Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Можно показать, что в случае, если удовлетворены==условия существования неявной функции одной переменной (имеетсятеорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формулеy~ = - ~~(F~ f; О).уПрuмеруравнением e Z44.6.+z-Найти частные производные функциих2 у+ 1=О.317z,заданнойQРешение: Здесь Р(х; у;p~= eZZ)+ 1.
По формуламПрu.мер 44.7. Найтиуравнением уЗ+ 2у =2х.+Z= eZ(44.12)*'-х2у+ 1,имеем: g~=p~ = -2ху, Р; = _х 2 ,+ е;11' g~= eZx: 1 .•если неявная функция у = f(x) заданаQ Решение: Здесь Р(х; у) = уЗ + 2у - 2х, p~ = -2, Р; = Зу 21_-2!!:JJ.. _2Довательно, ух - - Зу2 + 2' т. е. dx - Зу2 + 2·§ 45.+ 2.Сле-•КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬК IlОВЕРХНОСТИРассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция Z= f(x;y) дифференцируема в точке (ха; Уа) не которой области D Е 1R2 .
РассечемповерхностьS,изображающую функ-=цию Z, плоскостями х(см. рис.208).ресекает поверхностьS= Уа= ха пеха и УПлоскость хпо некоторойлинии Za (у), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции Z= f(x; У) вместох числа ха. Точка Ма(Ха; Уа; f(xa; Уа))принадлежит кривой Za (У). в силудифференцируемоститочке Ма функцияхфункцииza(Y)Zется дифференцируемой в точке У= Уа.Рис.l2=Следовательно, в этой точке вплоскостих = Ха к кривой Za (У) мо208жет быть проведена касательнаяПроводя аналогичные рассуждения для сечения Укасательнуювтакже являк кривойza(x)в точке х= Ха.l1.= Уа, построимПрямыеl1иl2определяют плоскость а, которая называется r.;асаmелън.оi1 nлосr.;осmъ1О кповерхностиSв точке Мо .Составим ее уравнение.
Так как плоскость а проходит через точкуМо(Хо; Уо;zo),то ее уравнение может быть записано в видеА(х-хо)+ В(у -Уо)+ C(z - za)= О,которое можно переписать так:(45.1)318(разделив уравнение на -с и обозначив _АсНайдем А 1 и В 1 •Уравнения касательных [1 иl2= А1 ,!!С= В 1 ).имеют видZ - Za = 1~(xa; Уа) . (У - Уа),х = ха;Z - Za = 1~(xa; Уа) .
(х - ха),У = Уасоответственно.Касательнаялежит в плоскости а, следовательно, координатыIIвсех точек [1 удовлетворяют уравнению(45.1).Этот факт можно записать в виде системыZ - Za = 1~(xa; Уа)(У - Уа),{Разрешая эту=хха,Z - Za= А 1 (х -системуха)+ В 1 (У -относительноУа).В1 ,получим,что В 1== 1~(xa; Уа).Проводя аналогичные рассуждения для касательной [2, легко уста= 1~(xa; Уа).новить, что А 1Подставив значения А ! и В 1 В уравнениеполучаем искомое(45.1),уравнение касательной плоскости:I Z - Za =~1~(xa; Уа) . (х - ха) + 1~(xa; Уа) . СУ - Ya)·1(45.2)Прямая, проходящая через точку МО и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормал.ью.Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см.с.103),легко получить канонические уравнения нормали:-ххаУ1~(xa; Уа)Если поверхность(45.2)и(45.3),S-Z - ZaУа1~(xa; Уа)задана уравнением(45.3)-1F(x; У; z)= О, то уравненияс учетом того, что частные производные могут бытьнайдены как производные неявной функции:l х' (ха; Уа ) =(см.
формулых-.z Ха,Уа(44.12»,F~(xa; Уа) . (х - ха)иF~(xa; Уа)- F' (),'()1у ха; Уа о::-F;(xa;Ya)F' ( . )z Ха,Уапримут соответственно вид+ F;(xa; Уа) . (У хаF~ (ха; Уа)- УаF;(xa; Уа)У319Уа)+ F~(xa; Уа) . (z - za)Z - ZaF~(xa; уа)'= оЗа,м,е'Чанuе. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности.Точка Мо поверхности называется особо11 , если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует.Такие точки мы не рассматриваем.При.мерНаписать уравнения касательной плоскости и нор45.1.=х +умали к параболоиду вращения z=2В точке Мо (l; -1; 2).= 2у, f~(l;-l) = 2,(45.2) и (45.3) получаем уравнение касательной плоскости: z - 2 = 2· (х - 1) - 2 .
