Главная » Просмотр файлов » Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006)

Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 11

Файл №1095288 Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006)) 11 страницаД.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288) страница 112020-08-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

е. вида F(x; у) = о. Однако, заметим, такой переход невсегда целесообразен и не всегда возможен.Линию на плоскости можно задать ве'Х:­торным уравнением fлярныйпеременныйзначениюto= f(t), где t параметр.уска­Каждомусоответствует определенныйвектор То= f(to) плоскости. При изменениипараметра t конец вектора f = f(t) опишетнекоторую линию (см. рис. 31).Векторному уравнению линии fвО= f(t)хРис.31системе координат Оху соответствуютдва скалярных уравнения(10.1),т. е. уравнения проекций на оси ко­ординат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.Векторное уравнение и параметрические уравнения линии име­ют механический СМblСЛ.

Если точка перемещается на плоскости, тоуказанные уравнения назblваются уравнениями движенuя, а линияmpae'X:mopuei1.точки, параметрt-при этом есть время.Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравне­ние вида.1F(x; у) =о.Конспект лекций по высшей математике. Полный курс65Всякому уравнению видаF(x; у) =о соответствует, вообще говоря,некоторая JЩНИЯ, свойства котор6й определяются данным уравнением(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исклю­- 2)2 + (у - з)2 = О соответствует не линия,(2; 3); уравнению х 2 + у2 + 5 = О на плоскости не соответствуетчения . Так, уравнению (ха точканикакой геометрический образ).В аналитической геометрии на плоскости возникают две основныезадачи .

Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее урав­нение; вторая : зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства .На рисунках32-40приведены примеры некоторых кривых иYl\a-заны их уравнения .О/""'---'--'----+-ррr= Rr =2Н· cos<pr=2Н·sin <руRХХ22+у=н'2илиРис.,,ХОО{X=Rcost,у = Rsin t32.

OJCp1PfCHOCmb радиуса R//~~a-~~,,'33.р,/Рис .Х",Ле.мниСJCаmаРис.Бернулли34.ТреXJtеnесmJCоваярозаУравнение в прямоугольных коорди­в полярных координатах ее уравне­натах : (х 2~ие имеет вид rаr=>а·О;+ у2) 2в_ а 2 (х 2 _ у2) = О,полярныхкоординатах:Jcos 2<р.66= а . сов З<р, где а > О.ро >е--+---....рр(а >Ь)(а <Ь)Рис.

35. Улит~а Пас~a.ttЯУравнение в полярных координатах имеет видr =Ь+ а cos <р.уааххРис. 37. АстроидаРис. 36. Полу~уби'Чес~аяпараболаУравнение в прямоугольных коорди222натах: х з +у 3аЗ; параметрическиеУравнение кривой у2 = х З или=уравнения:{ У = а· siпХ = а . сos З t,Зt.р2арРис. 39. Спираль АрхимедаРис. 38. КардиоидаУравнениевполярныхУравнение кривой в полярных коор­координатахr = а(l +cos<p), где а > о.- частный случай улитки(а = Ь).имеет виддинатахКардиоиданое.Паскаля67r =а<р, где а>О-постоян­хРис.40.Цшс,//,оидаПараметрические уравнения циклоиды имеют видклоида-_ (){ y-al-cost,Х = a(t - sin t),где а> о.Ци-это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катя­щаяся без скольжения по неподвижной прямой.10.2.Уравнения прямой на плоскостиПростейшей из линий является прямая.

Разным способам заданияпрямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные ви­ды ее уравнений.Уравнение прямой с угловым коэффициентомПусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не пар ал­лельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точкиN(O;Ь) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой(см. рис.41).< 1Г)Под углом а (О ~ анаклонапрямой пони мается наименьший угол,Уна который нужно повернуть вокругYI---~r.:точки пересечения прямой и оси Охх'против часовой стрелки ось Ох до еесовпадения с прямой.Возьмем на прямой произвольнуюхРис.х41точку М(х; у) (см . рис.41).через точкупараллельнуюNосьN х',Проведемоси Ох и одинаково с ней направлен­ную. Угол между осьюNx' и прямой равен а .

