Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 38
Текст из файла (страница 38)
•~Прu.мер 37.2. Вычислить интеграле2J х r~ х'ее2О Решение:Jdxе2- - = ln 11nxll = ln2 -ln 1 = ln 2.xlnxее264•§ 38. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛАРассмотрим основные свойства определенного интеграла, считаяподынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [а; Ь). При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулуНьютона-Лейбница.Если е1.[ajb],nостоя'Н'Ное 'Число и фу'Н7С'ЦUЯ-тоьи'Нтегрируема 'Наf(x)ьJе · f(х) dxJлх) dx,е·=(38.1)ат.
е. постоянный множитель е можно выносить за знак определенногоинтеграла.о Составим интегральную сумму для функции е·nn;=1;=1L е· f(е;)6.х; = е· LnТогдаlimn-+ооL: е .f(x)6.x;i=1= е·n-+ооL:Имеем:f(e;)"6.x;.ьnlimf(x).е·f(e;)i=1Jf(x) dx. Отсюдаавытекает, что функция е·формулаf(x)(38.1).•Если фУ'Н7С'Ции Л(х) и2.интегрируема на [а; Ь) и справедливаи'Нтегрируем?>1 'На [а; Ь], тогда и'Нтеf2(X)грируема 'На [а; Ь] их сумма иЬььJ(11 (х) + f2(X)) dx Jл (х) dx + Jf2(X) dx,=(38.2)т. е.
интеграл от суммы равен сумме интегралов.ьnJ(Л (х) + f2(X)) dx = nl~~ L(ll (ei) + f2(e;))6. x iл (ei)6. x +f2(ei)6. x i Jf1(X) dx + Jf2(X) dx.=i=1n= n-toolim "L.-Jn4(Х) ~2•распространяется на сумму любого конечного числааJf(x) dx = - Jf(x) dx.аЬi=1слагаемых.ь3.=lim "i;=1СвойствоЬnь265Это свойство можно принять по определению. Это своЙство такжеподтверждается формулой Ньютона-Лейбница.ьJf(x) dxа= F(b) - F(a)= -(F(a) -=-F(b»а4.JЛх) dx.ьЕсли фу'Н:х;'Цu.яf(x)интегрируема на [а; Ь] и аьс< с < Ь,тоЬJf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx,аа~(38.3)ст.
е . интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частямэтого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).О При разбиении отрезка [а; Ь] на части включим точку с в число точекделения (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; Ь] на части). Если с= хm ,то интегральную сумму можно разбить на две суммы:nnmКаждая из написанных сумм является интегральной соответственнодля отрезков [а; Ь], [а; с] и [с; Ь].
Переходя к пределу в последнем равенстве приn -tСвойство00 (л-t О), получим равенство (38.3).•4 справедливо при любом расположении точек а, Ь, с (счиf(x) интегрируема на большем из получающихсятаем, что функцияотрезков) .Так, например, если а< Ь < с,стоЬсJf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx.ааЬОтсюдаьсссЬJf(x) dx Jf(x) dx - Jf(x).dx JЛх) dx + Jf(x) dx=а=аЬ(использованы свойства5.4иас3).«Теорема о среднем». Если фу'Н:х;'Цu.яf(x)непрерывна на отрез",е[а; Ь), то существует то'ч:х;а с Е [а; Ь] та",ал, -чтоЬJf(x) dx= f(c) . (Ь - а).а266QПо формуле Ньютона-Лейбница имеемь! f(x) dx = F(X)I: = F(b) - F(a),GгдеF'(x)= f(x).Применяя к разностиF(b) - F(a)теорему Лагранжа(теорему о конечном приращении функции), получимF(b) - F(a)Свойствопри f(х);;;:5= F'(c) .
(Ь -(<<теорема о среднем»)а) =f(c) . (Ь -а).•УО имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с Е (а; Ь),площади прямоугольника с высотойи основанием Ьа (см. рис.-f(c)Числоь1f(c)169).= Ь _ а! f(x) dxоаРис.G~называется средним значением функции6.Если фунх:v,uясf(x)f(x)ьХ169на отрезке [а; Ь].сохран..яет з'Нах: 'На отрезх:е [а; Ь], где а<Ь,ь! f(х) dx имеет тот же з'Нах:, 'Что и фу'Нх:v,uя. Так, еслиf(x) ;;;: О на отрезке [а; Ь], то ! f(x) dx ;;;: о.то и'НтегралGьGQПо «теореме о среднем» (свойство5)ь! f(x) dx= f(c) .
