Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 30
Текст из файла (страница 30)
f(x) < f(xa) для всехчто Ха - точка максимумафункции.Графическая интерпретация доказательства теоремывлена на рисунке25.9предста150.Аналогично теоремаVx Е (Ха - б;Ха) и Г(Х)25.9 доказывается для> О 'r/xЕ (Ха;Ха203+ б) .случая, когда Г(Х)<О•ууI~>'I'<оIIIIIIIIIIIо\~'<O1'>0/Хо-Охо+О~IIIХо-ОХОХо+ОоХРис.ХОХ150Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы.
Из теорем25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследованияфункции на экстремум:1)2)найти критические точки функции у =f(x);выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;3)исследовать знак производной Г(х) слева и справа от каждойиз выбранных критических точек;4)в соответствии с теоремой25.9(достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и ВЫЧИСJЩТЬ значенияфункции в них.Прu.мер 25.9.
Найти экстремум функции уг\. Решение:'-.1О чевидно, D ()у= Ilt=iНаходим у ,_1- 3-- w.2~'т. е. у ' -_~·Ч-2-3{Гх'Производная не существует при xl= О И равна нулюпри Х2= 8.Эти точки разбивают всю область определения данной функции на триинтервала(-00; О),(О;8), (8; 00).Отметим на рисунке151знаки производной слева и справа от каждой из критических точек .+____.О____Рис.Следовательно, ХlХ2=8 -=Оточка минимума,Ymin.+8 ____Х151точка максимума, Утах= у(8) = -~ .= у(О) = О,и•Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признаксуществования экстремума, основанный на определении знака второйпроизводной.Теоре.маЕсли в точке хо первая производная функции25.10.равна нулю и'(хо)и отлична от нуля(JI/(xo) =1-а Пусть для определенноститодхf'(xofl/(xo) <fl/(xo) > О.О).
то приимеет максимум и минимум -f "()хоприf"(XO) > О.l'f'(xo + дХ) = дх--?о1тдхf'(xo)О В точке хо функцияТак какl'f'(xo + дХ)О= дх--?о1т> 'дх+ дХ) > О в достаточно малой окрестности точкито Г(хо + дХ) < О; если дх > О, то Г(хо + дХ) > О.дх< О,J(x)= О). а вторая производная в точке хо существуетхо. ЕслиТаким образом, при переходе через точку хо первая производнаяменяет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме25.9,хо естьточка минимума.Аналогично доказывается, что еслиf"(XO) < О,то в точке хо функ-ция имеет максимум.25.5.•Наибольшее и наименьшее значения функциина отрезкеПусть функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь]. Как известНО,такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точкехо отрезка [а; Ь], либо на границе отрезка, т.
е. при хо= а или хо = Ь.Если хо Е (а; Ь), то точку хо следует искать среди критических точекданной функции (см. рис.152).Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наи-меньшего значений функции на [а; Ь]:1)2)найти критические точки функции на интервале (а; Ь);вычислить значения функции в найденных критических точках;З) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точкахх=а и х4)=Ь;среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшееи наименьшее.3аме'Чанu.я:1.Если функция у= f(x) на отрезке [а; Ь] имеет л.ишьодну 'К:риmи'Чес'К:ую mо'Ч'К:у и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее)значение.
На рисункемаксимальное) .2.152 f(xo)Если функция у= ЛХ)= fнб = fmax(нб-наибольшее, тахна отрезке [а;Ь] не имеет критическихточек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает илиубывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (т) -на другом.уоаРис.Пример25.10.ции /(х) = 3х 4QьХаХРис.152153Найти наибольшее и наименьшее значения функ+ 4х + 1 на отрезке3[-2; 1].Решение: Находим критические точки данной функции:= 12х + 12х = 12х (х + 1);Г(х) = О при Xl = О Е [-2; 1] и при Х2 = -1 Е [-2; 1]. Находим /(0) = 1,/(-1) = 3-4+ 1 = 0,1(-2) = 48-32+.1 = 17, /(1) = 8.
Итак, /Нб = 17в точке Х = -2, /НМ = О В точке Х = -1.•/'(х)322Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко при меняется при решении многих практических задач математики,физики, химии, экономики и других дисциплин.Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза сминимальными затратами, задача об организации производственногопроцесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитиюи усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьшихзначений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики-линейное программирование.Рассмотрим более простую зада-ч,у.Пример25.11.Из шара радиусаRвыточить цилиндр наибольшего объема.
Каковы его размеры?QРешение: Обозначим через Х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда,как видно из рисунка 153, у =Vгде Х Е [О;J 4R2 -= V (Х) = 1г ( 4R2-42R].2х 2 , а потому объем цилиндра2Х )3Х1ГХ= 1г R 2 Х - 4'Находим наибольшее значение функции[О; 2R]: Так как V' (х) = 7г Rтого, V"(x)=2-iJrx2, то V' (х)-~7Гx < о. Поэтому х=V = V(x) на промежутке= о при х = 2~Y3, кроме2~JЗточка максимума. Так-Ka~ функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметьнаибольший объем (равныйцилиндра равенVmax )при Х = 2~JЗ; диаметр основанияJ4Ю - (2RУ3/З)2 = 2~Vб.Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную 2~JЗ, идиаметр, равный 2~Vб.•25.6.
