Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 6
Текст из файла (страница 6)
А- 1 ;= (AT)-l .Прu.мер3.1 .Найти A- 1 , если А = (_~ ~).IНаходим detA: detA = I_~ ~ = 2 + 3 = 5 i- О.2) Находим А· : A ll = 1, А 21 = -3, A l2 = -(-1) = 1, А 22 = 2,поэтому А· = С -~).QРешение:=1)3) Находим A-I: А- 1=! ( 1-32)= (_5~l- _5;3) .Проверка:А. А- 1 = (2 з) . (~-~)-1 1Прu.мер3.2.15~5(~ + ~ -~ + ~) = (1 О) = Е . •_15+ 15;!5+ ~5О 1Определить, при каких значениях л существует матрица, обратная данной:26Q Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Найдемопределитель матрицы А:~A=1-22л31О2=3 -О+ 2л -+ 2л12 - О= 4л -9.1Если 4л - 9 f:. о, т. е. л f:. ~, то ~A f:. О, т. е. матрица А невырожденная,имеет обратную.Прu,м,ер3.3.еслиQ•Показать, что матрица А является обратной для В,А= (:123i) , В= (~з-35-2~2)Решение: Найдем произведение матриц А и В:А·В=(~з(: ~)123.А~2) =-3 + 5 - 2-3 + 10 - 63-3+13-6+3( 3-9+6Аналогично В-35-2~ =~:~) = (~ ~ ~)1 = Е.-3 + 15 - 12= Е.1-6+6ООСледовательно, матрица А является обратнойдляВ.3.3.•Ранг матрицыРассмотрим матрицу А размераВыделим в нейkстрок иkmхn.столбцов(k~min(mjn)).Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составимопределительk-ro порядка.
Все такие определители называются ми'Норами эmоu маmри'Ц'Ы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го.порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить С:;. C~ штук,где C~ = k!(nn~ k)! - число сочетаний из n элементов по k.)27~ 'НаибоЛ!;,ший из порядков миноров данной матрицы, отличных отнуля, Iiазывается рангом матрицы.
Обозначается т, т(А) илиrangA.Очевидно, что О ~mr~min(m; n),гдеmin(m; n) -меньшее из чиселиn.~Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называетсябазисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.Прu.мер3.4.Найти ранг матрицы:АQ=23(1ОО46О-3Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-гопорядка, отличный от нуля I ~ _~ I = -15 i- О. Значит, т(А) = 2.Базисный минор стоит на пересечении2истроки с31и3Отметим cBoi1cmBa ранга .матрицы:столбцами .•1.При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.2.Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы неизменится.3.Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованияхматрицы (см. с.18).Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом OGHOBaH один из способов вычисления ранга матрицы.Пример3.5.Найти ранг матрицыA~ (~ ~ ~1используя результаты примераQРешение: В примере1.4:),1.4.показано, чтоA~ (~ ! Н)то естьА ~ (~ ~ ~ ~).Таким образом, ранг матрицы А равен т(А)28= 2.•§ 4.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ4.1.'Основные понятияCucmeMOU линейных а.лгебраи"tес'Х:их уравнениu, содержащей туравнений иnнеизвестных, называется система вида+ a12x2 + ... + alnX n = b1 ,al1Xl{~~~~~.~. ~~~~.2. ~ : : : .~.~~~~~. ~ .~2.'...amlXlгде числа aij,числа bi -~i+ а т 2 Х 2 + ... + атnх n = Ьт ,= 1, т, j = 1, nназываются 'Х:оэффи'Ц'U.ентам'U. системы,свободн'ыии "tленами. Подлежат нахождению числа Х n .Такую систему удобно записывать в компактной .маmрuчноitформеЗдесь А матр'U.'ЦеU:матрица коэффициентов системы, называемая основноuА (.~~.~ ~~~=...Х-в~(x~':n~)-..
.ат 2атl~.~~.)..... ...: ..а тnвектор-столбец из неизвестных Xj,(I) -вектор-столбец ит свободных члена. Ь;_Произведение матриц А· Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х(n штук).Расширенноu матрицей системы называется матрица А системы,дополненная столбцом свободных членовА=гa12·· .al n~~~а22".а2nатlа т 2".а тnРешением системы называется... , Х,>= сп,nЬ,2 )ЬЬтзначений неизвестных Хl =Cl, Х2 =С2,при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в29виде матрицы-столбцаС:= (~:).сп~Система уравнений называется coeoМecmHoil, если она имеет хотябы одно решение, и HecoeoМecmHoil, если она не имеет ни одногорешения'.Совместная система называется оnределе'Н/ной, если она имеетединственное решение, и 'Н,еоnределе'Н:ной, если она имеет более одногорешения.
В последнем случае каждое ее решение называется 'Част'Н,ым'реше'Н,ием системы. Совокупность всех частных решений называетсяобщим реше'Н,ием.Решить систему -это значит выяснить, совместна она или несовместна, Если система совместна, найти ее общее решение .Две системы называются Э1>вивале'Н,т'Н,'Ыми (равносильными), еслиони имеют одно и то же общее решение .
