Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е.c;=J1-(~)2 И~=~.аОтсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющеННЫМj если положить с;=О, то эллипс превращаетсяв окружность.ПустьF2M(XjY) - произвольная точка эллипса51). Длины отрезков F 1 M = Т1 и F 2 M(см. рис.фо'/Саль'Н'Ыми радиусами точки М. Очевидно,Т1+ Т2 = 2а.78с фокусами= Т2F1иназываютсяИмеют место формулы=Тlа+ €XиТ2=-а€x.уухх=-!!<х=!!.<Рис.ХРис.5152Прямые х = ±Q называются директриса,м,и эллипса. Значение€директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.Теорема11.1.
Если r -до какого-нибудь фокуса,расстояние от произвольной точки эллипсаd-расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение а есть постояннаявеличина, равная эксцентриситету эллипса: а = €.Из равенствание(11.7)(11.6)следует, что а>Ь. Если же а<Ь, то уравнеопределяет эллипс, большая ось которого 2Ь лежит на осиОу, а малая ось 2а-на оси Ох (см. рис.52).находятся в точках Р1 (О; с) И Р2 (О; -с), где сФокусы такого эллипса= vb2 -а2 .Гипербола11.4.Каноническое уравнение гипеj1болы~Гиnербо,//,о1J, называется множестводульвсехточекразностиплоскости,расстоянийотмокаждой из которых до двух данных то~M(X'Y)чек этой плоскости, называемых фокуса,м,и,естьвеличинапостоянная,меньшая, чем расстояние между фокусами.79H(~d;O)OF2(C:o) хРис.53Обозначим фокусы через Р1 и Р2 , расстояние между ними через 2с,а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусовчерез 2а.
По определению 2а< 2с,т. е. а< с.Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Охутак, чтобы фокусы Р1 и Р2 лежали на оси Ох, а начало координатсовпало с серединой отрезкаF1 F2(см. рис .53).Тогда фокусы будутиметь координаты Р1 (-с; О) и Р2 (с; О) .~Пусть М(х; у)-произвольная точка гиперболы. Тогда согласно= 2а или М Р1 - М Р2 = ±2а,= ±2а. После упрощений, как этоопределению гиперболы 1М Р1 - М Р2 1т. е. J(x+ с)2 + у2- J(x - с)2+ у2было сделано при выводе уравнения эллипса, получим7I:aHOHu",eC7l:0eуравнение гunербол:ы(11.9)гдеIb 2 ::c2 -a2· 1(11.10)Гипербола есть линия второго порядка.Исследование формы гиперболы по ее уравнениюУстановим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением.~1.Уравнение(11.9)содержит х и у только в четных степенях.
Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу,а также относительно точки0(0; О),которую называют центро,м гиnербол,'ы.2.Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Поло= О в уравнении (11.9) , находим две точки пересечения гиперболы с осью Ох: A1(a;0) и А 2 (-а;0). Положив х = О в (11.9), получаемжив уу2 = _Ь2 , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу непересекает.~Точки А 1 (а; О) и А 2 ( -а; О) называются вершuна,мu гиперболы, аотрезок= ОА 2~=а -ОтрезокA 1 A2=2а -iJеi!сmвumельноi! осью, отрезок ·ОА 1=iJеi!ствumельноi! полуосью гиперболы.B 1 B 2 (B 1 B 2 = 2Ь),называетсясоединяющий точки В 1 (О; Ь) и В 2 (0; -Ь)MHUMOi! осью, число Ь -MHUAtOi! полуосью.
Пр ямоугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основны.м nря.моугольHU7l:0M гunерболы.23. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое ~ не меньше2единицы, т. е. что ~ ~ 1 илиаIxlа~ а. Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой хслева от прямой х= а (правая ветвь гиперболы) и= -а (левая ветвь гиперболы).80ухРис.4.то ИИз уравнения54гиперболы видно, что когда(11.9)lyl возрастает.
Это следует из того, что разностьIxl2возрастает,2~ - р. сохраняетпостоянное значение, равное единице.Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображеннуюна рисунке54(кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).Асимптоты гиперболыПрямаяLли расстояниеназываетсяd от точкиacuMnmomoi1 неограниченной кривой К, есМ кривой К до этой прямой стремится к нулюпри неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат. На рисункепрямаяL55приведена иллюстрация понятия асимптоты:является асимптотой для кривой К.22Покажем, что гипербола~ ,1Gbа= 1 имеет две асимптоты:(11.11)Так как прямые(11.11)и гипербола(11.9)симметричны относительнокоординатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.Возьмем на прямой У = Qx точку N имеющей ту же абсциссу х,ачто и точка М(х;у) на гиперболе У = Qv'x 2а-а 2 (см.
рис. 56), и найдемразность М N между ординатами прямой и ветви гиперболы:MN =~x - ~vx2аа-а2=~(x -Vx 2 -а=аа2 )=х+аЬv'x 2 -а2= -х-+-";Г=;;2;=_=а::;;:2хуВ 1 (О; Ь).мРис.оLРис.5556Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается;числитель-есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезкаМ N стремится к нулю. Так как М N больше расстоянияd отточки Мдо прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у = ±!2. хаявляются асимптотами гипербольr(11.9).хРис.~Рис.57При построении гиперболы(11.9)58целесообразно сначала построитьосновной прямоугольник гиперболы (см.
