Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 42
Текст из файла (страница 42)
198).Прu.м.ерх 2 +у2:::;тяжести полукругауQРешение: Очевидно(ввидусимметриифигуры относительно оси Оу), что х су= "/Ю-х 2R= О.Площадь полукруга равна 1г ~2. Находим Вх:Sx1= -['2-RR! (Jю - х )22RоРис.dx =198-п12х IR133RR2 3= 2['(Rх - 3) -п = 2['(R + R - 3 - 3) = ['. з R .332973хСтало быть,Ус2,R 3Sx4R= ,S = з,тг~2 =:3';'•Итак, центр тяжести имеет координаты С ( О; ~~) .§ 42.ГIРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАьПусть требуется найти определенный интегралJf(x) dx от непреаРЫБНОЙ функцииf(x).Если можно найти первообразную Р(х) функциито интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:f(x),ьJf(x) dx=Р(Ь) - Р(а).аНо отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции.
В этих и другихслучаях (например, функция У= f(x)задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла-формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные нагеометрическом смысле определенного интеграла.42.1.Формула прямоугольниковПусть на отрезке [а; Ь], а<Ь, задана непрерывная функцияf(x).ьТребуется вычислить интегралJf(x) dx, численно равный площадиасоответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этойтрапеции, т.
е. отрезок [а; Ь], на n равных частей (отрезков) длины'~Ь- а== xiхl, Х2,···, Х N = Ь.n(см. рис.199).В середине Ciнату'Yi = f(Ci)- xi-] (шаг разбuе'Н:u.я) с помощью точек хоМожно записать, что= Х >-· 12+ Х >·xi=а,= ХО + h · i , где i = 1,2, ... , nкаждого такого отрезка построим орди-графика функции У= f(x). Приняв эту ординату заh . fj;.высоту, построим прямоугольник С площадью298у,,,,,УI ,'СIО,'С2а=ХОХIС;Х2Рис.Тогда сумма площадей всех'СпХХ;Xi-I199прямоугольников дает площадь стуnпенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла- + - + ... + -ьJ () dx~ h(Y1Формула(42.1)JхУ2nЬ-а" (Xi-l+Хi)Уn) = --:;;:- L~J2(42.1).i=1аназывается форм,у.лоU средних nр,ям,оугоJt"Ьни?Сов.Абсолютн.ая nогрешн.остъ приближенного равенства(42.1)оценивается с помощью следующей формульr:где М2 -(Ь - а)З .
М2'24n 2I~RIn-...:::IJ//(X) I нанаибольшее значениеIRnI ~!f(x) dx -ь: аt,отрезке [а; Ь],f(X'-'2+х') IОтметим, что для линейной функции и(х)= kx + Ь)дает точный ответ, поскольку в этом случаеJ//(x) =42.2.формула(42.1)о.Формула трапецийФормулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.Разобьем отрезок [а; Ь] насциссы точек деления аУ1,... ,Уn -= Ха,nравных частей длины hХ1, Х2, ... ,Ь= хn(рис.= Ь -n а.200) .АбПусть Уа,соответствующие им ординаты графика функции. Тогда299уУn-l УnХn-lhРис.ь=х n Х200расчетные формулы для этих значений примут вид Х;=+ h· i,аУ;=i = 0,1,2, ...
, n; h = Ь - а.= f(xi),nЗаменим кривую У= f(x) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат У; и Yi+l (i = 0,1,2, ... , n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычныхтрапеций с основаниями Yi, УНl и высотой h = Ь -n а:ьJf(x) dx ~ Уо +2 Уl.h+ Уl + У2.h2+ ... + Уn-l + Уn.h2аилиьJf(x) dx~ь - а (Уо + Уn----:;;2+ Уl + У2 + ... + Уn-l ) .(42.2)а~Формула (42.2) называется фор.му.яоii. mpanev,uii..Абсолютная nогрешностьприближения, полученного по форRnмуле трапеций, оценивается с помощью формулыгде М2мула42.3.=шахa~x~b(42.2) -If"(x)l.(Ьа)3= kx+ЬIRnI:::;Снова для линейной функции У1;n 2.М2 ,форточная.Формула парабол (Симпсона)Если заменить график функции у=f(x)на каждом отрезке[Xi-l; Xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций ипрямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формуьлу приближенного вычисления интегралаJJ(x) dx.а300Предварительно найдем площадьSкриволинейной трапеции, огра-ниченной сверху графиком параболы У = ах 2 +Ьх+с, сбокух= -h, х = h и снизу -- прямымиотрезком [-h; h].Пусть парабола проходит через три точУкиM 1(-h;yo), М2 (0;У1), Мз (h;У2), где Уо == ah2 - bh + с - ордината параболы в точкехх= - h; У1 = С - ордината параболы в точке= О; У2 = ah2 + bh + с - ордината параболы в точке х= h (см.
