Д.Т. Письменный - Конспект лекции по высшей математике (2006) (1095288), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В этом случае говорят, что корень один(k = 3) и имеет icратностъ mk = 2. Если кратность корня равна едиkУравнение(50.7)имеет, как известно,liIнице: mk= 1,Слу'Чаfi.его называют nрост·ым.1.Все корни уравнения(50.7)действительны и простыe knx являют(различны). Тогда функции Уl = ek\x, У2 = e k2X , ... , Уn=ся частными решениями уравнения (50.б) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решениеуравнения (50.б) записывается в виде1Прu.меру = Clek\X + C2 ek2X + ...
+ cne knx .150.3.Найти общее решение уравненияylll - 2у" - у'Q+ 2у =о.Решение: Характеристическое уравнение k Зкорни k1-1, k 2 1, k з 2. Следовательно, у===-2k 2-k+ 2 = О имеет= cle- x +С2еХ+сзе2х -общее решение данного уравнения.Слу'Чаfi.2.•Все корни характеристичеСК()I() \·равнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющи~ кратностьm > 1).Тогдакаждому простому корню k соответствует одно частное решение видаe kx , а каждому корню k кратности m1 соответствует m частных>решений: e kx , xe kx , x 2 e kx ... , х т - 1 e kx .Прu.мер 50.4. Решить уравнение yIV - ylll - 3у"357+ 5у' -2у = о.Решение: Характеристическое уравнениеQ1.4 - k З - 3k 2+ 5k - 2 = (k + 2)(k - l)З = Оимеет корни k 1 = -2, k2 = 1, k з = 1, k4 = 1.
Следовательно,у-= cje- 2x + С2 еХ + сз хеХ + С4 х2еХ,•общее решение уравнения.Слу'Ч.аiJ.3.Среди корней уравненияженные корни. Тогда каждой паре аесть комплексно-сопря(50.7)±/Зi простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения еО<ХеО<Хsin /Зх,а каждой паре а± /Зiкорней кратностиmcos /Зхи> 1 соответствуют2т частных решений видаеО<Х соэ /Зх, х. еО<Х cos /Зх, ...
, х т - 1 . еО<Х cos /ЗХjеО<Х siп/Зх,х. еО<Х siп/Зх, ... ,х т - 1. еО<Х siп/Зх.Эти решения , как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.При,м,ерQРешение: Характеристическое уравнениеk5+ k 4 + 2k З + 2k 2 + k + 1 = (k + 1)(k 4 + 2k 2 + 1) = Оимеет корниу-50.5. Решить уравнение yV +ylV +2y /ll +2у'! +у' +у = о.k1= -1,k2= i, k з = -i,k4= i,k5= -i.Следовательно,= cje- + С2· cos~ + Сз .
sinx + С4Х· cosx + С5Х· sinxX•общее решение уравнения.§ 51. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ)51.1.Структура общего решения ЛНДУ второгопорядкаРассмотрим ЛНДУ второго порядкаIу" + аl (х)у' + а2(Х)У = f(x), Iгде а! (х), а2 (х),нение~f (х) -(51 .1)заданные, непрерывные на (а; Ь) функции. Урав-у"+ аl(Х)У' + а2(Х)У = О,левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ(51.2)(51.1), называется соответствующи,м, ему однород'Н.'ы,м, уравнение,м,.358Теорема(структура общего решения ЛНДУ). Общим реше51.1нием у уравнения (51.1) является сумма его произвольного частногорешения у* и общего решенияfj= CIYl + С2У2соответствующего однородного уравнения (51.2), т. е.Уо Убедимся, что функцияу* есть решение уравнения(у*)"= у*+ у.(51.3)(51.3) - решение уравнения (51.1).