Другими словами, системыэквивалентны , если каждое решение одной из них является решениемдругой, и наоборот.~Эквивалентные системы получаются, в частности, при элеме'Н,тар'Н,ЫХ nреобразова'Н,'ШIХ системы при условии, что преобразованиявыполняются лишь над строками матрицы .Система линейных уравнений называется од'Н,ород'Н,ой, если все свободные члены равны нулю :{ ~~l.~~ .~.~~~~~.~.::: ~ .~l.~~~. ~" ~'a,mlXl+ ат2Х2 + ... + атnх..:= о.Однородная система всегда совместна, так как Хl= Х2 = ... = Х"=Оnнеявляется решением системы. Это решение называется 'Н,улевым илитривиаль'Н,'ЫМ.4.2.Решение систем линейных уравнений.Теорема Кронекера-КапеллиПусть дана произвольная система т линейных уравнений сизвестными{:а·m::l:X:l·: ::::: ~ ••.:::::: ~::.: ..+ а т 2 Х 2 + ... + атnх = Ь т ."зоИсчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы даеттеорема Кроне-к;ера-Каnелл:u.Теорема4.1.
Система линейных алгебраических уравнений совместнатогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равенрангу основной матрицы .Примем ее без доказательства.Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.Теорема4.2.Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.Теорема4.3.Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений .Правило решения проиэвольной системылинейных уравнений1.Найти ранги основной и расширенной матриц системы . Еслит(А) -:j:. тех), то си стема несовместна.I2.
Если т(А) = тех) = т, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка т (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы , называется базисным). Взять т уравнений, изкоэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить) . Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальныеn -т неизвестных называют свободн'Ыми и пере носят в правые частиуравнений .3.Найти выражения главны х неизвестных через свободные . Получено общее реш ение системы.4.Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующи е з начения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений .Прu.мер4.1.И сследовать на совместность системуХ+ у{ 3Х= 1,+ 3у =31-2.<)Решение:А = (; ;), т(А) = 1,-_(1 1 ~2)'А 3теА) = 2 (~ = I~3_; Iтf о) .Таким образом, т(А) тf т(А), следовательно, система несовместна.ПР1.l.,м,ер4.2.Решить систему{Хl...,..+ Хз + Х4 = 1,+ Хз - Х4 = -1,2Х2 + Хз + ЗХ4 = З.2Х2Хl - 2Х2Хl -= т(А) = 2.
Берем два первых уравнения :<) Решение: т(А){ Хl2Х2 +ri;+x~l = 1,= -1.Хз + Х4 = 1 - Х! + 2Х2,Хз -Х4 = -1-х! +2Х2.~ = 111-Х! - 2Х2 +~~а_-=.:r.А.!{~2 = I ~Следовательно, Хзнапример, ХlХ2•= О,= -ХlХ2= О,+ 2Х2,Х4_11 1= -2 тf О,1--1 -= 1 -Х! + 2Х21_Х!+ 2Х2-2-.общее решение. Положив,получаем одно из частных решений : Х!= О, Хз = О; Х4 = 1.= О,•4.3. Решение невырожденных линейных систем.Формулы КрамераПусть дана системаallX!{nлинейных уравнений с+ а12 Х 2 + ... + alnX nnнеизвестными= b1 ,~~l.~~ .~. ~~~~~.~. ~ .~~~~~. ~ .Ь.2.':::аn l Х l+ аn2Х2 + ... + аnnх nили в матричной форме А.Х == ЬnВ.Основная матрица А такой системы квадратная .
Определительэтой матрицы32называется оnределителе,м, cucrneMbl. Если определитель системы отличен от нуля, то система назьrnается нев'Ырroteде'Н:н.оiJ..Найдем решение данной системы уравнений в случаеD.~ О.Умножив обе части уравнения А . Х = в слева на матрицу А -1,получим А- 1 . А· Х = A- 1 . В. Поскольку А-I . АЕ и Е · Х = х, то=(4.1)Отыскание решения системы по формуле(4.1)называют ,м,атри'ЧН'ЫМ сnособо,м, решения системы.Матричное равенствозапишем в виде(4.1)(~::..~::..........А 2nA 1n..,·ш~::)А nnто естьОтсюда следует, чтоХ n-НоA ll Ь 1A 1n b1+ А 2n Ь2 + ... + АnnЬ n+ А 21 Ь 2 + ... + А n1 ЬnD.есть разложение определителяпо элементам первого столбца .
ОпределительделителяD.D.lполучается из опрепутем замены первого столбца коэффициентов столбцомиз свободных членов .И так,Хl=~D. .,Аналогично: Х2D." где D.2= tr'получен изD.путем замены второгостолбца коэффициентов столбцом из свободных членов; хз... ,Х n --~D. .2 Конспеп лекциА по высшей математике. ПоЛНЫЙ курсзз=~" "~Формулы(4.2)называются формуламu Крамера.Итак, невырожденная системаnлинейных уравнений сnнеиз~вестными имеет единственное решение, которое может быть найденоматричным способомПрuмер4.3.4.4.-либо-по формулам КрамераРешить системуQ Решение: 6.= 21Значит, Хl =(4.1){2ХlХl-(4.2) .Х2 = О,+ 3Х2= 7.~ 1=14.-13 1=7#0,1•+= 1, Х2 = 1/ =2.Решение систем линейных уравнений методомГауссаОдНЙм из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является м,етод Гаусса, состоя- ,щий в ПОСЛ,едовательном исключении неизвестных .Пусть дана система уравненийallXl{+ a12X2 + ...
+ alnX n = b1 ,~~l.~~ .~.~~~~~.~.'.'.'. ~ ~2.~~~.~ ~~:(4.3)amlxl +а т 2 Х 2+ ... +атnх n = Ь т ·Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов . На первом этапе (прямой ход) система приводится к стуnен:ч,атом,у (В частности, треуголъном,у) виду.Приведенная ниже система имеет ступенчатый видallXl{+ a12X2 + ... + alkxk + ... + alnX n = b1 ,а22Х2 + ... + a2k X k + ... + а2пХn = Ь 2 ,..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
