Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решение:у' = (sin х)' = cos х = sin ( х + ~) ,.2),= (_ sin х)' = - cos х = sin ( х + ~ . 3) ,= (_= sinx = sin( х + ~. 4),у" = (у')' = (cos х)' = - sin х = sin (х + ~ylllcosx)'yIVy(13)23.2.= sin ( х+~.13) .•Механический смысл производной второгопорядкаПусть материальная точка М движется прямолинейно по законуКак уже известно, производная B~ равна скорости точки вS = f(t).данный момент времени: B~= V.Покажем, что вторая nроuзводная от nути по времени есть велu'Чuна ус'/Сорен'UЯ nр.ямолuнеi1ного двuжен'UЯ то'ЧICU, т.
е. в:,= а.t скорость точки равна V, а в моментt + 6..t - скорость равна V + 6.. V, т. е. за промежуток времени 6..t скорость изменилась на величину 6.. v.Пусть в момент времениОтношение i~ выражает среднее ускорение движения точки завремя 6..t. Предел этого отношения при 6..t ~ О называется ускорениемточки М в данный момент t и обозначается буквой а: l}~o i~ =:= а,т. е.V' =а.Но V= в;. Поэтому а = (B~)', т. е. а = B~'23.3. Производные высших порядков неявно заданнойфункцииПустьF(x;y)= о.функцияу=f(x)задана неявноввиде уравненияПродифференцировав это уравнение по х и разрешив полученноеуравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную,получим вторую производную от неявной функции .
В нее войдут х, у и183у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (идальше) порядка .Прu.м.ер23.2. Найти ylll, если х 2+ у2= 1.+а Решение; Дифференцируем уравнение х 2у2 х2у · у'о. Отсюда у'--о Далее имеем; у"=+у"=-=у - х . (- ~ )уу2тельно, ylll=-у2=-=-у+ х21= -уЗуЗ-1 . 3 у 2 . у'у613= у4·((так как х 2Х)- у=Опо х; 2х+1· у - Х· у'у2 ' т.
е.+ у2 = 1),следов а-.3х= - у5 .•23.4. Производные высших порядков от функции,заданных параметрическиПусть функция у= f( x ) задана параметрическими уравнениямиХ = x(t),{у= y(t).Как известно, первая производная y~ находится по формуле,yfУх = , .(23.1)!Найдем вторую производную от функции заданной параметричехски.Из определения второй производной и равенства(23.1)следует, что" = (у')'= (у'х )'t . t'х = (y~)~х хх"Уххtт. е.У " = (y~)~!хжх(23.2),.Аналогично получаемylllхххПрu.м.ер23.3.=(Ухх t/1)'x~'/VУхххх(Уххх t111)'= ~'Найти вторую производную функцииа Решение; По формуле,Ух=(23.1)(sin t)~(cost)~cos t= -sint = -ctgt.184{ХУ= cost,.= sшt.Тогда по формулеУ/1(23.2)ctgt)~=..;..,--=.,...:..::.Si~2 t(-хх(COSt)~1- sin 3 t"- sin t•Заметим, что найти Y~x можно по преобразованной формуле,(Y~)~/1У хх(~)~= --;г = --;г =(23.2):Y~'·X~-X~'·Y~(x~)3запоминать которую вряд ли стоит.§ 24.24.1.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИПонятие дифференциала функции= J(x)Пусть функция Уизводнуюимеет в точке х отличную от нуля про= f'(x) f= о.
Тогда, по теореме о связи функции, еепредела и бесконечно малой функции, можно записать ~ = f'(x) +а,гдеQ:lim~6.х-+0 иХ-t О при ~x -t о, или ~y = f'(x) . ~x+ а· ~x .Таким образом, приращение функции ~Y представляет собой сумму двух слагаемыхf'(x)·~x и а· ~x, являющихся бесконечно малымипри ~x -t о. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ-ция одного порядка с ~x, так какlim6.х-+0f'(~· ~x = f'(x) f= о, а второеХслагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,чем ~x:Q: •lim6.х-+О~x---л-иХПоэтому первое слагаемое=lim6.х-+Оf'(x) .