Так как(51.1), а fj - решение уравнения (51.2), то+ аl (х)(у*)' + а2(Х)У* = f(x)и(И"+ аl (х)(И' + а2(Х)У =О.в таком случае имеем:(У*+ И" + al(x)(y* + И' + а2(Х)(У* + И == ((у*)" + al(x)(y*)' + а2(Х)У*) + ((И" + al(x)(fj)' + а2(Х)У)= f(x) + О =Это означает, что функция (У* +И является решением уравнения=f(x).(51.1).Покажем теперь, что функция(51.4)является общим решением уравнениячто из решения(51.4)(51.1).Для этого надо доказать,можно выделить единственное частное решение,удовлетворяющее заданным начальным условияму(хо) = Уо,Продифференцировав функциюловия(51.5)в функциюнений:(51.4)у'(хо) = УЬ·(51.4)(51.5)и подставив начальные yc~и ее производную, получим систему урав-+ С2У2(ХО) = Уо - у*(хо),CIY~ (хо) + С2У2(ХО) = УЬ - (у*)'(хо),CIYl(XO){где Уо=у(хо), УЬ=у'(хо), с неизвестными Сl и С2.
Определителемэтой системы является определитель ВронскогоYl(X)и У2(Х) в точке х= хо.ФункцииYl(X)W(xo)для функциии У2(Х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е.Следовательно, система имеет единственное решение: СlРешение уем уравненияям(51.5).=у*(51.1),+ C?Yl (х) + cgY2 (х)W(xo) -:j:.О.= С? и С2 = cg.является частным решениудовлетворяющим заданным начальным условиТеорема доказана.•51.2.Метод вариации проиэвольных постоянныхРассмотрим ЛНДУция(51.3),Его общим решением является функ(51.1).т.
е.у= у*Частное решение у* уравнениящее решениеfj+ у.(51.1)можно найти, если известно обсоответствующего однородного уравнения(51.2),методом ваР1ШЦUU nроuзвол'Ьных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пустьния(51.2).fj= СlУl (Х)+С2У2(Х) -общее решение уравнеЗаменим в общем решении постоянные Cl и С2 неизвестнымифункциями Cl (х) И С2(Х) И подберем их так, чтобы функцияу' = Сl (х)была решением уравнения(у')' = C~ (Х)Уl (х). Уl (х)(51.1).+ С2(Х) .
У2(Х)(51.6)Найдем производную+ Cl(X)Y~ (х) + С;(Х)У2(Х) + C2(X)Y~(X)'Подберем функции Сl (х) И С2(Х) так, чтобыC~ (х) . Уl (х)+ С;(х) . У2(Х)= О.(51.7)Тогда. y~ (х) + С2(Х) . y~(x),(у')" = C~ (х) . y~ (х) + Cl(X) . y~'(x) + C~(X) . y~(x) + С2(Х) . y~(x).(у')' = Сl (х)Подставляя выражение для у', (у')' и (у')" в уравнение(51.1),получим:C~(X)' y~(x)+ Cl(X)' y~'(x) + C~(X)' y~(x) + С2(Х)' y~(x)++al(x)[Cl(X)Y~(X)+C2(X)Y~(x)] +а2(Х) [Cl(X)Yl(X)+C2(X)Y2(X)] = f(x),илиCl(х) . [y~'(x)+ аl (х) . y~(x) + а2(Х) . Уl (х)] ++С2 (х) [y~ (х) +аl (х )y~ (х) +а2 (х )У2 (х)] +C~ (х )y~ (х) +С; (х )y~ (х)Поскольку Уl (х) И У2(Х)-решения уравнения(51.2),= f(x).то выражения вквадратных скобках равны нулю, а потомуC~ (х).
y~ (х)Таким образом, функциянияний(51.1), если функции(51.7) и (51.8):{+ C~(X) . y~(x)(51.6)= f(x).(51.8)будет частным решением у' уравнеСl (х) И С2(Х) удовлетворяют системе уравнеC~ (х) . Уl (х) + ~(x) . У2(Х)C~ (х) . y~ (х) + ~(x) . у2(х)360= О,= f(x).(51.9)Определитель системы 1~~~~~ ~~~~~ 1# О, так как это определительВронского для фундаментальной системы частных решений Уl (х) иУ2(Х) уравнения(51.2).Поэтому система(51.9) имеет единственное ре- некоторыешение: c~(x) = <Рl(Х) И c~(x) = <Р2(Х), где <Рl(Х) и <Р2(Х)функции от х.
Интегрируя эти функции, находим Сl (х) и С2(Х), а затемпо формуле (51.6) составляем частное решение уравнения (51.1).Прu,м,ер 51.1. Найти общее решение уравнения у" + уQ= _1_.cosxРешение: Найдем общее решение у соответствующего однородногоуравнения у" + у = о. Имеем: k 2 + 1 = О, k 1 = i, k 2 = -i.
Следовательно,у= Сl•cos Х+ С2•sin х.Найдем теперь частное решение у* исходногоуравнения. Оно ищется в виде(51.6): у*= Сl (х)· cos х+ С2(Х) ·sin х. Длянахождения Сl (х) и С2(Х) составляем систему уравнений вида~(x). cosx+ ~(x)· sinx =(51.9):О,{ c~ (х) . (- sin х) +~(x) . cos х = cosx_1_.Решаем ее:..6. =cos.х- sшхIОsin хХcos_1_1sin х 1 = cos 2 хcosx= _ t g,х.6. 2. 2+ sшх == I _co~хsш ХО_1_cos хСОВ хc~(x) = ~1= - tgx,С;(х)J(- tgx) dxС2(Х) J1· dxсl(х) == -; = 1,=Запишем частное решение данного уравнения: у*+ х .
sin х.у1,I= 1·'= ln I cosxl;=х.= ln Icosxl . cosx+Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид= (у + у*) = Сl . cos Х+ С2 . sin х + cos х . ln Icos xl + х . sin х.•При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезнойследующая теорема.Теорема51.2(о наложении решении). Если правая часть уравне(51.1) представляет собой сумму двух функций: l(х) = Л (х) ++ 12(Х), а у; и у;' - частные решения уравнений у" + аl (х) . у' ++ а2(Х) .
У = 11 (х) И у" + аl (х) . у' + а2(Х)У = 12(Х) соответственно,то функция у* = у; + у;' является решением данного уравнения.ния361а Действительно,(у;+ у;)" + аl(Х)'(у;+ у;)' + а2(Х)' (у; + у;) =+ ((у;)" +аl(Х)' (у;)' +а2(Х) .у;) == Л(х) + f2(X) = f(x).•= ((у;)" +аl(Х)' (у;)' +а2(Х) ·уn51.3.
Интегрирование ЛНДУ второго порядкас постоянными коэффициентамии правой частью специального видаРассмотрим ЛНДУ второго nоряд~а с nостоян:нЪL.М:U ~оэффuцuентами, т. е. уравнениеIyll +р . у' +q . y = f(x),где р иq-(51.10)1некоторые числа.Согласно теореме51.1,общее решение уравнения(51.10)представляет собой сумму общего решения у соответствующего однородногоуравнения и частного решения у* неоднородного уравнения .
Частноерешение уравнения(51.10)извольных постоянных (п.может быть Ha~дeHO методом вариации про51.2).Для уравнений с постоянными коэффициентами(51.10)ет более простой способ нахождения у*, если правая частьнения(51.10)I. f(x) =существуf(x)уравимеет так называемый «специальный вид»:Рn(Х).еахилиП.f(x) =е ах . (Рn(Х). cos{3x + Qт(x) .
sin{3x).Суть метода, называемого ,методо,м неоnределен:н'Ых ~оэффuцuентов, состоит в следующем: по виду правой частиf(x)уравнения(51.10)записывают ожидаемую форму частного решения снеопределеннымикоэффициентами, затем подставляют ее в уравнение(51.10)и из полученного тождества находят значения коэффициентов.1. Правая часть (51.10) имеет вид f(x) = Рn(х) . е ах , гдеIR, Рn(Х) - многочлен степени n. Уравнение (51.10) запишется вСлу"tаi1QЕвиде1у" + р' у' + q. у = Рn(Х) .
е ах ·1(51.11)в этом случае частное решение у* ищем в виде:Iy* = хгдеr -число,уравненияравноеТ• Qn(x) · е ах ,кратностиQкак(51.12)1корня+ pk + qхарактеристического= О (т. е. r - число, показывающее, сколькораз а является корнем уравнения k 2 + pk + qО), а Qn(x)Аох n +n 1+ А 1 х - + ... + А n - многочлен степени n, записаНН~lЙ с неопредеk2ленными коэффициентами=A i (i= 1,2, ... , n).362=Qа) Пусть а не является корнем характеристического уравненияk2f:.т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
