Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 17
Текст из файла (страница 17)
< О.Точек пересечения поверх-= h не существ~ет.109б) ЕслинияиIhl =с, т. е. h= ±с,22то ~·+ Р. = О. ЛИНИЯ пересече-(12.29) вырождается в две точки (О; О; с) и (О; О; -с). Плоскости z = сz =-с касаются данной поверхности.Ihl < с,в) Еслито уравненияу(12.29) можно переписать в виде:Как видно, линия пересечения естьэллипс с полуосями (см. рис.~хРис .аl = ау 1- ~91При этом чем меньшеIhl, тем больше полуоси аlстигают своих наибольших значений: аlпримут вид2иЬ1и b1 . При91)= Ьу~1- ~.h= О они до= а, b1 = Ь. Уравнения (12.29)2~ + Р. = 1,{h=О.Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверхности~(12.28) плоскостями х = h и у = h.Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по-верхность(12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверх(12.28) называется эл.л:unсоидом.
Величины а, Ь и с называютсяностьполуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется тpeXOCH'Ьt.М; если какие-либо две полуоси равны, трехосныйэллипсоид превращается в эллипсоид вращенuя; если ато-в сферу х 2+ у2 + Z2 = а2=Ь=С,.ОАНОПОЛОСТНЫЙ гиперБОЛОИАИсследуем поверхность,заданную уравнением(12.30)Пересекая поверхность(12.30) плоскостью zресечения, уравнения которой имеют вид22h2~ + Р. = 1+~,{z= h,= h,получим линию пеКак видно, этой линией является эллипс с полуосямиаl = aJ1 + ~ иПолуоси аl идостигают своего наименьшеb1го значения привозрастанииIhlbJ1 + ~.b1 =О: аlh =а,=b1 =ь.
Приполуоси эллипса будут увеличиваться.Если пересекать поверхностькостями х=hили у(12.30)плосто в сечении полу= h,учим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения поверхности(12.30)уравнение которой х= о.с плоскостьюхOyz,Эта линия пересечения описывается уравнениями{~х=~=-Рис .1,о.Как видно, эта линия есть гипербола (см.
рис.~9292).Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемаяуравнением(12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся(12.30) называется одноnолостнЪt.М гиперботрубки. Поверхностьлоидом .За.ме-ч,а'Н,uе : можно доказать, что через любую точку гиперболоида(12.30)проходят две прямые, лежащие на нем.Двухполостный гиперболоидПусть поверхность задана уравнениемх2~Если поверхность(12.31)у2Z2+ 11- (! = -1.пересечь плоскостями(12.31)z = h,ТО линия пересечения определяется уравнениями22~ + Р.{h2= (! -1,(12.32)z = h.Отсюда следует, что:,а) еслиб) еслиIhl < с,Ihl = с,то плоскостито плоскостиz = h не пересекают поверхности;z = ±с касаются данной поверхностисоответственно в точках (О; О; с) и (О; О; -с) .в) еслиIhl > с, то уравнения(12.32)х2могут быть переписаны таку2a2(~-1) + Ь2(~-1) =1,{z = h.111Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с росто мIhl.Пересекая поверхность(х(12.31)координатными плоскостямиOyz= о) и Oxz (у = о), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид22~ - ~ = -1Ь~сиу обеих гипербол действительной осью является осьчения позволяет изобразить поверхность (см.
рис.мую уравнением(12.31), какOz. Метод се93), определяеповерхность, состоящую из двух полостей,имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность(12.31)называется двухnолостн'bl.М гиnербоJtоидом.ууРис.Рис.9394Эллиптический параБОЛОИАИсследуем поверхность, заданную уравнением2Lргде р>о,q>2+ '!qL.. = 2z ,о.
Рассечем поверхность(12.33)(12.33)плоскостямиz= h.Вh=h >о,сечении получим линию, уравнения которой есть2LР{Еслиh <о, то плоскости zто плоскость z=Оz == h2+ '!qL.. = 2h ,h.поверхности не пересекают; есликасается поверхности в точке (о; о; о); если1 2о,ТО В сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет видL22~h +{Его полуоси возрастают с ростом~2qh = 1,z = h.При пересечении поверхностиh.(12.33)координатными плоскостями22Oxz И Oyz получатся соответственно параболы z = ~p и z = ~.Таким образОh.I, поверхность, определяемая уравнением(12.33), имеет94).