~xQ:= о.называют г.лавно-(j 'Частьюnрuращенuя функции ~y.§Дuфференцuалом фуюС'Цuu У= f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначаетсяdydy = f'(x) . ~x.Дифференциалdy(илиdf(x)):(24.1)называют также дuфференцuалом первогопорядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции УТак как у'=х.= х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy = dx == ~x, т. е.
дифференциал независимой переменной равен приращениюэтой переменной:dx= ~x.Поэтому формулу(24.1)можно записать так:Idy = f'(x)dx, I185(24.2)~иными словами, дuффере'Н-v,uа.а фуюсv,uuраве'Н- nроuэведе'Н-uю*. nРОUЭ80д'Н-оu эmоu фУ'Н-?Сv,uu 'Н-а дuффере'Н-v,uа.а 'H-еэавuсu.моUnepe.me'H-'Н-оU.Из формулы*(24.2)чение производнойdyциаловиНайти дифференциал функции24.1.= зхf(x)Q= (зхПрu.мерВычислитьQ.2-24.2.dyпри х2sin(l-+ 2х).= г(х) dx находимsin(l + 2х))' dx = (6х - 2 cos(l + 2х)) dx.Решение: По формулеdy= Г(х). Теперь обозна-можно рассматривать как отношение дифференdx.Прu.мерследует равенствоdy•Найти дифференциал функцииу= In(l + e 10X ) += О, dx = 0,1.Vx2+l,Решение:10e= (In(l + e 10X ) + Vx2+l)' dx = ( 1+e+ х).
dx.10x~Подставив х = О и dx = 0,1, получим10xdyх=о,dyl=0С2 + о) 0,1 =•0,5.dx=O,lГеометрический смысл дифференциала функции24.2.Выяснимгеометрическийсмыслдифференциала.Дляэтогофункции упро ведем:::;: f(x)кграфикуув точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки хНа рисунке+ .6.х= .6.х,(см. рис.138).IAM11 =.6.у. Из прямоугрльного треIAMIугольника М АВ имеем:tg а= IABI.6.х 'Но,т. е.
IABIсогласносмыслу производной,этому АВу= tg а . .6.х.геометрическомуtga= г(х) . .6.х.y+!J..y!J..y= Г(х).По186охРис.x+!J..x138хIiСравнцвая полученный результат с формулойdy =АВ, т. е. дифферен'Циа.л фу'Н:к:'Ции у(24.1), получаем= f(x) в тО'Ч'h:е х равен приращению ординаты 'h:асате.льноil 'h: графи'h:У фУН'h:'Циив этоil тО'Ч'h:е, 'h:огда х nо.лу'Чит nриращенue .6.х.В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.24.3.Основные теоремы о дифференциалахОсновные теоремы о дифференциалах легко получить, используясвязь дифференциала и производной функции(dy= г(х) dx)и соответствующие теоремы о производных.Например, так как производная функции у = с равна нулю, то дифференциал постоянной величины paB~H нулю:Теорема24.1.dy=c' dx=O· dx=O.Дифференциал суммы, произведения и частного двухдифференцируемых функций определяются следующими формулами:d(u + v) = du + dv,d(uv) =v·du+u·dv,d (~)v= vdu -2 udv(vvf= О).о Докажем, например, вторую формулу.
По определению дифференциала имеем:d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dxТеорема24.2.= V· u'dx + и· v'dx =vdu + udv . •Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу надифференциал этого промежуточного аргумента.о Пусть у= f(u) и и = 1р(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у= f(1p(X)).ной функции можно написать,ух=,По теореме о производной слож,уu· их·Умножив обе части этого равенства наНо y~dx = dyи и~переписать так:dx = du.dx,получаем y~dx=y~u~dx.Следовательно, последнее равенство можноdy = y~ .
du.187•Сравнивая формулыdy =вый дифференциал функции уy~. dxи= Лх)dy =y~:ВИДИМ, что пер·. du,определяется одной .и той жеформулой независимо от того, является ли ее аргумент независимойпеременной или является функцией другого аргумента.~Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) фор.м:ы первого дифференциa.ttа.Формулаdy= y~ . du,формуле хy~dy =. dxпо внешнему виду совпадает с формулойно между ними есть принципиальное отличие: в первойнезависимая переменная, следовательно,-dx = D-x,duвторой формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря,=/:во=/:D-u.С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу про из водных в таблицудифференциалов.Например,24.4.= (cosu)~ .