В системе Nx'y точкаМ имеет координаты х и у - Ь. Из определения тангенса угла следуетравенство tg а = '!L:::...!!., т. е. у :::: tg а . х + Ь. Введем обозначение tg а = k,хполучаем уравнение(10.2)которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой.Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х; у), лежащей внеданной прямой, уравнению~Числоk :::: tg аа уравнение(10.2)не удовлетворяют.называется уг,//,овы.м 7Соэффициенmoм прямой,(10.2) -уравнением nрямоiL с уг,//,овы.м 7Соэффи­циентом.Если прямая проходит через начало координат, то Ьвательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у68= О и, следо­:::: kx.Если прямая параллельна оси Ох, то а = о, следовательно, k == tg а = О и уравнение (10.2) примет вид у = ь.Если прямая параллельна оси Оу, то а = ~, уравнение (10.2) те-ряет смысл, т.

к . для нее угловой коэффициент k= tg а = tg ~несуществует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид(10.3)х=а,где а -абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, чтоуравнения(10.2)и(10.3)есть уравнения первой степени.Общее уравнение прямойРассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общемвидеАх+ Ву+Сгде А, В, С-= о,(10.4)произвольные числа, причем А и В не равны нулюодновременно .Покажем, что уравнение(10.4)есть уравнение прямой линии.

Воз­можны два случая .ЕсЛи ВА =1 о, т. е. х= о, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = о, причем= - ~ . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оуи проходящей через точку (- ~ ; о) .Если В of О, то из уравнения (10.4) получаем у = - ~ х - ~. Этоесть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg аИтак, уравнение(10.4)=- ~.есть уравнение прямой линии, оно называ­ется общим уравнением nря.моi1..Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:1) если А= о, то уравнение приводится к в'иду У =-~. Это естьуравнение прямой, параллельной оси Ох;2)3)если Весли С= о, то прямая параллельна оси Оу;= О, то получаем Ах+Ву = о.

Уравнению удовлетворяюткоординаты точки0(0; о),прямая проходит через начало координат.Уравнение прямой. проходящеiii через данную точку в данномнаправленииПусть прямая проходит через точку м(хо; Уо) и ее направлениехарактеризуется угловым коэффициентомможно записать в виде у= kx + Ь, где Ь -k.Уравнение этой прямойпока неизвестная величина.Так как прямая проходит через точку М(хо; уо), то координаты точкиудовлетворяют уравнению прямой: уо69= kxo + Ь.Отсюда Ь= уо -kxo .Подставляя значение Ь в уравнение Унение прямой У= kx + Уа -IУ - Уа =Уравнение= kx+ Ь,получим искомое урав­kxa, т.

е.k(x -ха). I(10.5)с различными значениями(10.5)называют такжеkуравнен'UЯ.Ми nу·ч:х;а прямых с центром в точке М(Ха; Уа).·Из этого пуч­ка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.Уравнение прямой, проходящей через две точкиПусть прямая проходит через точки М1 (хl; Уl) и М2 (Х2; У2).

Урав­нение прямой, проходящей через точку М1 , имеет вид(10.6)гдеk-пока неизвестныЙ коэффициент.Так как прямая проходит через точку М2 (Х2;У2), то координатыэтой точки должны удовлетворять уравнению(10.6): У2 -Уl = k(X2 -хl).Отсюда находим k == У2 - Уl . Подставляя найденное значение k в урав­Х2нение(10.6),-хlполучим уравнение прямой, проходящей через точки М 1. И М2 :У-УI=Х-ХI(10.7)Предполагается, что в этом уравнении хl =1- Х2, Уl =1- У2·Если Х2= хl, то прямая, проходящая через точки М1 (xI; Уl) ИМ2 (Х2; У2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид хЕсли У2У== YI,= YI,прямая= хl.то уравнение прямой может быть записано в видеM 1M 2параллельна оси·абсцисс.Уравнение прямой в отрезкахПусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а; О), а ось Оуточке М2 (0; Ь) (см.

