Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Прямая линия на плоскости. Основные задачиУгол межАУ АВУМЯ прямыми и условия параллельностии перпеНАИКУЛЯРНОСТИ АВУХ ПРЯМЫХL1Пусть прямыециентами У= k1 x + Ь 1иL2заданы уравнениями с угловыми коэффи= k2.x + Ь2И У(см. рис.46) .Требуется найти угол <р, на которыйнадоповернутьвлении прямуювположительномL1сечения до совпадения с прямойQнапра-вокруг точки их пере= <р + йlРешение: Имеем й2(теоремао внешнем угле треугольника) или <р= й2 -Ql·tg(Й2tg<p =НоЕсли <рi, тоf:.уL 2•=хtgЙ2-оtgЙlй1)= ----.::'---....:::....~1 tgЙ1 . tgЙ2-+tg й1 = k 1 , tg й2 = k 2 ,поэтомуРис .46(10.12)•откуда легко получим величину искомого угла.Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая.- второй, то правая ·частьформулы~берется по модулю, т. е.Если прямыелыL1(10.12)иL2(10.12)L1иследуеттаковы, чтоL2= о и tg <р = О. Из форму= О, т.
е. k 2 = k1 . И обратно, если прямыепараллельны, то <рk2 - k 1k1tg<p = 11 ~ ~ ~~21·=k2 , тоtg <р= О, т. е.прямые параллельны.Следовательно, условием nарал.лел.ыютии двух прямых является равенство их угловых 'lCоэффи'Циентов:~k 1 = k2 .Если прямые L 1 и L 2 перпендикулярны, то <рctg <р(или k 2= 1:2 k- 1 k1k 2 = О.Отсюда 1 + k1.k2= i. Следовательно,= О, т.
е. k 1 . k 2 = -1= -11)' Справедливо и обратное утверждение. Таким образом,условием nерnенди'ICулярности nрям'ыx является равенствоk 1 . k 2 = -1.Расстояние от точки АО прямойПусть заданы прямаяМо(Хо;Уо) (см. рис .прямой47).Lуравнением Ах+ Ву + С =О и точкаТребуется найти расстояние от точки МО дОL.73QРешение: Расстояниеd от точки Мо до прямой L равно модулю проM 1 (XljYl) - произвольная точка прямой L,екции вектора М 1 Мо , гдеуонанаправлениеn=(А; В). Следовательно,=х= -=----=---y-:~A'=:<=2=+=;B::::;2~----='=47Так как точка М1 (хl j Уl) принадлежитпрямойСвектораVA2 + В2IAxo + ВУо - АХl - ВУ11LРис .нормальногоL,то АХl+ ВУl + С= О, т.
е.= - АХl - ВУ1. Поэтомуd = IAxo+ ВУо + CI';А2 +В2(10.13)'•что и требовалось получить.Прu.мерНайти расстояние от точки Мо (2;10.3.3х+ 4у -QРешение: По формуле22 =-1)до прямойО.(10.13)получаем•_13·2+4·(-1)-221_ 20_d- - - 4.';9 + 16§ 11.11.1.5ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИОсновные понятияРассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координатАх 2+ 2Вху + С у 2 + 2Dx + 2Еу + FКоэффициенты уравнения-= О.(11.1)действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля . Такие линии называются лuн.u.ям,u (х;рив'ым,и) второго nор.яд'/Са. Ниже будет установлено,что уравнение(11.1)определяет на плоскости окружность, эллипс , гиперболу или параболу.
Прежде, чем переходить к этому утверждению,изучим свойства перечисленных кривых .74Окружность11.2.~Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напо-Rмним, что О'ICрY3fCносmью радиусас центром в точке МО называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условиюМоМ= R.Пусть точка МО в пря-моугольнойОхуимеетсистемекоординаткоординатыМ(х;у)хо , Уо,произвольнаяокружности (см . рис .уаточка48).Тогда из условия МоММ(х;у)= R по-лучаем уравнениеJ(x - хо)2+ (у -110)2= R,то естьоУравнениюют(11.2)координатыхРис .удовлетворялюбой48точкиМ(х; у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакойточки, не лежащей на окружности.Уравнениеназывается 'l:"ан.он.'U'Чес,;;'Uм уравн.ен.ием о,;;ру:ж.н.о(11.2)сти.В частности, полагая хо=О и уо=Уравнение окружностипримет вид х 2+ у2 -(11.2)о, получим уравнение окруж= R2 .+ у2ности с центром в начале координат х 2после несложных преобразований2хох - 2уоу + Х6 + У5 - R 2уравнения с общим уравнением(11.1)= о.