du = - sinu·d(cosu)du.Таблица дифференциалов1. d(u± v)= du ± dVj+ udv,2. d(u· v) = vduв частности,d(cu)3. d(:!f) = vdu - 2 udv в частности d(f.)'vv'v4. dy = y~ dx, если у = f(x)j5. dy = y~ . du, если у6. dc= rC·dUj= _cdv.7'= Ли), и = <р(х);= О;7. d(u a ) =Q •иа - 1.dUj= а ·In а· du, в частности, d(e = е . dUj9. d(log a и) = -11- . du, в частности, d(ln и) = 1.
dUj8. d(atl)иUи·10. d(sinu)ипаи= ~11 dUj+и17. d(arcctgu) = -~11 dUj+и= cosudti;= -siпudUj16. d(arctgu)11. d(cosu)12. d(tgu) =1 du;cos 2 и13. d(ctgu) = -~ dti;14. d(arcsin и) =)SlllиJ ' 1 dUj1- и15. d(arccosu) = - ь du;1- и2218818. d(shu) = chudUj19. d(chu) = shuduj20. d(th и)= ~h1u dUj21. d(cthu) =с~~h1 du .sи24.5. Применение дифференциала к приближенным'вычислениямКак уже известно, приращение !1у функции уможно представить в виде !1у!1х--rО, или !1у= dy= г(х) . !1х+ а . !1х.+а= f(x) в точке х!1х, где а.--rО приОтбрасывая бесконечно малую а.!1хболее высокого порядка, чем !1х, получаем приближенное равенство!1у ~(24.3)dy,причем это равенство тем точнее, чем меньше !1х.IiЭто равен.ство позволяет с большоii то"Чн.остью вu"Чuслuть nрuблu:нcен.н.о nрuращен.uе любоii дuфферен.цuруе.м.ОО фун.tcцuu.Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула(24.3)широко при меняется в вычислительной практике.Прu.м.ерции у=х24.3.
Найти приближенное значение- 2х + 1 при х = 2 и !1х = 0,001.За Решение: Применяем формулу (24.3):!1у ~ dy= (зх 2 - 2) . !1х.dylИтак, !1у ~х=2дх=О,ООl= (3·4 -2) ·0,001приращения функ= (хЗ-2х+l)'·!1х == 10·0,001 = 0,01.0,01.Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем !1у:!1у = ((х+ !1х)3 - 2(х + !1х) + 1) З= х + зх . !1х + 3х· (!1х)2 + (!1х)32(х 3 - 2х+ 1)- 2х - 2·!1х=;=+1-х3+ 2х -1== !1х(зх + 3х . !1х + (!1х)2 2!1ylх=2дх=О,ООl2);= 0,001(3·4 + 3·2·0,001 + 0,0012 - 2) = 0,010006.Абсолютная погрешность приближения равнаl!1у- dyl= 10,010006 -Подставляя в равенство(24.3)значеНИЯ,!1у иf(x + !1х) - f(x)илиI f(x + !1х) ~Формула(24.4)0,011 = 0,000006.dy, получим~ г(х) ·!1хf(x) +f'(x) .
!1x·124.4.(24.4)используется для 6ы'Числениit приближенных зна'Чениit фуюсv,иit.Прu.м.ер•Вычислить приближенно189arctg 1,05.QРешение: Рассмотрим функциюимеем:arctg(x+ ~x)~f(x)arctgx= arctgx.Так как х+ ~x =1,05,arctg 1,05то при х~arctgx= 1и ~x~x+ --2'=0,057гarctg 1 + - - = -41+1~l+х0,05 получаем:•+ 0,025 ~ 0,810.Можно показать, что абсолютная погрешность формулыпревышает величины М· (~x)2, где М на сегменте [х; х+ ~x](см. с.наибольшее значение24.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