рис. 201). Площадь S.>:У2,.:УО> ...равна-h,','<•YI:::: .:.:.,.,.. ': .. :.'.»>,ОhхhSРис.= / (ах 2 + Ьх + с) dx =201-h(42.3)Выразим эту площадь черезнаходим, что с = У1, аh, Уо, У1, У2. Из равенств для ординат Yi= ~(Yo - 2Yl +У2). Подставляя эти значения си а в равенствополучаем(42.3),ьПолучим теперь формулу парабол для вычисления интеграла/f(Х) dx.аДля этого отрезок [а; Ь] разобьем на2n равных частей (отрезков)ХО + ih (i = 0,1,2, ... , 2n).
В точкахдлиной h= Ь ~ а точками xi =деления а = ХО, xl, Х2, ... , X2n-Z,подынтегральной функцииX2n-l, XZ n= Ь вычисляемзначенияf(x): Уо, У1, У2,···, YZn-2, YZn-l, YZn, гдеYi = ЛХ4) (см. рис. 202).Заменяем каждую пару соседних элементарныlx криволинейныхтрапеций с основаниями, равнымиh,одной элементарной параболической трапецией с основанием, равнымпроходит через три точки (хо; Уо),лу(42.4),2h. На отрезке [хо; XZ] парабола(xl; У1), (Х2; У2).
Используя формунаходим"'2S1 = /hf(x) dx = з(Уо"'о301+ 4У1 + yz).'у..................о...••••••••••••• ••••ооа=хоХlХ2хз••0.0Х2n-2 Х2n-lРис.•О,.•••••••Х2n =Ьх202Аналогично находим:1:'21'1_2Сложив полученные равенства, имеемьhJf(x) dx ~ з(Уо + 4Уl + 2У2 + ... + 2У2n-2 + 4У2n-l + У2n)аилиьЬа_Jf(x) dx ~ ~((Уо + У2n) + 4(Yl + Уз + ... + Y2n-l)+а+~Формула(42.5)2(У2 + У4 + ... + У2n-2)) .(42.5)называется фор,м,у./tОi1. nарабо./t (или Симпсона).Абсолюm'Н.й.Я nогреш'Н.осmъ вычисления по формуле(42.5)оцениваОтметим, что формула (42.5) дает точное значение интегралаJf(x) dxется соотношениемьаво всех случаях, когдаравна трем (тогда fJVf(x) -= О).многочлен, степень которого меньше или3022Jх dx, раззПрu.мер 42.1.
Вычислитьобив отрезок интегрирования [О;на2]4 части.уQ Решение: Имеем: f(x)=хз,- аа = хо = О; Ь = Х4 = 2, h = -nЬхо= О,(см. рис.УО= О;хз= 2'31Хl= 2'УЗ= 8;У!271= 8;Х42= 4 = 2'Х2= 1,У4= 8;= 2,81У2= 1;203)а) по формуле прямоугольников:1С!= 4'5СЗ2Jхзdx ~= 4'_1У!= 64;_УЗ3С2125_= 4'7= 64;С41(127125343)64 + 64 + 64 + 642= 4'27У2= 64;_343У4= 3,875,О! 1 :! 2 х2= 6'J2 хт. е.о2Рис. 203зdx ~ 3,875;об) по формуле трапеции:21(0+8127)х dx ~ 2 -2- + 8" + 1 + 8= 4,25,J23Jх dx ~ 4,25;зт.
е.оов) по формуле парабол:jх 3 dx ~~ (о + 8 + 4 (~ + 2;) + 2 . 1) = 4,6 22т. е.оJх dx ~ 4.зоТочное значение интегралаJх dx = х4 1о =2з424.оАбсолютныеа)0,125;б)0,25;погрешностив) о .соответствующихформултаковы:•ГлаваФункции НЕСКОЛЬКИХIX.ПЕРЕМЕННЫХI Лекции 34-3б IФункции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие Функциона.льной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаютсяуже на функциях двух переменных .
