Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. выполняется равенствоТак какlimx-txoх(19.1).= хо, то равенство (19.1)lim f(x)Х-4Хо= f(limХ-4ХОх)можно записать в виде= f(xo).Это означает, что при нахождении пределаf(x)f(x)можноnepeiJ.mu 1с(19.2)Henpep'b/.BHoiJ.фУ'Н.1сv,иипределу под зна1СОМ фУН1Сv,ии, то есть в фующиювместо аргумента х nодставит'Ь его nредел'Ьное 3Ha'Leoнue хо..ainzНапример, 11т е-жХ-40= е lim-+ !l.n...!.жОzИ предел поменялись местами (см.=е. В первом равенстве функцияв силу непрерывности функ(19.2))ции е Х •Прu,м,ер 19.1.
Вычислить АQ= limХ-40In(l + х).хРешение:.11тIn(l+x)Х-40Х1= lim - ·ln(l + х)Х-40х= liт In(l + х);1Х-40== In (lim (1 + х) ~) = In е = 1.•Х-40Отметим, чтоIn(l +х),....,х при х-+О.Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.уПусть функцияделенавy=f(x)некотор6мопре-интервале(а; Ь) . Возьмем произвольную точку ХоЕ(а;Ь). Для любого ХЕ(а;Ь):}~y--------,разность хIf(xo),,,:ХО'хоназываетсяаргумента хприраIи обозначается Ьох «<дельта х»):,box=X-Хо.
Отсюда х=хо+Ьох.РазностьХхосоответствующихзначений функцийзываетсявmO'L1Ce: f(x),хо-щениемf(x)- f(xo)приращениемнафун'/щииРис. 119(или Ьо! илирис.f(x) в mO'L1Ce ха и обозначается ЬоуD.f(xo)): D.y=f(x)- f(xo) или D.y=f(xo+D.x)- f(xo) (см.119).Очевидно, приращения Ьох и Ьоу могут быть как положительными,так и отрицательными числами.154Запишем равенство(19.1)в новых обозначениях .
Так как условиях -t ХО И Х - хо -t О одинаковы, то равенство (19.1) принимает видliт и(х)х-+хоО или- f(xo)) =(19.3)~Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция уf(x) называется не=nрер'Ывноit в mО'Ч1Се Хо, если она определена в точке хо и ее окрестности и выполняется равенство(19.3),т. е. бесконечно мало.му приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое(равенство(19.1)),Прu.мерQлибо второе (равенство19.2.(19.3))определение.Исследовать на непрерывность функцию уРешение: Функция у= sinx.= sin х определена при всех х Е IR.Возьмем произвольную точку х И найдем при ращение ~y:~y = sin(x + ~x) Тогда lim ~yдх-+О=sin х= 2 СОБ ( Х + ~x)lim 2 СОБ (хдх-+О+ ~2X).
sin ~2X. sin~x.= О, так какпроиз-ведение ограниченной функции и б.м.ф . есть б . м . ф.Согласно определению (1~.3), функция у= sin х непрерывна в точ-ке х.•Аналогично доказывается, что функция у= СОБ Хтакже непрерывна.19.2.Непрерывность функции в интервале и на отрезкеФункция у= f(x)называется неnрер'Ывно'iJ, в uнтервале (а, Ь), еслиона непрерывна в каждой точке этого интервала._Функция у = f(x) называется неnрер'Ывно'iJ, на отрез !Се [а, Ь], еслиона непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке ха неnрер'Ыв'На спра-=ва (т. е.
lim f(x)x-+а+О= f(a)),а в точке х=Ьнеnрер'Ыв'На слева (т. е.lim f(x) = f(b)).х-+Ь-О19.3.~Точки разрыва функции и их классификацияТочки, в которых нарушается непрерывность функции, называются mО'Ч1Са.мu раЗР'bl8а эmоit Фун1СЦUU. Если хразрыва функции у= f(x),=хо -точкато в ней не выполняется по крайней ме-155ре одно ИЗ :уСЛОВИЙ первого определения непрерывности функции, аименцо:1.Функция определена в окрестности точки хо, но не определенав самой точке хо.Например, функция у = ~2 не определена в точке хо = 2 (см.х-рис.120).уILо,:2,,,,,,ухоРис .2.Рис.120121Функция определена в точке хо и ее окрестности, но не существует пределаf(x)при х ~ хо.Например, функцияf(x) ={х -1,если2-х,если=- 1 :::; х < 2,2:::; х :::; 5,==определена в точке хо2 и(2)О), однако в точке хо2 имеетразрыв (см. рис. 121), т. к.