(У + 1) или2х - 2у - z - 2 = О и уравнение нормали: х -2 1 -- lL±.!- 2•-2 -- z -1'а Решение: Здесь z~f~(l;-1) = -2.=2f~(x;y)2х, f~(x;y)Пользуясь формуламиЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 46.46.1.Основные понятияПонятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п.Пусть функция zточка~N(xo;yo)Е25.4).= f(x; У) определена в некоторой области D,D.Точка (Хо;Уо) называется mо'Ч?Соtt .ма?Сси.му.ма функции= f(x; У),z =если существует такая д-окрестность точки (хо; Уо), чтодля каждой точки (Х; У), отличной от (хо; Уо), из этой окрестности выполняется неравенство~f(x; У) < f(xo; уо).Аналогично определяется mо'Ч?Са.мини.му.мафункции:zдлявсех точек (Х; у), отличных от (хо; Уо),n~y-,~:-из д-окрестности точки (хо; Уо) выполняетсянеравенство:f(x;у)>J~ О, О}:На рисункефункции~а209: N 1 -N2 z = f(x;точкаточка макминимумаg::Or-____~rl--------71,'----> f(xo; уо).симума,:f(Xj у)Х@2~~ уУ).Значение функции в точке мак-Рис.209симума (минимума) называется.ма?Сси.му.мо.м (.мини.му.мо.м) функции.
Максимум и минимум функции называют ее э?Ссmре.му.ма.ми.liIОтметим, что, в силу определения, точка экстремума функциилежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют ло'/(;аJl:ьны71 (местный) характер: значение функции в точке320(хо; Уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к(хо; Уо). В области D функция может иметь несколько экстремумов илине иметь ни одного.46.2. Необходимые и достаточные условия экстремумаРассмотрим условия существования экстремума функции.Теорема46.1N(xo; Уо)дифференцируемая функция(неоБХОАимые условия экстремума).
Если в точкеz = f(x;У) имеет экстремум,то ее частные производные в этой точке равны нулю: f~(xo;YO)=-0,f~(xo;Yo) = О.о Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, У = Уо. Тоf(x; Уо) = <р(х) одной переменной, которая имеет= хо. Следовательно, согласно необходимому условиюэкстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), <р'(хо) = О, т.
е.гда получим функциюэкстремум при хf~(xo; Уо) = О.Аналогично можно показать, что f~(xo; Уо)Геометрически равенства f~(xo; Уо)=•= О.О иf~(xo; Уо) = О означают, что в точке экстремума функции z = f(x; У) касательная плоскостьк поверхности, изображающей функциюf(x;zу),1параллельна плоскости Оху, Т. к. уравнение касательной плоскости есть zлу=Zo (см. форму-(45.2)).За.ме-чан,uе. Функция может иметь экстремумв точках, где хотя бы одна из частных производхных не существует. Например, функция z = 1 -- Jxрис.2+ у2210),имеет максимум в точке 0(0; О) (см.Рис.210но не имеет в этой точке частных про-изводных.~Точка, в которой частные производные первого порядка функцииz = f(x; У)равны нулю, т.
е. f~ = О, f~ = О, называется стационарной то'Ч'lCОй функции z.~Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются 'lCрuтu'Чес'ICU.мu то'Ч'lCа.мu.В критических точках функция может иметь экстремум, а можети не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функциюся критической (в ней z~11z= ху.Для нее точка0(0; О)являет= У и z~ = х обращаются в ноль).
ОднакоКонспект лекций по высшей математике. ПОЛНЫЙ курс321экстремума в ней функцияокрестности точкииIIIчетвертей) и0(0; О)z <Оху не имеет, т. к . В достаточно малойz =найдутся точки для которых(точкиIIиIVz>О (точки1четвертей).Таким образом , для нахождения экстремумов функции в даннойобласти необходимо каждую критическую точку функции подвергнутьдополнительному исследованию.Теорема46.2(Аостаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (ХО ; Уо) и некоторой ее окрестности функцияимеетf(x;y)непрерывные частные производные до второго порядкавключительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения А = f~/X(Xo; уо), В= f~/y(XO; уо),С= f~/y(XO; Уо).=ОбозначимА = I ~ ~ I = АС - в 2 •Тогда:>1) если АО, то функциямаксимум, если А2) если А< О,В случае А< О;f(x;У) в точке (хо; Уо) имеет экстремум :минимум, если Ато функцияf(x; У)> О;в точке (хо ; Уо) экстремума не имеет.= О экстремум в точке (хо ; Уо) может быть, может не быть.Необходимы дополнительные исследования.Примем без доказательства.Прu.м.ер 46.1.
