 00, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать,что пределы lim f(x), lim <р(х) существуют.х-+хоТеорема'х-+хоПредел суммы (разности) двух функций равен сумме17.7.(разности) их пределов:Нт и(х)х-+хоQПустьlim f(x) =± <р(х))А,х-+хоlim= lim f(x)х-+хо<р(х)±Нт <р(х).х-+хо= В.
Тогда по теореме 17.5 о свя-х-+хоf(x) = А + а:(х) и= А + В + (а:(х) + {3(х)).зи функции, ее предела и б . м.ф. можно записать<р(х)= В + (з(х).Следовательно, f(x)+ {3(х)Здесь а:(х)+ <р(х)б.м.ф. как сумма б . м . ф . По теореме-17.6 о связифункции, ее предела и б.м.ф. можно записать liт и(х)+<Р(х))х-+хот. е.limи(х)х-+хо+ <р(х))= lim f(x)х-+хо+= А+В ,Нт <р(х).х-+хо•в случае разности функций доказательство аналогично.Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.СледствиеФункция может иметь только один предел при17.3.х ~ хо.о Пустьlim f(x)"-+"0= А и "-+"0lim f(x)=В.
По теореме17.7 имеем:'0= Нт и(х) - f(x)) = lim f(x) - lim f(x) = А-В.Х-+"ООтсюда АТеорема-В"-+ " 0= О , т. е . А17.8.Х-+"О•= В.Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:lim и(х) . <р(х))Х-f-ЖQ=lim f(x)· lim <р(х).х-+хо141ж-tхоQДоказательство аналогично предыдущему, проведем его без особыхпояснений. Так как= А,lim f(x)х-tжо= А + а(х),f(x)где а(х) и (3(х)= В , то= В + (3(х),ip(x)б.м .ф. Следовательно,-f(x) .
ip(x) =т. е .lim ip(x)х-+х·оf(x) . ip(x)(А+ а(х)) . (В + (3(х)),= АВ + (А· (3(х) + В· а(х) + а(х)(3(х)).Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтомуlim f(x)· ip(X)x-txoт. е.= А . В,•lim (1(x)ip(x)) = lim f(x) lim ip(x).x-txoх-tжоx-txoОтметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.Следствие17.4.Постоянный множитель можно выносить за знакпредела :liт с ·Ж~ХОQlim(с ·х--+хоf(x)).Следствие=17.5.limс·lim f(x)х-+жо2: -+%0с·f(x) ==с ·limхх-tжоQ limх-+%о= x~, n Е N.(1(х))nж-tжо•lim J(x).Х-+%ОПредел степени с натуральным показателем равентой же степени предела: lim (1(х))nnlim f(x) .х-+жо= lim(1(х)·ж-tжо,n=(lim f(x))n.x-txo=,f(X)· ...
· f(x))..в частности ,..lim f(x)· ... · lim f(x)ж-tжох-+хосомножителей•= ( lim f(x ))n.ж-tжоТеорема17.9.Предел дроби равен пределу числителя, деленному напредел знаменателя, если предел знаменателяf().х11т--:нжоip(X)lim f(x)-t_xo,,---.,.....,..=-:-_жlimip(x)ж-+хо=не равен нулю :( lim ip(X) =1- о).ж--+ ж оа Доказательство аналогично предыдущему. Из равенствlimх ....... жQf(х) = Аследуют соотношения f(х)f(x) = А+о:(х) = АЧJ(х)В+ (З(х)+= Аиlim2:'-7Хо+ о:(х)ЧJ(х) = В =1- оИ ЧJ(х)= В(А+О:(Х) _ А) = АВВ+ (З(х)В+ (З(х).+ТогдаВ·о:(х) -А·fЗ(х)ВВ2+ В . (З(х).Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от делеНИЯ б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.Поэтому х-+хоlim f((x))9 хА,= вт. е.lim f(x)lim f((x)) =х-+хоХip•о ().х;х1т ip хх--+хоРассмотрим nри':мер.Прu.мер 17.3. Вычислить lim(зх 2 - 2хх-+l<)+ 7).Решение:lim (зх 2 - 2хх-+1+ 7)= lim зх 2 - lim 2хх-+1х-+1= 3 (limх-+1х) 2 -+ lim 7 =x-+lх' + 7 =2 limх-+13 .
1 - 2 + 7 = 8.•Прu.мер 17.4. Вычислить lim х / 14х - 322х-+2<)х-6х+8Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к.предел знаменателя, при х-t 2, равен о. Кроме того, предел числителя равен о. В таких случаях говорят, что имеем 'Н.еоnределе'Н.'Н.осmъвида8. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дробина множители, затем сократим дробь на х- 2 =1-о (х -t2,но х =1-2):. х2 + 14х - 321. (х - 2)(х + 16)= 1т ~--~7---~11тх 2 - 6х + 8х-+2 (х - 2)(х - 4)х-+2= limх-+2х + 16----х - 4lim (х= х-+2+ 16)lim (х - 4)х-+22 + 16= -- =2- 4-9.•2Прu.мер 17.5. Вычислить lim 2х 2 + 3х + 1.х-+оо 4х + 2х + 5<) Решение: Здесь мы имеем дело с 'Н.еоnределе'Н.'Н.осmъю вида00.
Для00нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель143. 2х211т2x-too 4х+ 3х + 1+ 2х + 52+ 1 +x-too1im (2 + ~ + ~)= =-x-t....:....::.oo=---_....,,-_1х1im,Х2_=__4 + 2ж + ~х1im (4 + аж + ~)х-+оо:z:1-2Функция 2 + ~ + А есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтомухНтхx-too(2+ ~ + ~)х= 2;х. (41щx-too+ -2 +х•5 ) = 4.2"х17.4. Признаки существования пределовНе всякая функция, даже ограниченная, имеет предел.
Например,функция у= sin х при х-+00 предела не имеет. Во многих вопросаханализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В. таких случаях пользуются признаками существованияпредела.Теорема 17.10 (о прЩ\епе промежуточной функции). Если Функция Лх) заключена между двумя функциями <р(х) имисяк одному Итому жепределу,то онаg(x},стремя щитакже стремитсяк этомупределу, т.
е. если= А,'Р(Х)1imx-tХQ'Р(Х) ~тоЕтX~XOа Из равенств1im g(x)x-tХQ= А,(17.6)f(x) ~ g(x),f(x)(17.7)= А.(17.6) BьrтeKaeT, что для любого Е>Осуществуют двеокрестности дl и д2 точки ХО, В одной из которых выполняется неравенство1'P(x) -A.I < Е,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
