Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е. вида F(x; у) = о. Однако, заметим, такой переход невсегда целесообразен и не всегда возможен.Линию на плоскости можно задать ве'Х:торным уравнением fлярныйпеременныйзначениюto= f(t), где t параметр.ускаКаждомусоответствует определенныйвектор То= f(to) плоскости. При изменениипараметра t конец вектора f = f(t) опишетнекоторую линию (см. рис. 31).Векторному уравнению линии fвО= f(t)хРис.31системе координат Оху соответствуютдва скалярных уравнения(10.1),т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический СМblСЛ.
Если точка перемещается на плоскости, тоуказанные уравнения назblваются уравнениями движенuя, а линияmpae'X:mopuei1.точки, параметрt-при этом есть время.Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида.1F(x; у) =о.Конспект лекций по высшей математике. Полный курс65Всякому уравнению видаF(x; у) =о соответствует, вообще говоря,некоторая JЩНИЯ, свойства котор6й определяются данным уравнением(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исклю- 2)2 + (у - з)2 = О соответствует не линия,(2; 3); уравнению х 2 + у2 + 5 = О на плоскости не соответствуетчения . Так, уравнению (ха точканикакой геометрический образ).В аналитической геометрии на плоскости возникают две основныезадачи .
Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая : зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства .На рисунках32-40приведены примеры некоторых кривых иYl\a-заны их уравнения .О/""'---'--'----+-ррr= Rr =2Н· cos<pr=2Н·sin <руRХХ22+у=н'2илиРис.,,ХОО{X=Rcost,у = Rsin t32.
OJCp1PfCHOCmb радиуса R//~~a-~~,,'33.р,/Рис .Х",Ле.мниСJCаmаРис.Бернулли34.ТреXJtеnесmJCоваярозаУравнение в прямоугольных коордив полярных координатах ее уравненатах : (х 2~ие имеет вид rаr=>а·О;+ у2) 2в_ а 2 (х 2 _ у2) = О,полярныхкоординатах:Jcos 2<р.66= а . сов З<р, где а > О.ро >е--+---....рр(а >Ь)(а <Ь)Рис.
35. Улит~а Пас~a.ttЯУравнение в полярных координатах имеет видr =Ь+ а cos <р.уааххРис. 37. АстроидаРис. 36. Полу~уби'Чес~аяпараболаУравнение в прямоугольных коорди222натах: х з +у 3аЗ; параметрическиеУравнение кривой у2 = х З или=уравнения:{ У = а· siпХ = а . сos З t,Зt.р2арРис. 39. Спираль АрхимедаРис. 38. КардиоидаУравнениевполярныхУравнение кривой в полярных кооркоординатахr = а(l +cos<p), где а > о.- частный случай улитки(а = Ь).имеет виддинатахКардиоиданое.Паскаля67r =а<р, где а>О-постоянхРис.40.Цшс,//,оидаПараметрические уравнения циклоиды имеют видклоида-_ (){ y-al-cost,Х = a(t - sin t),где а> о.Ци-это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.10.2.Уравнения прямой на плоскостиПростейшей из линий является прямая.
Разным способам заданияпрямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.Уравнение прямой с угловым коэффициентомПусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не пар аллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точкиN(O;Ь) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой(см. рис.41).< 1Г)Под углом а (О ~ анаклонапрямой пони мается наименьший угол,Уна который нужно повернуть вокругYI---~r.:точки пересечения прямой и оси Охх'против часовой стрелки ось Ох до еесовпадения с прямой.Возьмем на прямой произвольнуюхРис.х41точку М(х; у) (см . рис.41).через точкупараллельнуюNосьN х',Проведемоси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осьюNx' и прямой равен а .
В системе Nx'y точкаМ имеет координаты х и у - Ь. Из определения тангенса угла следуетравенство tg а = '!L:::...!!., т. е. у :::: tg а . х + Ь. Введем обозначение tg а = k,хполучаем уравнение(10.2)которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой.Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х; у), лежащей внеданной прямой, уравнению~Числоk :::: tg аа уравнение(10.2)не удовлетворяют.называется уг,//,овы.м 7Соэффициенmoм прямой,(10.2) -уравнением nрямоiL с уг,//,овы.м 7Соэффициентом.Если прямая проходит через начало координат, то Ьвательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у68= О и, следо:::: kx.Если прямая параллельна оси Ох, то а = о, следовательно, k == tg а = О и уравнение (10.2) примет вид у = ь.Если прямая параллельна оси Оу, то а = ~, уравнение (10.2) те-ряет смысл, т.
к . для нее угловой коэффициент k= tg а = tg ~несуществует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид(10.3)х=а,где а -абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, чтоуравнения(10.2)и(10.3)есть уравнения первой степени.Общее уравнение прямойРассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общемвидеАх+ Ву+Сгде А, В, С-= о,(10.4)произвольные числа, причем А и В не равны нулюодновременно .Покажем, что уравнение(10.4)есть уравнение прямой линии.
Возможны два случая .ЕсЛи ВА =1 о, т. е. х= о, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = о, причем= - ~ . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оуи проходящей через точку (- ~ ; о) .Если В of О, то из уравнения (10.4) получаем у = - ~ х - ~. Этоесть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg аИтак, уравнение(10.4)=- ~.есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением nря.моi1..Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:1) если А= о, то уравнение приводится к в'иду У =-~. Это естьуравнение прямой, параллельной оси Ох;2)3)если Весли С= о, то прямая параллельна оси Оу;= О, то получаем Ах+Ву = о.