рис.42).уВ этом случае уравнениеу-оЬ-Оь(10.7)-впримет видх-а= О-а'т. е.Это уравнение называется уравнением---::o~-=====~~~~'--:;xnр.я.моi1 в оmрез'/Сах, так как числа а и Ьуказывают, какие отрезки отсекает пря­Рис.42мая на осях координат.70Уравнение прямой, проходящей через Аанную точкуперпеНАИКУЛЯРНО Аанному векторуНайдемуравнение прямой,проходящей через заданную точкуМо(Хо; Уо) перпендикулярно данному ненулевому векторуn = (А; В).Возьмем на прямой произвольную точку М (х; у) и рассмотримвектор МоМ= (х - - хо; у - Уо) (см.

рис. 43). Поскольку векторыnи МоМ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:n . МоМ =О, то есть1А(х - хо) + В(у - Уо)=0·1(10.8)Уравнениеда'Н,'Н,ую(10.8) называется урав'Н,е'Н,ием nр.я..мо11., nроходящеl1mO't7CY nерnе'Н,дu7СУ.ляр'Н,о зада'Н,'Н,ому ве7Стору.Векторn'tерез за­= (А; В), перпендикулярный прямой, называется 'Н,ор­ма.лЪ'Н,ЪtМ ве7Стором это11. nрямо11..Уравнение(10.8)можно переписать в видеАх+Ву +Сгде А и Вбодный(см.-= О,(10.9)координаты нормального вектора, Счлен.Уравнение(10.9)естьобщее= - Ахо -ВУоуравнение-сво­прямой(10.4).уo~~~охРис.______~____P_Рис.4344-Полярное уравнение прямойНайдем уравнение прямой в полярных координатах.

Ее положениеможно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямойи угол а между полярной осью ОР и осью[,О перпендикулярно данной прямой (см . рис.проходящей через полюс44).Для любой точки М(т;<р) на данной прямой имеем:прlОМ =р.71С другой стороны,.пр/ ОМ=IOMI . cos(a -<р)а).= r . cos(<p -Следовательно,(10.10)Полученное уравнение(10.10и есть уравнение nря.м.оt1. в nО.I!.ЯрН'ЫХ"0-ординатах.Нормальное уравнение прямойПусть прямая определяется заданием р и а (см .

рис .45) .Рассмо­трим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систе­му, взяв О за полюс и Ох за полярную ось . Уравнение прямой можнозаписать в видеr'cos(<p-а)-р=О,Т.е.r·соs<рсоsа+rsiп<рsiпа-р=О.Но, в силу формул , связывающих прямоугольные и полярные коорди­наты, имеем:r cos <р =х,r sin <р =у. Следовательно , уравнение(10.10)прямой в прямоугольной системе координат примет вид1х . cos а + у .

sin а - р = 0· 1Уравнение(10.11)(10.11)называется нормал.ьны.м уравнением nря.м.оt1..Покажем, как привести уравнение(10.4)прямой к видуУ множим(10.4)всеуравненияна некоторый множитель л+Получим лАхх(10.11).членылБу+лСнениелБ45::f.О.О. Этоуравнение ДOJDКHO обратиться в урав­(10.11).Следовательно, должнывыполняться равенства: лАРис.== sin а,лС== cos а,-р.

Из первых двухМножитель л называется нормирующим Множител.ем. Согласно тре­тьему равенству лС-р знак нормирующего множителя противопо­=ложен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.Прu.мер10.2.Привести уравнение -3Х+4у+ 15 =О к нормаль­ному виду.Q Решение : Находим нормирующий множитель л ==1- J(-З)2+ 42-g. Умножая данное уравнение на л, получим искомое нормальноеуравнение прямой: ~x-gy - 3 = О .72•10.3.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,37 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее