Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 48
Текст из файла (страница 48)
полагаем с= с(х). Решение уравнения (48.11) ищем в видеу = с(х) . е- J р(х) dx.(48.14)Находим производную :1у'=с'(х) ехр( -1 р(х) dx) + с(х) ех р ( -1 р(х) dx) . (-р(х)).Подставляем значения у и у' в уравнение(48.11):с'(х) ехр ( -1 р(х) dx) - с(х)р(х) ехр( -1 р(х) dx) ++ с(х)р(х) ехр (-1 р(х) dx)= g(x).Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение приметвидс'(х) ех р ( -1 р(х) dx)= g(x).Следовательно,dc(x) =g(x)exp(1 p(x)dx) ·dx.Интегрируя, находим:с(х)=1g(x) .
ехр (1 р(х)Подставляя выражение с(х) в равенствоние ДУdx) .dx + с.(48.14),получим общее реше(48.11):у= [jg(x).exp(lp(:r;)dx) .dx+c] .exp(-Ip(x)dx).Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ер.с(48.13)).Прu,м,ер48.9.Решить пример48.8методом Лагранжа.lдля удобства записи пользуемся обозначением еР(Х) =exp(F(x)).а Решение: Решаем уравнение у' + 2ху,:;:::: о. Имеем 1:J!..х2у = с· е- • Заменяем с на с(х), т. е. реdiение ДУ у'виде у = с(х) .
е- х2 • Имеему' = с'(х) . е-х2+ с(х) . е-х2•у-2х· dx, или=+ 2ху = 2х ищем в(-2х).'Тогдас'(х) . е-х2или с(х) =или У2хс(х) . е--J2х· е= 1 + с . е- Хх2•х2+ 2хс(х) . е-dx, или с(х) = е2х2х2= 2х,о-с'(х)· е- Х2= 2х,х2+ с. Поэтому у = (е + с) . е- х2 ;общее решение данного уравнения.-3a.мe"taHue. Уравнение вида (х. Р(у)Q(y), R(y) =f.т. е.•+ Q(y)) .
у' = R(y),где Р(у),заданные функции, можно свести к линейному, еслих считать функцией, а у-аргументом: х= х(у). Тогда, пользуясь ра-венством y~ = Х:' получаем х· P(Y~,+ Q(y) = R(y), т. е. х' - ~f~~ '.х ==~~~~виде хлинейное относительно х уравнение. Его решение ищем в-= u· v, где и = u(у), v = v(y) -две неизвестные функции.IПрu,м,ер48.10.Найти общее решение уравнения (ха Решение: Учитывая, что у' =к линейному уравнению х'1"х+ у) . у'= 1.от исходного уравнения переходцм= х + у.= u· v. Тогда х' = и' .
v + u· v'. Получаем:Применим подстановку хи'·. v + u(v' - v) = у.Находим функцию v: v' - v = о, dv = dy, v = е У •v + u· v'= u· v + у,или и'vНаходим функцию и: и'и=.еУ+и .О= у, т. е. и'=у.е-У, илиJу. е-У· dy. Интегрируя по частям, находим: и = -у. е-У - е-У + с.Значит, общее решение данного уравнения:хили х=-у= u· v = (-у. е-У -е-У+ с) . еУ,•- 1 + с . еУ •Уравнение я. БернуллиУравнение видаy'+p(X)·y=g(X)·Yn, nE~ n=f.O, n=f.1~называется уравнение,м,(48.15)Верну.n..n.и. Покажем, что его можнопривести к линейному.Еслиn= о, то ДУ (48.15) -линейное, а прищимися переменными.337n=1-с разделяюВ общем случае, разделив уравнениеу-nОбозначим у-n+l.
у'(48.15)на уn::j:.О, получим:+ р(х) . y~n+l = g(x).(48.16)= z. Тогда z' = ddz = (1-n) .у-n. у ,. Отсюда находим,ху-n. у' = -z1 . Уравнение (48.16) принимает вид-n_1_. z'1-n+ р(х). z= g(x).Последнее уравнение является линейным относительно z. Решениеz = у-n+l сводит уравнение(48.15) удобнее искать методомего известно. Таким образом, подстановка(48.15)к линейному.
На практике ДУи. Бернулли в виде у= и· v(не сводЯ его к линейному).48.5. Уравнение в полных дифференциалах.Интегрирующий множительУравнениеР(х; у)~dx+ Q(x; у) dy= О(48.17)называется уравнением в nол'Н'Ых дифференциалах, если еголеваячастьестьполныйи(х; у), т. е.Р(х; у)В этом случае ДУdxдифференциал+ Q(x; у) dy(48.17)некоторойфункции= du(x; у).можно записать в видеdu(x; у) =О, а егообщий интеграл будет:и(х; у)= с.(48.18)Приведем условие, по которому можно судить, что выражениед.= Р(х; у) dx + Q(x; y}dyесть полный дифференциал.Теорема48.2.ДЛЯ ТОГО чтобы выражение д.= Р(х; у) dx+Q(x; у) dy,где функции Р(х; у) и Q(x; у) и ИХ частные производные ~; и ~непрерывны в некоторой областиDплоскости Оху, было полнымдифференциалом, необходимо и д6статочно выполнение условиядРдудQ-338дх·(48.19)Необходимостьа ПустьD.есть полный дифференциал, т. е.Р(х; у)Учитывая, что du(x; у)dx+ Q(x; у) dy == g~ dx + g~ dyдu= дх;Р(х ; у)du(x; у).(см.