Уравнению удовлетворяюткоординаты точки0(0; о),прямая проходит через начало координат.Уравнение прямой. проходящеiii через данную точку в данномнаправленииПусть прямая проходит через точку м(хо; Уо) и ее направлениехарактеризуется угловым коэффициентомможно записать в виде у= kx + Ь, где Ь -k.Уравнение этой прямойпока неизвестная величина.Так как прямая проходит через точку М(хо; уо), то координаты точкиудовлетворяют уравнению прямой: уо69= kxo + Ь.Отсюда Ь= уо -kxo .Подставляя значение Ь в уравнение Унение прямой У= kx + Уа -IУ - Уа =Уравнение= kx+ Ь,получим искомое уравkxa, т.
е.k(x -ха). I(10.5)с различными значениями(10.5)называют такжеkуравнен'UЯ.Ми nу·ч:х;а прямых с центром в точке М(Ха; Уа).·Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.Уравнение прямой, проходящей через две точкиПусть прямая проходит через точки М1 (хl; Уl) и М2 (Х2; У2).
Уравнение прямой, проходящей через точку М1 , имеет вид(10.6)гдеk-пока неизвестныЙ коэффициент.Так как прямая проходит через точку М2 (Х2;У2), то координатыэтой точки должны удовлетворять уравнению(10.6): У2 -Уl = k(X2 -хl).Отсюда находим k == У2 - Уl . Подставляя найденное значение k в уравХ2нение(10.6),-хlполучим уравнение прямой, проходящей через точки М 1. И М2 :У-УI=Х-ХI(10.7)Предполагается, что в этом уравнении хl =1- Х2, Уl =1- У2·Если Х2= хl, то прямая, проходящая через точки М1 (xI; Уl) ИМ2 (Х2; У2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид хЕсли У2У== YI,= YI,прямая= хl.то уравнение прямой может быть записано в видеM 1M 2параллельна оси·абсцисс.Уравнение прямой в отрезкахПусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а; О), а ось Оуточке М2 (0; Ь) (см.
рис.42).уВ этом случае уравнениеу-оЬ-Оь(10.7)-впримет видх-а= О-а'т. е.Это уравнение называется уравнением---::o~-=====~~~~'--:;xnр.я.моi1 в оmрез'/Сах, так как числа а и Ьуказывают, какие отрезки отсекает пряРис.42мая на осях координат.70Уравнение прямой, проходящей через Аанную точкуперпеНАИКУЛЯРНО Аанному векторуНайдемуравнение прямой,проходящей через заданную точкуМо(Хо; Уо) перпендикулярно данному ненулевому векторуn = (А; В).Возьмем на прямой произвольную точку М (х; у) и рассмотримвектор МоМ= (х - - хо; у - Уо) (см.
рис. 43). Поскольку векторыnи МоМ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:n . МоМ =О, то есть1А(х - хо) + В(у - Уо)=0·1(10.8)Уравнениеда'Н,'Н,ую(10.8) называется урав'Н,е'Н,ием nр.я..мо11., nроходящеl1mO't7CY nерnе'Н,дu7СУ.ляр'Н,о зада'Н,'Н,ому ве7Стору.Векторn'tерез за= (А; В), перпендикулярный прямой, называется 'Н,орма.лЪ'Н,ЪtМ ве7Стором это11. nрямо11..Уравнение(10.8)можно переписать в видеАх+Ву +Сгде А и Вбодный(см.-= О,(10.9)координаты нормального вектора, Счлен.Уравнение(10.9)естьобщее= - Ахо -ВУоуравнение-свопрямой(10.4).уo~~~охРис.______~____P_Рис.4344-Полярное уравнение прямойНайдем уравнение прямой в полярных координатах.
Ее положениеможно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямойи угол а между полярной осью ОР и осью[,О перпендикулярно данной прямой (см . рис.проходящей через полюс44).Для любой точки М(т;<р) на данной прямой имеем:прlОМ =р.71С другой стороны,.пр/ ОМ=IOMI . cos(a -<р)а).= r . cos(<p -Следовательно,(10.10)Полученное уравнение(10.10и есть уравнение nря.м.оt1. в nО.I!.ЯрН'ЫХ"0-ординатах.Нормальное уравнение прямойПусть прямая определяется заданием р и а (см .
рис .45) .Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось . Уравнение прямой можнозаписать в видеr'cos(<p-а)-р=О,Т.е.r·соs<рсоsа+rsiп<рsiпа-р=О.Но, в силу формул , связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем:r cos <р =х,r sin <р =у. Следовательно , уравнение(10.10)прямой в прямоугольной системе координат примет вид1х . cos а + у .
sin а - р = 0· 1Уравнение(10.11)(10.11)называется нормал.ьны.м уравнением nря.м.оt1..Покажем, как привести уравнение(10.4)прямой к видуУ множим(10.4)всеуравненияна некоторый множитель л+Получим лАхх(10.11).членылБу+лСнениелБ45::f.О.О. Этоуравнение ДOJDКHO обратиться в урав(10.11).Следовательно, должнывыполняться равенства: лАРис.== sin а,лС== cos а,-р.
Из первых двухМножитель л называется нормирующим Множител.ем. Согласно третьему равенству лС-р знак нормирующего множителя противопо=ложен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.Прu.мер10.2.Привести уравнение -3Х+4у+ 15 =О к нормальному виду.Q Решение : Находим нормирующий множитель л ==1- J(-З)2+ 42-g. Умножая данное уравнение на л, получим искомое нормальноеуравнение прямой: ~x-gy - 3 = О .72•10.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