эта функция не имеет предела при х ~ 2:liтx~2-0f(x)= 1,аliтx~2+0ке хоету= о.f(x)Функция определена в точ-3.иliтее окрестности, существуf(x),но этот предел не ра-X~XO2вен значению функции в точке хо:lim f(x) ::J. f(xo).х-+хо1Например,рис.211"Рис .122g(xo)= {Si~X, если2,=О .. sinx11т g(x) = 11т - - = 1,Здесь хоx~oаg(x)Хx~o= g(O) = 2.156функция(см.122)хеслиx::J.О;хо.=точка разрыва:~Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва хо называется то'Ч~оiL разр'Ывапервого рода функции у= f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.liтх-+хо-оf(x)а) если= A1 ИA1 =A1рыва; б) еслирыва. Величинуlimх-+хо+оf(x) =А 2 • При этом:А 2 , то точка хо называется то'Ч,'К:оi1. устранимого разf:.А 2 , то точка хо называется то'Ч,'К:оi1. 'К:оне'Ч,ного разIA 1 -А 2 1 называют с'К:а'Ч,'К:ом фУН'К:'ЦUU в точке разрывапервого рода.~Точка разрыва хо называется то'Ч~оiL разр'Ыва второго родафункции у= f(x), если по крайней мере один из одностороннихпределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис.1.у= X~2' ХО =Для функции2.f(x) ={х - 1,2-хох,еслиесли11 - 01 =1.Для функцииSinXg(x) = { ;хо- 1 ::;; х < 2,2::;; х::;; 5,является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен= 23.120).точка разрыва второго рода.2-при хf:.о,при=Охо является точкой устранимого разрыва первого рода.
Положив=g(x) = 1(вместоg(x) = 2)при х= О, разрыв устранится, функциястанет непрерывной.Прu,м,ер19.3.Дана функцияf(x)= I~ =: ~I. Найти точки разрыва, выяснить их тип.а Решение: Функцияоси, кроме точки хтельно,liтх-+з+оf(x)определена и непрерывна на всей числовой1 при х > 3,Следова{ -1 при х < 3.lim f(x) = -1. Поэтому в точке х = 3= 3. Очевидно, f(x) =f(x) = 1,ах-+з-офункция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точкеравен1 - (-1)= 2.•15719.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.Непрерывность элементарных функцийТеоремы о непрерывности функций следуют непосредственно изсоответствующих теорем о пределах.ТеоремаСумма, произведение и частное двух непрерывных19.1.функций есть функция непрерывная (для частного за исключениемтех значений аргумента, в которых делитель равен нулю) .о Пусть функцияХ и хоf(x)и <р(х) непрерывны на некотором множествелюБQе значение из этого множества.
Докажем, например,-непрерывность произведенияF(x) = f(x) . <р(х).Применяя теорему определе произведения, получим:lim F(x)=;:: lim и(х)·<Р(х))= lim f(x)· lim <p(x)=f(xo)·'P(xo)=F(xo).х-+хоИтак,.Ж4ХОх-+хоlim F(x) = F(xo),X-i'Хочто и доказывает непрерывность функ-х-+хоцииf(x) . <р(х)Теоремав точке хо.•19.2. Пусть функции u = <р(х) непрерывна в точке хо, а= f(u) непрерывна в точке ио = 'Р(ХО).
Тогда сложнаяf(<p(X)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна вфункция уфункцияточке хо.о в силу непрерывности функцииu =<р(х),lim<р(х) = <р(хо) = ио,х-+хот. е. при хфункции у--+ ХО имеем u --+= f(u) имеем:lim f(<p(X))х-+хо=ио. Поэтому вследствие непрерывностиlim f(u)u-+uо= f(uo) = f(<p(xo)).Это и доказывает, что сложная функция у= f(<p(X)) непрерывнав точке хо.Теорема•19.3.Если функция у= f(x)непрерывна и строго монотонна на [а; Ь] оси Ох, то обратная функция у= <р(х) также непрерывна имонотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказательства) .158Так,например,Ф ункцияtgx=sinxcosx'в силу теоремы19.1,естьфункция непрерывная для в(:ех значений х, кроме тех, для которыхcosx = О, т.
е. кроме значений х = ~ + 1Гn, n ЕФункции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx,z.в силу теоремы19.3,непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.IiМожно доказать, что все основные элементарные ФУН7I:циинепрерывны при всех зна-ченuях х, дJtЯ 7I:ОтОРЫХ они определены.~Как известно, эле,м,ен,mарн,оi1. называется такая функция, которуюможно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции отфункции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенныхвыше теорем вытекает: вСЯ7l:ая элементарная ФУН7I:ЦUЯ непрерывна в 7I:a:;нcaoii.
тО'Ч7I:е, в 7I:Omopoii. она определена.Этот важный результат позволяет, в частности, легко находитьпределы элементарных функций в точках, где они определены.Пример19.4.Найтиlim 2ctgx .x~"i~Q Решение: Функция 2ctg х непрерывна в точке хlim 2ctgxx~-i19.5.= ~, поэтому•= 2ctg ~ = 21 = 2.Своиства функции, непрерывных на отрезкеНепрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.Теорема 19.4 (Вейерштрасса).
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.,Изображенная на рисунке123функция у= f(x)непрерывна наотрезке [а; Ь], принимает свое наибольшее значение М в точке Х1, анаименьшее т - в точке Х2.
ДЛЯ любого х Е [а; Ь] имеет место неравенство m :::; f(x) :::; М.СлЩ\ствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.159·Теорема19.5(Больцано-Коши). Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь) и принимает на его концах неравные значенияf(a)=Аиf(b)= В,то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.Геометрически теорема очевидна (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
