Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Найти lim х 1- 1.x--tlХПХг'\Решение: 1·1т ---х- 1 =~x--tl хlпх[~] = liт (х -1)' = Нтх-+l (х lп х)'x--tl1In х+1= 1.•Пример 25.3. Найти lim 1 - cos6xx--tО2х 2QРешение :lim 1- cos6xx--tО2х 2Теорема= [Q] = lim25.4 даетОx--tО6sin6x4х= [Q]О=~ lim 6cos6x2 x--tО= 9.•1возможность раскрывать неопределенность видаОо. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопреде00ленности вида- .00197Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностейвидаQQ).00Пусть функцииf(x)и 'Р(Х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки хо (кроме, может быть, точки хо), в этой окрестности=lim f(x)х-+хо'Р(Х)limх-+хо=00, 'Р'(Х)=1О .
Если существует пределlim f;(x) , то lim f(X~ = lim f;(x) .Х-+ХО <р (х)х-+хо 'Р(ХХ-+ХО <р (х)· tg3xПрuмер 25·4· Н айти 11тt 5 .x-+~g Ха Решение:[~]= ~ lim -10 sin 10х = lim sin 10х =5 х-+ ~ - 6 sin 6хх-+ ~ sin 6х=[Q]О2-й способ :lim tg 3х = [0000] [tg 5хх-+ ~х -t i= lim..,0= t ] =tg(~1Г + 3t) = lim ctg 3t = lim tg 5t = ~.+ 5t) НО ctg 5t НО tg Зt 3•но tg( ~1ГРаскрытие неопределенностей различных видовПравило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей видавида Оgи~, которые называют ОС1iО61i'ЫМU. Неопределенности. 00, 00 - 00, 100, 000, 00 сводятся к двум основным видам путемтождественных преобразованиЙ.1.Пустьf(x)~ О, <р(х) ~ 00 при х ~ хо.
Тогда очевидны следующие преобразования:. и(х)'Р(Х))11тХ-+ХО. -1f(x)11тX -+:l:О 'Р (Х)=[О ·х)= [00 . О] =00] == [О]О(или 11т.<р(х) =-1-Х-+ХО 7ГХУ[00]).00Например,•11т:1:-+21ГХ tg -(24•2- х =11т------;rxх-+2ctg "4198[00] = limх-+2 --1I4-11"sin 2 "" •44"= 1г2. Пусть f(x) -+ 00, tp(X) -+ 00при х-+хо. Тогда можно поступитьтак:limи(х)х-н:о- tp(x)) = [00 - 00] == limХ-+Хо(_1 __1) ='Р(Х)j(lx )11lim ;;;тху - fГXj =х -+ х О11;;;тху fГXj[~] .На практике бывает проще, например,( 1 1) = 100 - 00] = ;~ 'п -х .1(х-lnx- 1) =хlim - - - -х-+l'пхх-11- 1.= limх-+l х-lхх+lnx[О]О == [О]_ = limОх-+l:ь_Х_ _1~+ 1.х1= _.2з.
Пусть илиf(x) -+ 1 и tp(x) -+ 00, или f(x) -+ 00 и tp(x) -+ О,tp(x) -+ О при х -+ хо. Для нахождения предела видаилиf(x) -+ О иlim f(x)<P(X) удобно сначала прологарифмировать выражениех-+хоАПрu.мерQ= f(x)'P(X).1Найти lim(cos2x)~.25.5.Х-+ОРешение: Имеем неопределенность вида1жение А = (cos 2х) ~, получим: 'П А =100. Логарифмируем выра-fr 'п cos 2х. Затем находим пре-дел:limХ-+О'П А =limХ-+Оlncos 2х.2ХQ] = lim coh-x( - sin 2х)2[О Х-+О2х-2lim tg2x =Х-+О2х2=-2,т. е. 'П lim А=-2 . Отсюда lim А=е- , и lim(cos2x)~=e-2.Х-+ОХ-+ОХ-+О•Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой»формулойНmХ4ХОf(x)'P ( Х ) =lim 'Р(Х) ln j(x)е'-' О(= ехр lim tp(x) 'П Лх))х--+хо(использовано основное логарифмическое тождество: f'P = e1nj"').Прu.мер 25.6.
НайтиQlim(1.)t g x.Х-+ОХРешение:limХ-+О(~)tgx = [000] = еХР(lim tgxln.!)Х=Х-+Оехр (limХх( -::\-)):Х-+О - sin2 Х199= eXP(limХ-+О'П ~)ctg х=Прu.мер25.7.Пустьf(x)Найтипри хi- О,при х=о.f'(x). (Дополнительно: найти f(n)(o).)а Решение : При хi- Оимеем= е-р(х)При х= { ~_x-2Х -2(-х-•2) = 2е1Х-2•х-3.= О по определению производной:f l(O) -- 1·1т f(OЛ40Делаем замену у= fr!+ л) - f(O) -_ 1·1тлЛ40Таким образом,Л.и применяем правило Лопиталяе--&!lim - = lim -.jY = limЛ40Ie-~У400 е УЛУ4001=2.jY . е Упри хi- О,при х=о.о.•Аналогично можно показать, что f(n) (О) = о.25.3.
Возрастание и убывание функцийОдним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции .Теорема 25.б (неоБХОАимыена интервале (а; Ь) функция(f'(x) :::;Qусловия). Если дифференцируемаяf(x)возрастает (убывает).