Эти факты обобщаются на случайбольшего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.§ 43.43.1.~Функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХОсновные понятияПусть задано множествоответствиеf,Dупорядоченных пар чисел (Х; у). Со-которое каждой паре чисел (Х; у) Еодно и только одно числоD сопоставляетz Е IR, называется ФУН7Сциеt1 двух nере.менных, определенной на множествевается в видеz= f(xjY)илиD со значениями в IR, и записыf : D -t IR.
При этом Х и у называютсянезав'Uсu.м'Ы,м'U nере,менн'Ы,ми (аргу,ментами) , а z -зав'Uсu.моi1. nереMeHHoiJ. (фую>:'Ц'UеiJ.).МножествоD= пи) называется областью оnределенWI функции.Множество значений, принимаемыхzв области определения, называется областью 'Uз,мененWI этой функции, обозначается Е(!) или Е.Примером функции двух переменных может служить площадьпрямоугольника со сторонами, длины которых равны Х и у:SОб,11астью определения этой функции является множество {(Х; У)> О,~у> О}.ФункциюS= ХУ.IХ >z = f(x; у), где (Х; у) Е D .---можно понимать (рассматри-вать) как функцию точки М(х; у) координатной плоскости Оху.В частности, областью определения может быть вся плоскость или еечасть, ограниченная некоторыми линиями .
Линию, ограничивающуюобласть , называют границеt1 области. Точки области, не лежащиена границе, называются внутренними . Область, состоящая из однихвнутренних точек, называетсяOffl7Cpumot1 . Область с присоединеннойк ней границей называется за.м7Снутоt1, обозначаетсязамкнутой области является круг с окружностью.304D.Примером=Значение функции z = f(x; у) в точке Мо(Хо; Уо) обозначают Zo= f(xfJ; уо) или Zo = f(M o) и называют 'Частным з'Н.а'Ч.енuем фун'I(;'ЦUU.Функция двух независимых переменных допускает геометрическоеистолкование. Каждой точке Мо(Хо; Уо) областиOxyzсоответствует точка м(хо; уо;zo),гдеDв системе координатZo = f(xo;Уо)аnnЛU'l(;ата-точки М.
Совокупность всех таких точек представляет собой некотарую поверхность, которая и будет геометрически изображать даннуюz = f(x; у).Например, функция z =х 2 - у2 имеет областью определения2круг х + у2 ::;; 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке0(0; О; О) и радиусом R = 1 (см. рис. 204).функцию-/1-Функция двух переменных, как и функция одной переменной, мажет быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способом: когдафункция задается с помощью формулы.уоРис.43.2.хРис.204205Предел функцииДля функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функцииодной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всехточек М(х; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству -/(х - Хо)2+ (у -Уо)2< б,называется б-О'l(;рестностъю то'Ч.7СUМо(Хо; Уо). Другими словами, б-окрестность точки МО-тренние точки круга с центром МО и радиусом б (см.
рис.~Пусть функцияz = f(x;это все вну205).у) определена в некоторой окрестноститочки Мо(Хо; Уо), кроме, быть может, самой этой точки. Число Аназывается пределом фун'lCЦUUчто то же самое, при М(х; у)существует б>О--+z = f(x;у) при х--+хо и у--+Уо (или,Мо(Хо; Уо», если для любого €такое, что для всех х305=j:.хо и у=j:.>Оуо и удовлетворяю-+ (у -щих неравенству J(x - хо)2If(x;Y) - AI < (О.уо)2д выполняется неравенство<Записывают: ог-----~----------------------~А =lim f(x; у) или А =~~~~lim f(M).M--tМоИз определения следует, что если предел существует, то он не зависитот пути, по которому М стремится к МО (число таких направленийбесконечно; для функции одной переменной х-+хо по двум направле-ниям: справа и слева!).Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит> О,в следующем.
Каково бы ни было число tнайдется д-окрестностьточки Мо(хо; УО), что во всех ее точках М(х; у), отличных от Мо , аппликаты соответствующих точек поверхностиz = f(x;у) отличаютсяот числа А по модулю меньше, чем на (О.Прu.мерНайти предел43.1.х2limx--tО Хy--tОQРешение: Будем приближаться к_у222.+у0(0; О)по прямой у= kx,гдеk -некоторое число. Тогдах2 _ у 2limx--tО хy--tО2+у2х2= lim_ k 2х 2--n---,;-"22 2x--tО х+ky1 - k21 - k2lim - - -2 = ---оx--tО 1 + k1 + k2х2 _ у2в точке 0(0; О) предела не имеет, т. к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