При сравнении этогокривой второго порядка легкозаметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:1) коэффициенты при х 2 и у2 равны Me)j<дy собой;2) отсутствует член, содержащий произведение хутекущих координат.Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравненииния В=О и А=С(11 .1)значе=F О, получимАх 2+ А у 2 + 2Dx + 2Еу + F= о.Преобразуем это уравнение:х22ЕDF+у +2Ах +2АУ + Ат. е.75= о,(11.3)т. е.+(хD)2А(+уОтсюда следует, что уравнениевииЕ}f2"2+2D - АF}f2">+Е2Е)2А= А2+D2F(11.4)А2 - А·определяет окружность при усло-(11.3)о. Ее центр находится в точке01 ( - D.А' - Е)А ' арадиусR=Б2А2+D2FА 2 - А·Если же ~ + ~ - ~ = о, то уравнение (11.3) им~т видЕму удовлетворяют координаты единственной точки 01 ( - ~; - ~).
вэтом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевойрадиус).Если2Е}f2"D2 - F+ А!А <и равносильное уравнениео, то уравнение(11.4), а следовательно,(11.3), не определяет никакой(11.4) отрицательна, а леваякак правая часть уравнениялинии, такчасть-цеотрицательна (говорят: «окружность мнимая»).11.3.ЭллипсКаноническое уравнение эллипса~ЭJtJl.UnСО.м называется множество всех точек плоскости, суммарасстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фО'ICуса.мu, есть величина постоянная, большая,чем расстояние между фокусами.Обозначим фокусы черезF1иF2 ,расстояние между ними через 2с, асуммурасстоянийотпроизвольнойточки эллипса до фокусов(см.
рис.Рис.49).-через 2аПо определению 2а> 2с,т. е. а> с.49Длявывода уравнения эллипсавыберем систему координат Оху так,чтобы фокусыF1иF2лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезкакоординаты:F1 (-с; о)иF 1 F 2 . ТогдаF 2 (Cj о).76фокусы будут иметь следующиеПусть М(х; у)произвольная точка эллипса. Тогда, согласно-определению эллипса, М Р1+ М Р2= 2а, т.
е.J(x + с)2 + у2 + J(x - с)2 + у2= 2а.(11.5)Это, по сути, и есть уравнение эллипса.Преобразуем уравнение(11.5)к более простому виду следующИмобразом:х2J(x + с)2 + у2 = 2а - J(x - с)2 + у2,+ 2сх + с2 + у2 = 4а 2 - 4а . J(x - с)2 + у2 + х 2 aJ(x - с)2+ у2 = а 2- сх,а 4 - 2а 2 сха 2 (а 2 - с2).==а 2 х 2 _ 2а 2 сх + а 2 с2 + а 2 у 2(а 2 _ с2 )х 2 + а 2 у 2Так как а> С,то а 2-с2> о.+ с2 + у2,+ с2 х 2 ,Положим1а2-с2 = b2 ·1Тогда последнее уравнение примет вид Ь 2 х 2х2~~2сх+ а2 у 2= а2 Ь2 илиу2+ ь2(11.7)= 1.Можно доказать, что уравнениеуравнению. Оно называется(11.6)(11.7)равносильно исходному7I:анонu'ЧеС7l:UМуравнениемэ.lt-.ltиnса.Эллипс-кривая второго порядка.Исследование формы эллипса по его уравнениюУстановим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.1.Уравнение(11.7)содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х; -у), (-х; у), (-х; -у).
Отсюда следует, что эллипс сим-метричен относительно осей ОхУ Bl(Ojb)и Оу, а также относительно точки0(0; о),которую называют цен-тром эллипса.2.хА2( -а; О)Найдем точки пересеченияэллипса с осями координат.ложив У=ПоО, находим две точкиРис.50А 1 (а; о) и А 2 ( -а; о), в которых осьОх пересекает эллипс (см. рис.
50). Положив в уравнении(11 .7)х= о,находим точки пересечения эллипса с осью Оу: В 1 (о; Ь) и В 2 (0; -Ь).Точки A 1 , А 2 , В 1 , В 2 называются вершинами эллипса. Отрезки A 1 A 2 иВ 1 В 2 , а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно большой ималой осями эллипса. Числа а и Ь называются соответственно большойи малой полуосями эллипса.з. Из уравнения(11.7)следует, что каждое слагаемое в левой части2' 2не превосходит единицы, т. е.
имеют место неравенства ?или -а:(Х :( а и -Ь:(у:( 1 и ~ :( 1:( Ь. Следовательно, все точки эллипса лежатвнутри прямоугольника, образованного прямыми х= ±а, У = ±Ь.224. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых? и ~равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. еслиIxlвозрастает, тоlylуменьшается инаоборот.Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную нарис.50(овальная замкнутая кривая).Дополнительные сведения об эллипсеФорма эллипса зависит от отношения Q.
При Ь = а эллипс превраащается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид х 2 +у 2 =а 2 . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .f..=а~Отношение ~ половины расстояния между фокусами к большойполуосиэллипсаназываетсяЭ7Ссценmрuсumеmо.мэJtJtunсаиобозначается буквой с; (<эпсилоН»):Iс; = ~, Iпричем(11.8)0< с; < 1, так как О < с < а.(11 .8)С учетом равенства(11.6)формулуможно переписать в видее = Ja'a- Ь' = Ja' :/ = Jl- (~)',т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