Найти экстремум функции z = 3х 2 у - х 3<) Решение : Здесь Z~ = 6ху - Зх 2 , Z~ = зх 2-_у4 .4у 3 . Точки, В которыхчастные производные не существуют, отсутствуют.Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:{Отсюда получаем точки6Х У - зх 22зх - 4уM 1 (6; 3)3= О,= о.и М2 (0; О).Находим частные производные второго порядка данной функции:"Z xx" = 6х,= 6У - 6х, ZxyВ точкеM 1 (6 ;3)"Z yyАС - в 2т.
е. А= -18· (-108) -362= 648,> о.Так как АZmax2= - 12У.= -18, В = 36, С = -108, отсюдаимеем: А= z(6; 3)< О, то в точке М1= 3 · 36·3 -функция имеет локальныt! максимум:63 - з4 = 324 - 216 - 81 = 27.322в точке М2 (0; О): А= О, В= О,=ОСи, значит, Д;донолнительное исследование. Значение функции=z== О.Проведемв точке М2 равно=нулю: z(O; О)О. Можно заметить, что z_у4 < О при хО, У =/: О;-х 3 > О при х < О, УО. Значит, в окрестности точки М2 (0; О)=z=функция Z принимает как отрицательные, так и положительные значения.
Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет.•46.3. Наибольшее и наименьшее значения функциив замкнутой областиПусть функцияz= f(x; у)определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области П. Тогда она достигает в некоторых точкахD своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глоба.лън:ыil.Э7'Осmремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области П, или в точках, лежащих на границе области.Правило н.ахожден:u.я наибольшего и наименьшего значений диф·~ ференцируемой в области•1.Dфункцииz = f(x; у) состоит в следующем:Найти все критические точки функции, принадлежащие-D,и'j ВЫЧИСЛИТЬ знач€ния функции в них;·2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x; у)-на границах области;3.
Сравнить все найденные значения функции и выбрать из нихнаибольшее М и наименьшее m.Прu,м,ер46.2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х 2 у + ху2у+ хуВ замкнутой области, ограниченной линиями:у='.1-, х = 1, х = 2, у = -1,5Qх(см. рис.Решение: Здесь z~ = 2ху + у2+ у,211).z~ = х 2+ 2ху + х.1.Находим все критические точки:2у+у=~охА{ У(2Х++ у ++ 1)1) == О,х(х____ .__ . сЕРис.211О.Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (О; -1),(-i; -ю·Ни одна из найденных точек не принадлежит -области П.2.Исследуем функциюzков АВ, ве, СЕ и ЕА (рис.на границе области, состоящей из участ211).323На участке АВ: Х2у + 2 = О,;= -1.= 1, z = у2 + 2у, где у Е [-~; 1], z~ = 2у + 2,Значения функции z(-l) = -1, z( -~) = -~,z(l) = 3.На участке ВС: у = !х' z = Х1 - ~ = О,ХXl= 1,Х2= -1+ ! + 1 где Х Ех'[1', 2] , z'х = 1 -~ [1; 2].
Значения функции z(l)...lх,г.)= 3,z(2) = 3,5.= 2 у 2 + 6у, у Е [-~;!], z~ = 4у + 6,4у + 6 = О, У = -~: Значения функции z( -~) = -4,5, z(!) = 3,5.На участке АЕ: у = -~, z = _3~2 + ~x, х Е [1;2], z~ = -3Х +~,-3Х + ~ = О, Х = i ~ [1; 2]. Значения функции z(l) = -~, z(2) = -4,5.На участке СЕ: Х3.= 2,zСравнивая полученные результаты, имеем:М = +3,5'= Z(2;~)аm= -4,5= z(2; -~) = z(E).= z(C);•Глава х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯI Лекции 37-43§ 47.IОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЯХ47.1.~Основные понятияПри решении различных задач математики, физики, химии и другихнаукчастопользуютсяматематическимимоделямиввидеуравнений, связывающих независимую переменную, искомую функциюи ее производные. Такие уравнения называются дифференциал'Ьн'Ыми (термин принадлежит Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