(Ь -а),Gгде с Е [а; Ь]. А так какf(x) ;;;:О для всех х Е [а; Ь], то иf(c) ;;;:о,Ь-а> о.ьПоэтому f(с) . (Ь - а) ;;;: о, т. е.! f(х) dx ;;;: о.а7.(а<Нераве'Нство между 'НеnрерЬtв'Н'ЫМи фунх:v,'U.Ями 'На отрезх:е [а; Ь],Ь) мож'Но и'Нтегрировать. Так, еслиьтоь! !I (х) dx : : :; ! f2(X) dx.G•G267f1 (х) : : :; f2(X)при Х Е [а; Ь],о Так как< Ь,Л(Х) ~ О, то при аJ2(X) -согласно свойству6, имеемьJи2(Х) - fI (х)) dx ~ о.аИли, согласно свойствуь2,ььJJ2(x)dx - JfI(x)dx ~ О,аьJfI (х) dx ~ JJ2(X) dx . •т.
е.аааОтметим, что дифференцировать неравенства нельзя.8.Оценка интеграла. ЕС/l.и т и Ми наиБО/l.ъшее зна'Чен"UЯ фун'Х:ции у-= J(x)соответственно наu.м.енъшеена отрезке [а; Ь], (а< Ь),то,Ьт(Ь - а) ~JJ(x) dx ~ М(Ь - а).(38.4)ао Так как для любого х Е [а; Ь] имеем т ~свойству7,имеемJ(x)ь~ М, то, согласноььJтdx ~ JJ(x)dx ~ JMdx.уаааПрименяя к крайним интеграламсвойствот(Ь-а) ~хРис.5, получаем• ьJJ(x) dx ~ М(Ь-а) .
•Если J~x) ~ О, ТО свойство 8170иллюстрируетсягеометрически:площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [а; Ь], а высоты равны т и М(см. рис.9.170).Моду/l.Ъ оnреде/l.енного интегра/l.а не nревосходит интегра/l.а отм,оду.л..я.
nодъmтегра/l.ЬНОi1. фун'Х:ции:li л·) dxl ,;О Применяя свойство~IJ(x)l,i1/(')1ш; а < Ь.7 к очевидным неравенствам -IJ(х)1 ~ J(x) ~получаемььь-JIJ(x)1 dx ~ JJ(x) dx ~ JIJ(x)1 dx.аааОтсюда следует, чтоliJ(x) dxl~iIJ(x)1 dx.•10.Проuзводна.я определенного uнтеграла по nеременному верхнему пределу равна nод·ынтегральноil. фуюсцuu, в"omopoil.nеременна.яuнтегрuрованu.я заменена этим пределом, т. е.(ff(t) d}~ f(x).О По формуле Ньютона-Лейбница имеем:zJf(t) dt = F(t)l: = F(x) - F(a).аСледовательно,(f Ю)d}~ (F(x) - F(a»~ ~ F'(x) - О ~ f(x).•Это означает, что оnределенн'ЫiI.
uнтеграл с nере.менн'ЫМ верхнимпределом есть одна uз nервообразных nод'Ынтегралъноil.фун"v,uu.§ 39.39.1.ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАФормула Ньютона-ЛейбницаПростым и удобным методом вычисления определенного интеграьлаJf(x) dx от непрерывной функции является формула НьютонааЛейбница:ьJf(x) dx = F(x)l: = F(b) - F(a).аПрименяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функцииF(x)для подынтегральной функцииJf(x).7гНапример,sinxdx = -cosxl~ = -(СОSJr-cosO) = 2.оПри вычислении определенных интегралов широко используетсяметод замены переменной и метод интегрирования по частям.39.2.Интегрирование подстановкой(заменой переменной)ьПусть для вычисления интегралаJJ(x) dx от непрерывной функации сделана подстановка х= <p(t).Теорема39.1.Если:1) функция х = ,<p(t) ~ ее производная х l = <pl(t) непрерывны при. t Е [aj,8];2) множеством значений функции х<p(t) при t Е [а,,8] является=отрезок [а; Ь];<р(а) = а и <р(,8) = Ь,3)тоьiЗJJf(x) dx =f(<p(t)) .
<pl(t) dt.(39.1)аа ПустьF(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [а; Ь]. Тогда поьформуле Ньютона-ЛейбницаJf(x) dx=F(b) - F(a). Так кака(F(<p(t)Y = f(<p(t)) .<pl(t), то F(<p(t)) является первообразной для функf(<p(t)) .