тоf'(x)~ ОО) дЛЯ \lх Е (а; Ь).Пусть функцияf(x)вольные точки х и хвозрастает на интервале (а; Ь). Возьмем произ+ ~xна интервале (а; Ь) и рассмотрим отноше-ние ~ = f(x + ~;l- f(x) . Функция f(x) возрастает, поэтому если~x > О, то х + ~x > х и f(x + ~x) > f(x}; если ~x < О, то х + ~x < хи f(x + ~x) < f(x). В обоих случаях ~ = f(x + ~x) - f(x) > О так~x200~x'как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функцияf(x)имеет производную в точке х и являетсяпределом рассматриваемого отношения.
Следовательно,f'(x)Аналогично=Нт f(xf(x)- f(x) ~ о.•д.храссматриваетсячай, когда функция+ д.х)дх-+ослуубывает на интервале (а; Ь).Геометрически теорема25.6означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуютострыеуглысположительнымнаправлением оси Ох или в некоторыхточках (на рисунке145в точке с абсцисРис.сой хо) параллельны оси Ох.Теорема25.7(достаточные условия). Если функцияренцируема на интервале (а; Ь) иf'(x) >О и'(х)< О)145f(x)VxдЛЯдиффеЕ (а; Ь),то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; Ь).о Пустьхl< Х2·f'(x) > о.Возьмем точки хl и Х2 из интервала (а; Ь), причемПри мени м к отрезку [Хl;Х2] теорему Лагранжа:= f'(C)(X2 - хl), где с Е (хl; Х2).
ПО условию f'(c)Следовательно, f(X2) - J(Xl) > О илина интервале (а; Ь) возрастает.Рассмотренные теоремы25.6иf(X2) > f(Xl)'25.7f(X2)- f(Xl) =>О, Х2 - хlт. е. функция>о.f(x)•позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Hano-м'Н-им, что функция возрастающая или убывающая называется ~о'Н-ото'Н-'Н-ой (см. с.Пр'U.мер 25.8.Исследовать функциюf(x)=х3-122).3х- 4 на возрастание и убывание.QРешение: Функция определена наJR.= (-00; 00).Ее производнаяравна:f'(x) =зх 2 -3=3(х-1)(х+ 1);f'(x»O при ХЕ(-оо;-1)Щ1;оо);f'(x)<O при xE(-l;l).Ответ:иданнаяфункциявозрастает(1; 00); убывает на интервале (-1; 1).наинтервалах(-00; -1)•25.4.~Максимум и минимум функцийТочка ха называется mо'Ч?Соu .ма?Ссu.му.ма функции у=если существует такая б-окрестность точки ха, что для всех хиз этой окрестности выполняется неравенствоf(x),i:хаf(x) < f(xa).Аналогично определяется точука минимума функции: Хато'Ч.-315 > ОVx : О < Ix - xal < б => f(x) >> f(xa).
На рисунке 146 Xl - точх:а ми'Нимума функции, если,,,,,тах,ка минимума,,min'а точка Х2максимума функции у-точка= f(х).Значение функции в точке макРис .симума146(минимума)называетсямах:симумом (ми'Нимумом) функции . Максимум (минимум) функции называется Э7Сстремумом функции .Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностьюточки из области определения функции .Поэтому функцияможетиметь экстремум лишь во в'Нутре'Н'Них то'Ч.!Сах области определения .Рассмотрим условия существования экстремума функции .Теорема25.8(необходимое условие экстремума). Если диффе=ренцируемая функция уf(x)имеет экстремум в точке Ха, то еепроизводная в этой точке равна нулю: Г(Ха)о Пусть, для определенности, Ха-= О.точка максимума. Значит, вокрестности точки Ха выполняется неравенствоf(xa)> f(xa + .6.х).Но тогда ~ = f(xa + .6.х) - f(xa) < О если.6.х > О и ~ > о если.6.х< О..6.х.6.х'По условию теоремы производнаяf '( Ха ) --l'1тf(xa~x-+a,.6.х.'+ .6.х) - f(xa).6.хсуществует.
Переходя к пределу, при .6.х --+ О, получим Г(Ха) ~ О , если.6.х < О, и Г(ха) :::; О, если .6.х > О. Поэтому Г(Ха)О. Аналогично=доказывается утверждение теоремыфункции25.8,если Ха-точка минимумаf(x) .•Геометрически равенство Г(ха)мума дифференцируемой фу нкции упараллельна оси Ох (см. рис.= о означает, что в точке экстре= f(x) касательная к ее графику147).Отметим, что обратная теорема неверна, т. е . если Г(Ха)это не значит, что Ха-= О, тоточка экстремума.
Например , для фу нкции202у=х3ее производная у'= 3хточка экстремума (см. рис .оХОРис .2= О,равна нулю при хно хО не148).ХРис.147Рис .148149Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция уизводной не имеет, но точка х= О-=JxJв точке х= О проточка минимума (см. рис.149).Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремумлишь в точках, где ' производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются 1Cpumu-чес1СtL.Мu.Теорема25.9(достаточное условие экстремума).
Если непрерывная функция у= f(x)дифференцируема в некоторой б-окрестностикритической точки ха и при переходе через нее (слева направо) nро'Изводн.11.Яj' (х) .мен..яеm зн.а'/С с плюса на минус, то Ха есть точка мак-симума; с минуса на плюс, то хаQточка минимума.Рассмотрим б-окрестность точки Ха. Пусть выполняются условия:Г(Х)> О Vxf(x)возрастает на интервале (ХаЕ (ха-< О Vxб; Ха) и Г(х)-Е (Ха; Ха+ б) .Тогда функцияб; ха), а на интервале (ха; Ха+ б)она убывает. Отсюда следует, что значениенаибольшим на интервале (ХаХ Е (Ха-б; Ха)U (Ха; Ха + б).-б; Ха+ б),Это и означает,f(x) в точке Ха являетсят. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