п. 44.3), имеем:Q(x;y)дu= ду·Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаемдРд2 uдудх·ду-=---BQд2 u-=---идхду·дх·д2 uд2 uА так как смешанные частные производные дх. ду и ду . дх равнымежду собой (см . п.получаем44.2),(48.19).ДостаточностьПусть в областиDвыполняется условиеществует функция u(х; у) в областиdu(x ;у)(48.19).Покажем, что сутакая, чтоD= Р(х; у) dx +Q(x; у) dy .,Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:дuдх= Р(х ; у)Если в первом уравнениидuи ду(48.20)= Q(x;y).(48.20)зафиксировать у и проинтегриро-вать его по х, то получим:u(х; у)=JР(х; у) dx + ср(у).(48.21)Здесь произвольная постоянная с = ср(у) зависит от у (либо являетсячислом).
В решении(48.21)не известна лишь ср(у). Для ее нахожденияпродифференцируем функцию~~= (]Используя второе равенствоQ(x ;y)Отсюдав равенствеср'(у)(48.22)(48.21)по у:P(X;Y)dX)~ +ср'(у) .(48.20},можно записать := (] P(X;Y)dX)~ +ср'(у).= Q(x;y) -(] P(x;y)dX»(48.22)левая часть зависит от у. Покажем, что и .праваячасть равенства зависит только от у.339Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, чтопроизводная равна нулю.
Действительно,:х (Q(x;y) - :у (] Р(х;у) dx))~(~(Jp(x;Y)dX).)= aQ _дхдув силу условиядх(48.19).(48.22)Из равенства<р(у) ==~~ - :х (~ (] Р(х;у) dx))= aQ _дх~(P)ду= aQJ(Q(x;y)-~(Jp(X;Y)dX))dY+C, С-Подставляя найденное значение для <р(у) в равенствоdu(x; у) =Р(х; у)Таким образом, при решении ДУ видавыполнение условия(48.19).dxдРду=Оconst.(48.21),находим+ Q(x; у) dy.(48.17)•сначала проверяемЗатем, используя равенстванаходим функцию u(х; у). Решение записываем в виде(48.20),(48.18).2x~48.11. Решить уравнение у' = З5 -2·Прu.мерQ_находим <р(у):функцию u(х; у) такую, что~дх=У+хРешение: Запишем уравнение в дифференциальной форме:+ (З у 2 + х ) dyQ(x; у) = З у 2 + х .(2ху - 5) dxЗдесь Р(х; у) = 2хуусловия- 5,22= о.Проверяем выполнение(48.19):дР-=2х;дуaQдРaQдхдудх·-=2х;Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Условия(48.20)дuдхбудут здесь выглядеть как= 2ху -дu5, ду = Зу22+х .Отсюда имеемu(х; у) = J (2ху - 5) dx = х 2 у - 5х + <р(у);~~=(х 2 у - 5х + <p(y))~ = х 2 + <р'(у).Далее+х =уЗ + Cl,Зу2<р(у) =2х2+ <р'(у),<р'(у) = З у 2,u(х; у) = х 2 у - 5х+ уЗ + Cl.Общим интегралом является х у-5Х+УЗ+ С1 = С2, или x 2 y-5х+уЗ2где С=Cz -Cl.= С,•340IЕсли условиене выполняется, то ДУ(48.19)(48.17)не являетсяуравнением в полных дифференциалах.Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функциюt(X; у),называемую интегрирующим ,множ;ителе.м..Чтобы уравнениеt(x; у) .Р(х; у)dx + t(x; у) .
Q(x; у) dy=Обылоуравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условиедду (t(x; у) . Р(х; у))д= дх(t(x; у) . Q(x; у)).Выполнив дифференцированиеШ.Р + ддРу . t,иуШ·Q + aQ . t и приведяихах=подобные слагаемые, получимat .р_ at .Q=t(aQ _ дР).дудля нахождениядхt(x; у)дх(48.23)дунадо проин'Гегрировать полученное ДУ вчастных прЬизводных. Решение этой задачи не простое. Нахождениеинтегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существованиеtкак функции только одного аргумента х либо только у.Пусть, например,t= t(x)._ dt . Q = t .dxТогда уравнение(a Q _ дР),дхОтсюдаt(x)илиду(= ехр(48.23)dttдР _~ду=1дРду Q ~дх dx_принимает видQдх.
dx.).(48.24)дР _~П. ридуэтом выражениеQдхдолжно зависеть только от х.Аналогично получаем, что еслиt(y)= ех,рt = t(y) (tдQне зависит от х), тодР(1 ах ; ауdY ),а подынтегральное выражение должно зависеть только от у .Прuмер 48.12. Решить уравнение (х 2г\.'J_- -1,. ШJдх -дР _Решение: Здесь ду2ху2-+ 1,у) .