рис.57),провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника,-асимптоты гиперболы и отметить вершиныA1и А 2 гиперболы.Уравнение равносторонней гиперболы,асимптотами которой служат оси координат~Гиперболаравны (а(11.9)называется paBHocmopoH:,."eii., если ее полуоси= Ь). Ее каноническое уравнениех 2 _ у2=а2.(11.12)Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у = х и у =-хи, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координатОх'у' (см. рис.58),полученной из старой поворотом осей координат82на угол о: = -~.
Используем формулы поворота осей координат (ихвывод показан на с.63):ху= х' cos о: - у' sin 0:,= х' sin о: + у' cos 0:.Подставляем значения х и у в уравнение( х' cos ( - ~) - у' sin ( _ ~) ) 2(х' sin ( _ ~) + у' cos ( _ ~) ) 2 = а 2 ,_')2 -"21 ( -х , + у ')2"21 ('х + у.
=где k(11.12):"а= "2'22а,Х· уили уk,х' ,а2= т.Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оуявляются асимптотами, будет иметь вид у = К.хДополнительные СВЕ!Аения о гиперболеЕ§]Э'ICсu,е'Н,mрuсumеmом гиперболы(11.9)называется отношениерасстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается .с::Так как для гиперболы еше единицы: с:> а,то эксцентриситет гиперболы больЭксцентриситет характеризует 'Форму гиперболы.ь2е2Действительно, из равенства (11.10) следует, что -='I = -='I - 1, т.
е.> 1.аа~=~ис:=J1+(~/.Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, темменьше отношение 12. ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основаной прямоугольник.Эксцентриситет равносторонней гиперболы равентельно,с: =va.:. =а2+аа2=J2aа22=,;2.Действ и-V2.ФО1Салъ1tые радиусы Т} = J(x + е)2 + у2 И Т2 = J(x - е)2 + у2 для= с:х + а и Т2 = с:х - а, а= -(ЕХ + а) и Т2 = -(ЕХ - а).Прямые х = ±Q называются дире1Сmриеа.ми гиперболы. Так какточек правой ветви гиперболы имеют вид Т}для левой-Т}Едля гиперболы Е> 1,то QЕ<а.
Это значит, что правая директрисарасположена между центром и правой вершиной гиперболы, леваямежду центром и левой вершиной.83-Директрисы гиперболы имеют то же свойствоJ = е, что И директрисы эллипса.22Кривая, определяемая уравнением ~ - ~ = 1, также есть гипербола, действительная ось 2Ь которой расположена на оси Оу, а мнимаяось 2а-на оси Ох. На рисункеона изображена пунктиром.59хРис.259222Очевидно, что гиперболы ~ - ~ = 1 и ~ - ~ = 1 имеют общиеасимптоты. Такие гиперболы называются соnря:нсе'Н:н:ы.мu.11.5.ПараболаКаноническое уравнение параболыПараболоiJ.
называется множество всех точек плоскости, каждая изкоторых одинаково удалена от данной точки, называемой фо-к:усо.м., иданной прямой, называемой дuре-к:mрuсоiJ.. Расстояние от фокусаFдодиректрисы называется nара.м.еmро.м. параболы и обозначается через р(р> О).ДЛЯ вывода уравнения параболы выберем систему координат Охутак, чтобы ось Ох проходила через фокусFперпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к Р, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см.
рис.,60).Ввыбранной системе фокус F имеет координаты (~; о) а уравнение директрисы имеет вид х = - ~, или х+~84= о.Пусть М(х; у)М сF.произвольная точка параболы. Соединим точку-Проведем отрезок М N перпендикулярно директрисе. Согласноопределению параболы М FМ N. По формуле расстояния между=двумя точками находим:22MF=J(x-Ю +у2, а МN=J(х+Ю +(у_у)2.Следовательно,J(хЮ 2 + у2 =-J(х + Ю2.Возведя обе части уравнения в квадрат, получим22х 2 - рх + т+ у2 = х 2 + рх + Т,т. е.(11.13)Уравнение(11.13)назьmается ,.;анон'U'Чес1ОUМ уравнением nарабол'Ы. Па~рабола есть линия второго порядка.ууN+---JL--+....;M (х; у)ххоF(~; О)Рис.60Рис.61Исследование форм параболы по ее уравнению1.В уравнении(11.13)переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осьюcu.м..м.eтpии параболы.2.Так как р> О,то из.(11.13)следует, что х;:::О.
Следовательно,парабола расположена справа от оси Оу.3.При х= О имеем у = О. Следовательно, парабола проходит черезяачало координат.4.При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает. Парабола у2 = 2рх имеет вид (форму), изображенныйна рисункеFМ=r61.Точка0(0; О)называется верш'UноiJ. параболы, отрезокназывается фо,.;альн'Ым радиусом точки М.85Уравнения у2= -2рх,х2= 2ру, х = -2ру2ляют параболы, они изображены на рисункеу(р>О) также опреде62.уху2= -2рхх 2 = -2руРис.62Нетрудно покаэать, что график квадратного трехчлена у+ Вх + С,где Аf== Ах +2о, В и С любые действительные числа, представляетсобой параболу в смысле приведенного выше ее определения.11.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