Выпуклость графика функции. Точки перегиба~График дифференцируемой функции у= f(x)называется в'Ь#,nу-'lCЛ'ь#,,м внuз на интервале (а; Ь), если он расположен выше любойее касательной на этом интервале. Гра-фик функции у= f(x) называет<:я в'Ь#,-уnУ'ICЛ'btМ вверх на интервале (а; Ь), еслион расположен ниже любой ее касатель-Мной на этом интервале.Точка графика непрерывной функц.и:и у= f (х), отделяющая его части разной выпуклости, называется то'Ч,'J(;ОU nерегu6а._'На рисунке154 криваяу= f(x)вы-оаРис.пукла вверх в интервале (а; с), выпуклавниз в интервале (с; Ь), точка М (с;f (с)) -ьсХ154точка перегиба.Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.Теорема 25.11. Ес~и функция у= f(x)во всех точках интервала(а; Ь) имеет отрицательную вторую производную, т. е.f"(x) < О, тоf"(x) > Ографик функции в этом интервале выпуклый вверх.
Если жеVx Е (а; Ь)о Пусть-график выпуклый вниз.f"(x) <О Vx Е (а; Ь). Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой хо Е (а; Ь) и проведем через М касательную (см. рис.155).Покажем, что график функции расположен ниже207этой касательной. Для этого сравним в точке х Е (а; Ь) ординату укривой У= J(x) с ординатой Укас ее касательной. Уравнение касательной,как известно, естьf(xo) = Г(хо)(х - хо), т. е. Укас = J(xo) + f'(xo)(x - хо).= J(x) - f(xo) - Г(Хо)(Х - хо). По теореме Лагранжа,f(x) - f(xo) = г(с)(х - хо), где С лежит между хо и х.
ПоэтомуУкас -Тогда У - УкасУ - Укас =f'(c)(x - хо) - f'(xo)(x - хо),т. е.= и'(с) -У - УкасРазность г(с)-Г(хо))(х - хо).Г(хо) снова преобразуемпо формуле Лагранжа:f'(c) - f'(xo)оаХаЬХРис.= f//(Cl)(С -хо),где Сl лежит между хо и с. Таким образом,Хполучаем155= f//(Cl)(C -У - Укасхо)(х- хо).Исследуем это равенство:> хо, то х-хо > О, с-хо > О и f//(Cl) < О.
Следовательно,Укас < О, т. е. У < Укас: -З?а ~l~;;Х2) если х < хо, то х-хо < О, с-хо < О и f//(Cl) < О. Следовательно,...Укас < О, т. е. У < Укас:1)У У-если хо----ХсС!ХаХИтак, доказано, что во всех точках интервала (а; Ь) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклыйвверх. Аналогично доказывается, что приf//(x) >О график выпуклыйвниз.•Для нахождения точек перегиба графика функции используетсяследующая теорема.Теорема25.12(достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производнаяf//(x)при переходе через точку хо,в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точкаграфика с абсциссой хо есть точка перегиба.о Пустьf//(x) <слева от х=О при х< хоиf//(x) >О при х> хо.хо график выпуклый вверх, а справаСледовательно, точка (хо;f(xo))-Это значит, чтовыпуклый вниз.графика функции является точкойперегиба.Аналогично доказывается, что если< о при х > Хо, то точка (хо; J(xo)) У =f(x).f//(x) >О при х< хоиf//(x) <точка перегиба графика функции•208Прu.мерИсследовать на выпуклость и точки перегиба25.12.график функции у = х 5Х-+ 5.а Решение: Находим, что у' = 5х 4 -1, у" = 20х З .
Вторая производнаясуществует на всей числовой оси; у">ООтмечаем, что у"при х> О;= О при х = о.<Оу"при хСледовательно, график функции у =(-00; О) ка (О;выпуклый вверх, в интервале (О;х500) -< о.Х-+5 в интервалевыпуклый вниз. Точесть точка перегиба.5)•Асимптоты графика функции25.7.Построение графика функции значительно облегчается, если знатьего асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изученииформы гиперболы (см. с.81).Напомним, что асимnmотоiJ.
кривой называется прямая, расстояние до которой отуy=f(x)точки, лежащей на кривой, стремится к нулюпринеограниченномудаленииоткоординат этой точки по кривой (рис.начала156).Асимптоты могут быть вертикальными,наклонными и горизонтальными.Говорят, что прямая хтuх;о,лън,оiJ.у= f(x),= 00, илиlim f(x)х-+аdа является верграфикаacuMnmomoiJ.если== 00, илифункцииlimх-+а-Олх)оа=Рис.156lim f(x) = 00.x-+а+ОДействительно, в этом случае непосредственно из рисункано, что расстояние точки М(х; у) кривой от прямой х=Ix -al·прямая ххЕсли х-+а, тоd -+=а156 вид-равноd=о. Согласно определению асимптоты,= а является асимптотой кривой у = f(x). Для отысканиявертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которыхфункцияf(x)неограниченно возрастает по модулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