dx + (х 2 у 2дРт. е. ду-2хзависит только от х.341:1+ х) . dy= о.qQОдх· днакоСледовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, выражение которого может быть получено припомощи формулы(48.24).t(x)= ехр( -В нашем случае получим, чтоJ~dx) =exp(-21nlxl)=:2'Умножая исходное уравнение на t = ~, получаем :х(1- :2)dx + (у2 + ~)dY = О,т. е.ypaBHeHl;ie в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что общий интеграл заданного уравнения имеет видх+48.6.у-хуЗ+-3= с.•Уравнения Лагранжа и КлероРассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной . К ним, В частности, относятся уравнения Лагранжа и Клеро.Уравнение ЛагранжаУравнение видау= х .
ер(у') + 'Ф(у') ,~ где ер и 'I/J - известные функции от у'=(48.25)~, называется уравнением Лагран-;нса.Введем вспомогательный параметр, положив у'ние(48.25)= р. Тогда уравнепримет виду= х . ер(р) + 'Ф(р).(48.26)Дифференцируя по х, получим :dy( )'(р) . dxdp'(р) . dx'dpdx =ср.р +х · ер+'I/Jт. е. р - ер(р) = (х· ер'(р) + 'Ф'(р)) .(р - ер(р)) . ~;Уравнениефункции х(48.27)= х(р).*'-илих . ер'(р) = 'Ф'(р) .(48.27)есть линейное уравнение относительно неизвестнойРешив его, найдем:х = Л(Рi с).342(48.28)Исключая параметр р из уравненийинтегралуравнения(48.25)в виде у(48.26)и= ,(х ; с).(48.28) ,получаем общий*Отметим, что, переходя к уравнению (48.27), мы делили на !!1!.dd •При этом могли быть потеряны решения, для которыхрd= О,хт.
е.= Ро = const . Это значение ро является корнем уравнения р - 'Р(Р) = О(см .(48.27» .Решение у= Х''Р(Ро)+ф(Ро) является особы-мдля уравнения (48.25)(см. понятие особого решения в п.48.2).Уравнение КлероРассмотрим частный случай уравнения Лаграюка при 'Р(у')Уравнение(48.25)Iу~==у'.принимает вид= х . у' + ф(у') I(48.29)и называется уравнение.м.
К.л,еро.Положив у'= р, получаем:у = хр + ф(р).(48.30)Дифференцируя по х, имеем:р=р+х .Если*=dpdx+ф'(р) .О, то р = С. Поэтому, с учетомобщее решениеуЕсли хили (х+ф'(р»·pd ,dx+ ф'(Р)(48.30),ddP =0.xДУ(48.29)= хс + ф(с).имеет(48.31)= О, то получаем частное решение уравнения впараметрической форме:хЭто решение-= -ф'(р),у= хр + ф(р).(48.32)особое решение уравнения Клеро: оно не содержится вформуле общего решения уравнения.При.м.ер 48.13. Решить уравнение Клеро у = ху'QРешение: Общее решение, согласно формуле= сх+с+ у,2.(48.31) ,имеет ВИД у=2.
Особое решение уравнения получаем согласно формулам__2._х2х2(48.32) ~ виде х - -2р, У - хр+ р . Отсюда следует . у - - 2 + 4' т. е.y=-~.•343§ 49.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХПОРЯДКОВОсновные понятия49.1.Дифференциальные уравнения порядка выше первого называютсяДУ высших nор.я.д'К:ов.
ДУ второго порядка в общем случае записывается в видеF(x; у; у'; у")=о(49.1)или, если это возможно, в виде, разреше'Н:/1,О.м относителыt.O старшеi1nроизводноi1:у" =f(x;y;y').(49.2)Будем в основном рассматривать уравнение вида(49.2):от неговсегда можно перейти к~Решение,м ДУ(49.1).(49.2) называетсявсякая функция у= 'Р(Х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.~Общи,м решение,м ДУгдеClи С2(49.2)называется функция у = 'Р(Х; Сl; С2),не зависящие от х произвольные постоянные, удовле-творяющая условиям:1. 'Р(Х;Cl; С2) является решением ДУ дЛЯ каждого фиксированногозначения Сl2.и С2.Каковы бы ни были начальные условияyl=х=хоУа,у'1=х==хо(49.3)'уа,== cgсуществуют единственные значения постоянных Сlc~ И С2такие,что функция у = 'Р(Х; c~; cg) является решением уравнения (49.2) иудовлетворяет начальным условиям~Всякое решение у ~ 'Р(Х; c~;общего решения уянныхCl= C~, С2Решения ДУ= cg,(49.3).cg) уравнения (49.2), получающееся из= 'Р(Х; Сl; С2) при конкретных значениях постоназывается часmны.м решение,м.(49.2),Ф(Х; у;записанные в видеCl;С2) = о,Ф(Х; у; c~; c~) = О,называются общи.м и 'Частным интегралом соответственно.График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральноi1 'К:ривоЙ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