<pl(t), t Е [а; ,8]. Поэтому по формуле Ньютона-ЛейбницацииимеемiЗJf(<p(t))· <pl(t) dt = F(<p(t))I~ = F(<p(,8)) - F(<p(a)) =ЬQ= F(b) - F(a) =Jf(x) dx.•аФормула(39.1)называется формуло11 замены nеременно11 в определенном uнтеграле.Отметим, что:1)при вычислении определенного интеграла методом подстановкивозвращаться к старой переменной не требуеТСЯj2)часто вместо подстановки х= <p(t)при меняют подстановкуt== g(x)j3)не следует забывать менять пределы интегрирования при заменепеременных!2Прu,м,ер 39.1. ВычислитьJx J4 - х dx.22О<)Решение: Положим хt = О; если х = 2, то2о= 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt.
Если х = О, то~. Поэтому1Т/22Jx J4-хt=2dх=J 4siп tJ4-4siп t.2соstdt=22о270~/2= 16~/2~/2J sin tcos tdt = 16 J ~ sin 2tdt = 4 J ~(1- cos4t) dt =222ооо= 2 (tl~/2 - ~ sin 4tl~/2) = 2 (~ - о) = ?Г.•39.3. Интегрирование по частямТеоремаЕсли функции39.2.u=и(х) и= v(x)vимеют непрерывные производные на отрезке [а; Ь].
то имеет место формулаьJudvь= uvl: -аQJvdu.На отрезке [а; Ь] имеет место равенствовательно, функция,u'v + uv'.uv(39.2)а= u'v + uv'.(uv)'Следоесть первообразная для непрерывной функцииТогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:ьJ(u'v + uv') dx = uvl: ·аСледовательно,ььJv . и' dx + Juv' dx= uv1:===>ааь===>ьаФормулаььJvdu + Judv = uvl: ===> Judv = uvl: - Jvdu.
•ааа(39.2) называется ФОРМУЛОЙ u'Нmегрuровшн:uя по 'Частямд/IЯ оnределе'Н'Ного tmmеграла.'Jxlnxdx .еПрu.мер 39.2. Вычислить1а Решение: Положим= lnxdv = xdxu[~dxdu =V -271L22].Применяя формулуе.получаем(39.2),е212xlnxdx = ~ .lnxle - / ~. -dx212 х/1=1е21 х21ее2е211= 2 - О - "2 . "2 1 = 2 - 4 + 4" = 4" (е + 1).2•11"Прu.мер 39.3. Вычислить интеграл / xsinxdx.о<)Решение: Интегрируем по частям.
Положим[ иdv==хsinхdx= d3;===}du===}v = - cos х].Поэтому11"J= -xcosxl~ + /= -1Г. (-1) + О + sinxl~ = 1Г.cosxdx•О39.4. Интегрирование четных и нечетных функцийв симметричных пределахПусть функцияf(x) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном= о. Докажем, чтоотносительно точки ха/f(x)dx =-аj 1(;){2.оесли f(x) - четная функция,dx,О,если(39.3)нечетная функция.f(x) -а Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; О] и [О; а]. Тогда по свойству аддитивностиаОf(x) dx = //-ааf(x) dx+/-аВ первом интеграле сделаем подстановку хо/оf(x)dx-а=- /(39.4)f(x) dx.О=-t.Тогдааf(-t)dt=/ааf(-t)dtО=/f(-x)dxО(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначенияпеременной интегрирования»).
Возвращаясь к равенству(39.4),полу-чима/-ааf(x) dx=/оаf( -х) dx+/аf(x) dxО= / и( -х) + f(x)) dx.о272(39.5)Если функцияесли функцияf(x) четная и(-х) = f(x», то f(-x) + f(x) = 2f(x);f(x) нечетная и( -х) = - f(x», то f( -х) + f(x) = о.Следовательно, равенство(39.5)принимает вид(39.3).•Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что3J cos х· sin xdxJ е-1(23=о,• sinx dx = о.-3-1(§ 40.х2НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫьОпределенный интегралJf(x) dx, где промежуток интегрироваания [а; Ь] конечный, а подынтегральная функцияf(x)непрерывна наотрезке [а; Ь], называют еще собственным 'lmтеграл.ом.~Рассмотрим так называемые несобсmвеннuе uнmегрa.ltu, т. е.определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нембесконечный разрыв.40.1.Интеграл с бесконечным промежуткоминтегрирования (несобственный интеграл I рода)Пусть функцияf(x)непрерывна на промежутке [а;+00).ЕслиьJf(x) dx, то его называют несобственным интегралом первого рода аи обозначают J f(x) dx.существует конечный предел limЬ~+OO+00аТаким образом, по определениюЬ+00Jf(x) dx=limЬ~+OOаJf(x) dx.аВ этом случае говорят, что несобственный интеграл+00J f(x) dx схоадится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