Поверхвид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис.ность(12.33)называется эллиnmичеС7l:UAt nараболоидо,м.Гиперболический параболоидИсследуем поверхность, определяемую уравнениемf- ~ ~2z,1Iгде р>о,q>о. Рассечем поверхностьПолучим кривую2(12.34)плоскостями(12.34)z= h.2~-JL.::....-1которая при всех2ph2qh - ,{z = h,значениях h i- о являетсягиперболой.
Придействительные оси параллельны оси Ох; приоси Оу; при ,h = О линия пересечения2;L рJp - -!}qпару пересекающихся прямыхh<О-h>О2~ = о распадается наq= о иJp + -!}q= о. Припересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости(у= h), будут получаться параболых2=еепараллельныOxz2р (z + ~;),{у = h,ветви которых направлены вверх. При.упарабола{Х2о в сечении получается= 2pz,у=Ос вершиной в начале координат и осью симметрииПересекая поверхностьболы у2~= - 2q ( z -(12.34)плоскостями хOz.= h, получим пара-~;), ветви которых направлены вниз.Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности:она имеет вид седла (см. рис.95).гиnерболичес7I:U,м nараболоидо,м.11Поверхность(12.34)называетсяуххРис.Рис.9596Конус второго ПОРЯАкаИсследуем уравнение поверхностих2у2z2(12.35)~+ll- ~ =0.Пересечем поверхность2~а2h2+ 1Gb = -::2"", z = h.h =f:.с(12.35)При hплоскостямиz= h.
Линия пересечения= О она вырождается в точку(о; о; о). Прио в сечении будем получать эл~ипсых2у2+a2h2{--crz= h.= 1,b2 h 2crПолуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастанииРассечем поверхностьлиния(12.35)плоскостью{2~ -?-2= о,хOyz(хIhl.= о). Получитсяо,=распадающаяся на две пересекающиеся прямые~ь- ~с = оПри пересечении поверхности{и(12.35)~ау~ + ~ = о.Ь~-с=0,114сплоскостью у=0,= о получим линиютакже распадающуюся на две пересекающиеся прямые- - -z = оха~сих-аz+ - = о.сПоверхность, определяемая уравнением(12.35),называется ?сОНУсом второго порядка, имеет ВИД, изображенный на рисунке~96.Поверхности, составленные из прямых линий, называются .ltuHeiL-чатимu.
Такими поверхностями являются цилиндрические, конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.Главаv.ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗI Лекции 13-221§ 13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА13.1. Основные понятия~Понятие множества является одним из основных неопределяемыхпонятий математики. Под мно;нсеством понимают совокупность(собрание, класс, семейство ... ) некоторых объектов, объединенных покакому-либо признаку. Так'можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х 2+ 2х + 2 = О,о множестве всех натуральных чисел и т. д.Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,а,Ь,...
, Х, У, ... ,а их элементымалыми буквами-... ,х,у, ...Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Е Х;запись х Е Х или х ~ Х означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.Множество, не содержащее ни одного ,элемента, называется nуcтЪt.М; обозначается символом 0.Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.Например, запись Аиз трех чисел1, 3и15;= {1, 3, 15} означает, что множество А состоитзапись А={х:О ~ х ~2}означает, чтомножество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное)чисел, удовлетворяющих неравенству О ~ х ~~2.Множество А называется nод.мно;нсество.м множества В, есликаждый элемент множества А является элементом множества В.Символически это обозначают так А с В «<А включено iз В») илиВ J А «<множество В включает в себя множество А»).,Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишутА= В, если А с В и В с А.
Другими словами, множества, состоящиеиз одних и тех же элементов, называются равными.~Обl}единение.м (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежитхотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначаютAuB(или А+В). Кратко можно записатьили х Е В}.116AuB ={х: х Е А~Пересе'Ченuе.м (или произведением) множеств А и В называетсямножество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В.
Пересечение (произведение) множеств обозначают АпВ (или А·В). Кратко можно записать АпВ= {х :х Е А и х Е В}.В дальнейшем для сокращения записей будем использовать не7СОтор'Ые простейriIие логические символы:а==>(3(3и- означает «из предложения а следует предложение (3)>;а{:::=}(3 - «предложения а и (3 равносильны», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
